2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟试题二

2026-2027学年期中模拟试题（二） 满分：100分 测试范围：北师版九年级上册第1-4章 建议用时：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 4．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 5．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．如图，点是正方形内部的一点，为等边三角形，连接并延长交于点，的度数为（     ）． A． B． C． D． 7．小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（     ） A． B． C． D． 8．在数学活动课上，小明利用“面积法”探究一元二次方程的几何解法，他尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图所示的图形：先构造一个面积为的中心正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个宽为3的阴影矩形，如图所示拼成一个大正方形．已知阴影部分的面积和为64，则该方程的正数解为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接，若，，则四边形的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 10．如图，菱形是由菱形向右平移一定距离得到，平移前后两图形的交点分别为、两点，且、分别为边、的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是_____投影．（填写“中心”或“平行”） 12．明代数学著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为___． 13．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 14．如图，、分别是的边、上的点，，若，则______ ． 15．如图，在矩形中，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为______． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（7分）下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： (1)小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． (2)原方程正确的解为______________________． (3)解方程：． 18．（8分）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 19．（10分）为了更好推广某地特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：特色美食销售方案制定问题 某地美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是当地人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“麻糕”作降价促销，已知每份“麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 (1)任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ (2)任务2：为使该店8月份“麻糕”总利润达到6300元，求“麻糕”应该每份降价多少元？ 20．（10分）【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 21．（12分）下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： (1)若，则______． (2)的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． (3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” (4)我们知道：则______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A A B D C B D 1．A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 2．B 【详解】解：，点为的中点， ， ， ． 3．B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 4．A 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 5．A 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．B 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质推出，则可推出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．D 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵小伟仅看错一次项系数，常数项正确， ∴， ∵小谦仅看错常数项，一次项系数正确， ∴，即. ∴原方程为． 8．C 【分析】根据的几何解法，确定大正方形的边长与x的关系，结合面积求解即可． 【详解】解：根据题意，构造面积为的正方形，四周构造四个面积为的矩形．矩形的长为，则宽为．补图得到大正方形，其边长为． 大正方形的面积为， ． 为正数， ， ． 9．B 【分析】证明四边形是矩形，由三角形中位线定理得到，，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵对角线于点O， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 10．D 【分析】由菱形的性质得到，则可求出，根据平移的性质得到，据此可证明四边形 是平行四边形；过点 作 于点 ，解求出的长即可得到答案． 【详解】解：四边形 是菱形， ∴， 分别为 的中点， ； 由平移性质可知 ， ， 四边形 是平行四边形； 过点 作 于点 ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．平行 【分析】本题重点考查平行投影和中心投影，掌握相关定义是解决本题的关键． 【详解】解：太阳光属于平行光线，在太阳光照射下，物体形成的投影是平行投影； 而中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，与太阳光的光线特征不符． 故答案为：平行 ． 12． 【分析】在中，根据勾股定理可得，即． 【详解】解：由题意得，，，，，， ， ． 在中，， ，即． 13．/42度 【分析】由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 14． 【分析】利用平行线得到三角形相似，由线段比推出底边之比，再依据同高三角形面积比等于底边长之比求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相同， 与的面积之比即为与之比， 即． 【点睛】看到平行线要优先想到相似三角形；共高三角形面积之比直接转化为底边长度之比，是这类面积题的常用技巧． 15． 【分析】过点作交于点，利用三角形中位线定理求出及的长，再通过两组相似三角形和分别求出和的长，最后相加即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 在矩形中，，， 为中点， ， 在中，， 为中点，， 为的中位线， ， ∵，， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， 或， 得． （2）解：， ， ， ， ， ， 解得． （3）解： 或 得． （4）解： 变形得 因式分解得 整理得 或 得． 17．(1)一；方程两边同时除以，没有考虑等于0的情况 (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质可知，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，第一步没有考虑等于0的情况； （2）（3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18．(1)证明：在中，，，过的中点作交的平分线于点，如图：连接， ， ， 平分， ， ， ， 在中，，， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形 (2) 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线得到；结合角平分线和平行线证，得到一组对边平行且相等证平行四边形，再用邻边相等判定菱形； （2）利用含直角三角形边长关系，求出菱形的底和高，计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图：设，相交于点， 是的中点， ∴， 在中，，， ， 平分， ∴， 四边形为菱形， ，，， ∴， ∴， 菱形的面积为． 19．(1) (2)3 【分析】（1）设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据该店5月份”加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份，列出方程进行计算即可； （2）设该款”麻糕”应该降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：任务1：设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； （2）设该款”麻糕”应该降价元，由题意，得： ， 解得：或； ∵要尽快减少库存， ∴； 答：该款”麻糕”应该降价3元． 20．旗杆的高度为米 【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，若选择甲同学方案，利用平行，易得，从而，代入计算即可；若选择乙同学方案，利用平行，易得，，从而可得，代入计算即可． 【详解】解：若选择甲同学方案， 如图，过点作的垂线，垂足为，交于点， 由题可知，，米，米，米，米，米，米， ，， ， ， ，即， 米， 米， 则旗杆的高度为米． 若选择乙同学方案， 如图，过点作，垂足为，交于点， 由题可知，，米，厘米米，厘米米， ， ，， ，， ，即， 米， 则旗杆的高度为米． 21．(1) (2)不能．理由如下： 由，得 ， 解得，都不是整数，不符合题意，都舍去； 不存在正整数使和为50． (3)这群人共有11人 (4) 【分析】（1）根据材料所给方法列出方程求解即可； （2）根据材料所给方法列出方程，再结合连续两个整数之积必为偶数可得出附近无整数解即可求解． （3）设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为，根据题意可得出 ，即．解出n即可． （4）由叠加可得． 【详解】（1）解：由， 得， 解得（不符合题意，舍去）； （2）略 （3）解：设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为， 平均每人6个，则，即． ， ， 解得． 答：这群人共有11人． （4）解：∵ ∴ ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年期中模拟试题（二） 满分：100分 测试范围：北师版九年级上册第1-4章 建议用时：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 4．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 5．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．如图，点是正方形内部的一点，为等边三角形，连接并延长交于点，的度数为（     ）． A． B． C． D． 7．小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（     ） A． B． C． D． 8．在数学活动课上，小明利用“面积法”探究一元二次方程的几何解法，他尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图所示的图形：先构造一个面积为的中心正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个宽为3的阴影矩形，如图所示拼成一个大正方形．已知阴影部分的面积和为64，则该方程的正数解为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接，若，，则四边形的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 10．如图，菱形是由菱形向右平移一定距离得到，平移前后两图形的交点分别为、两点，且、分别为边、的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是_____投影．（填写“中心”或“平行”） 12．明代数学著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为___． 13．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 14．如图，、分别是的边、上的点，，若，则______ ． 15．如图，在矩形中，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为______． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（7分）下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： (1)小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． (2)原方程正确的解为______________________． (3)解方程：． 18．（8分）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 19．（10分）为了更好推广某地特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：特色美食销售方案制定问题 某地美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是当地人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“麻糕”作降价促销，已知每份“麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 (1)任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ (2)任务2：为使该店8月份“麻糕”总利润达到6300元，求“麻糕”应该每份降价多少元？ 20．（10分）【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 21．（12分）下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： (1)若，则______． (2)的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． (3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” (4)我们知道：则______． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $