26.4实际问题与二次函数 专题（六大题型） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

实际应用与二次函数专题（六大题型） 目录 实际应用与二次函数专题（六大题型） 1 知识梳理 1 二次函数基础 1 常用模型公式 2 题型一、图形问题 2 题型二、图形运动问题 5 题型三、拱桥问题 8 题型四、销售问题 11 题型五、投球问题 13 题型六、喷水问题 15 知识梳理 二次函数基础 一般式： 顶点式：，顶点坐标 · ，抛物线开口向上，顶点处取最小值； · ，抛物线开口向下，顶点处取最大值； · 实际应用题必须考虑自变量取值范围，顶点不一定在取值区间内，此时最值在区间端点取得。 常用模型公式 · 销售利润模型： · 几何面积模型：利用边长关系列出面积函数，边长大于0； · 抛物线模型：合理建立平面直角坐标系，设顶点式，代入点求解析式。 题型一、图形问题 例1．如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 例2．园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示． (1)求长方形花圃面积的最大值． (2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积． 例3．为布置国庆会展，某公园规划修建花圃，用于种植花卉．根据公园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度不限），用总长为的栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏），门宽为． 设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息： (1)求与的函数表达式（结果写成一般式）． (2)与墙垂直的边长为多少时，花圃的面积有最大值？最大值为多少？ 例4．综合与实践， 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践，其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控地（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案，设的长为，该矩形种植区的面积为． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门 图示 (1)分别求出两种方案下，与的函数关系式（不要求写的取值范围） (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为．求此时的值 (3)若要使矩形种植区的面积的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 例5．问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，、红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元，100元，60元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． (1)用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； (2)求与之间的函数表达式； (3)当购买花卉的总费用为3520元时，求的长． 题型二、图形运动问题 例1．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 例2．如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 例3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值． 解：． ，，，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最小值； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； 知识迁移： (3)如图，在中，，，，点P在边上以的速度从点A向点C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止． ①设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值； ②当t为______秒时，有最小值是______． 例4．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 例5．如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动． (1)当______s时，的面积是2． (2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分． ①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象； ②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值． 题型三、拱桥问题 例1．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 例2．如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座拱门所在抛物线的解析式； (2)现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ (3)一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 例3．如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 例4．近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 例5．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 题型四、销售问题 例1．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 例2．某电影院销售《牛来》电影票，已知每张电影票的成本为15元．若每张以30元销售，平均每天可售出50张；价格每降低1元，平均每天多售出5张．设每张降价元（为整数），每天销售量为张． (1)直接写出每天销售量与之间的函数关系式：__________；（不写的取值范围） (2)若某天销售《牛来》电影票的利润为770元，为了让观众获得更多实惠，该电影院每张《牛来》电影票的定价为多少元？ (3)为了促进市场良性竞争，《牛来》电影票的销售单价不得高于28元，不得低于22元，当销售单价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 例3．根据以下生活素材，探索、解决问题： 【生活素材】 素材1：某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为． 素材2：保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用． 【解决问题】 批发商将这批水果保存天后一次性卖出，获得的总利润为（元）． (1)问题1：当时，则卖出时水果的售价为__________元/千克，获得的总利润为__________元； (2)问题2：设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； (3)问题3：求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 例4．某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系． x/（元/件） 35 40 45 50 55 y/件 550 500 450 400 350 (1)试求y与x之间的函数解析式； (2)设该公司试销该产品每天获得的总毛利润为W（元），求W与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（总毛利润单件利润销售量） (3)该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售单价． 例5．某校园超市销售甲、乙两款笔记本，下表是两次采购这两款笔记本的记录． 采购批次 甲款（本） 乙款（本） 总进价（元） 第一次 20 30 340 第二次 30 20 360 该超市每天销售的甲、乙两款笔记本共300本，且当天都能售完．已知甲款的售价为x（）元/本，乙款的售价为10元/本，甲款每天的销量y（本）与售价x（元/本）满足关系式，用w表示该超市每天销售这两款笔记本的总利润（单位：元）． (1)求甲、乙两款笔记本的进价分别为多少元/本； (2)求w关于x的函数表达式，并求当甲款的售价x为多少时总利润w最大，最大利润是多少元． 题型五、投球问题 例1．综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 例2．掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 例3．如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． (1)求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； (2)小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ (3)小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 例4．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间满足抛物线表达式．甲同学发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的五组对应数据如表： 水平距离x/m 0 2 3 4 6 竖直高度y/m 1 4 5 4 (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； (2)求抛物线表达式； (3)在距O点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； (4)在羽毛球下落过程中，乙同学原地起跳后球拍在时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 例5．小球M（看作点）从斜坡上的点O处抛出，据此建立如图所示的平面直角坐标系，球的运动路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分，若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线解析式； (2)小球在斜坡上的落点为A，求点A的坐标； (3)在斜坡上的点B处有一棵树，点B的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 题型六、喷水问题 例1．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 例2．射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 例3．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 例4．【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 例5．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 试卷第14页（共27页） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 实际应用与二次函数专题（六大题型） 目录 知识梳理 1 二次函数基础 1 常用模型公式 1 题型一、图形问题 2 题型二、图形运动问题 11 题型三、拱桥问题 31 题型四、销售问题 40 题型五、投球问题 47 题型六、喷水问题 55 知识梳理 二次函数基础 一般式： 顶点式：，顶点坐标 · ，抛物线开口向上，顶点处取最小值； · ，抛物线开口向下，顶点处取最大值； · 实际应用题必须考虑自变量取值范围，顶点不一定在取值区间内，此时最值在区间端点取得。 常用模型公式 · 销售利润模型： · 几何面积模型：利用边长关系列出面积函数，边长大于0； · 抛物线模型：合理建立平面直角坐标系，设顶点式，代入点求解析式。 题型一、图形问题 例1．如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，取最大值，最大值为108 【知识点】列代数式、列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据篱笆总长列方程：三条竖直段（、中间隔墙、）各长米，水平段扣除两个1.5米宽的门后使用篱笆，总长33米，由此表示，再用矩形面积公式得与的关系． （2）将关于的二次函数配方为顶点式，结合确定的取值范围，在范围内求最大值． 【详解】（1）解：篱笆用于、、中间隔墙和（扣除两个门）， ， ， ． （2）解：， 墙长18米，， ，解得， 又， ，解得， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值108． 例2．园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示． (1)求长方形花圃面积的最大值． (2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积． 【答案】(1)长方形花圃面积的最大值为1800平方米 (2)网红打卡点的面积为平方米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设米，长方形花圃的面积为平方米，根据三边所用木栏总长米，写出与的函数关系式，即可求解； （2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积-花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设米，长方形花圃的面积为平方米，则米， 根据题意，得：， ∵， ∴， ∴当时，有最大值1800， 答：长方形花圃面积的最大值为1800平方米； （2）解：由（1）可知，长方形花圃面积的最大时，宽为30米，长为（米）， 设网红打卡点的边长为米， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴网红打卡点的面积为（平方米）， 答：网红打卡点的面积为平方米． 例3．为布置国庆会展，某公园规划修建花圃，用于种植花卉．根据公园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度不限），用总长为的栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏），门宽为． 设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息： (1)求与的函数表达式（结果写成一般式）． (2)与墙垂直的边长为多少时，花圃的面积有最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)； (2)与墙垂直的边长为时，花圃的面积有最大值，最大值为． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）求出与墙平行的边的长度，进而列函数表达式，根据边长为正的实际意义求出的取值范围即可； （2）将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， ， 根据边长为正的实际意义可知且， 解得， ∴； （2）解： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵在范围内， ∴与墙垂直的边长为时，花圃的面积有最大值，最大值为． 例4．综合与实践， 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践，其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控地（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案，设的长为，该矩形种植区的面积为． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门 图示 (1)分别求出两种方案下，与的函数关系式（不要求写的取值范围） (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为．求此时的值 (3)若要使矩形种植区的面积的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)12 (3)解：应选择方案一，探究过程如下： 方案一：∵，， ∴， ∵， ∴由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为147； 方案二：∵，， ∴， ∵， ∴由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为； ∵， ∴要使矩形种植区的面积的值最大，应选择方案一． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用、列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）先求出的长，再利用矩形的面积公式求解即可； （2）令方案一中的建立方程，解方程，并结合求解即可； （3）利用二次函数的性质分别求出两种方案的最大值，由此即可得． 【详解】（1）解：方案一：由题意可知，， ∴． 方案二：由题意可知，， ∴． （2）解：由题意得：，且， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：此时的值为12． （3）略． 例5．问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，、红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元，100元，60元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． (1)用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； (2)求与之间的函数表达式； (3)当购买花卉的总费用为3520元时，求的长． 【答案】(1)红色花卉的种植面积为，蓝色花卉的种植面积为， 黄色花卉的种植面积为 (2) (3) 【知识点】单项式乘多项式的应用、利用二次根式的性质化简、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积小正方形的面积红色花卉的种植面积黄色花卉的种植面积； （）根据总费用各种花卉的费用之和列出函数解析式即可； （）根据()的解析式得出，求出，可得，然后设，由全等三角形的性质和勾股定理得出，解方程求出的值即可； 本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四个阴影部分的三角形全等， ∴， ∴红色花卉的种植面积为， ∵， ∴， ∴蓝色花卉的种植面积为， ∴黄色花卉的种植面积为； （2）解：， 即； （3）解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵四个白色部分的三角形全等， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为． 题型二、图形运动问题 例1．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【答案】(1)， (2)当运动时间为或运动时间为时，的长度等于 (3)存在，时间为2秒时，四边形的面积等于面积的 (4)小，15 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，，，结合已知解答即可； （2）根据勾股定理，列式计算即可； （3）根据列式计算即可； （4）求出四边形的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴； （2）解：∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）解：∵，，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． （4）解： ， 可知当时，四边形的面积有最小值，最小值为15． 例2．如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)， (3)当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）用表示和，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解． （2）用表示两直角边、，根据面积公式列一元二次方程求解． （3）将面积化为关于的二次函数，利用对称轴求最大值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴，设运动时间， 则，，，， ∵，由勾股定理得： ， ，（舍去） ． （2）解： 整理： ，． （3）解： 二次函数开口向下，对称轴：， 当时，面积最大，最大面积为： ． 答：当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米． 例3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值． 解：． ，，，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最小值； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； 知识迁移： (3)如图，在中，，，，点P在边上以的速度从点A向点C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止． ①设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值； ②当t为______秒时，有最小值是______． 【答案】(1)3 (2)，理由如下： ， ∵ ， ∴， ∴ (3)①5；②当t为秒时，有最小值是 【知识点】运用完全平方公式进行运算、配方法的应用、y=ax²+bx+c的最值、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）①大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值； ②由勾股定理得，，用含有t的式子表示出，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， ∴y的最小值为3； （2）解：略 （3）解：①根据题意可得：，，， ， ∴S的最小值为5； ②由勾股定理得，， 由①知，，， ∴ ， ∴ 当时，有最小值， ∴ 当t为秒时，有最小值是． 例4．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、方向角的表示、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）分两种情况讨论，点在和上，利用矩形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）分三种情况讨论，当时；当时；当时，分别画出示意图，根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理表示边长，建立函数解析式； （3）分四种情况讨论，表示将矩形分成两部分图形中其中一部分的面积，再进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点在上， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 当在上时，点F与矩形顶点不重合，舍去 ∴时，点F与矩形顶点C重合． （2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则,， 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； （3）解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，， ∴， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则同上可得：，， ∴， ∴， ∴面积比为； 当时，过点作于点， 则，， ∴，， ∴ ∴ ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴， ∴面积比为， 综上：当时，面积比为． 例5．如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动． (1)当______s时，的面积是2． (2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分． ①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象； ②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值． 【答案】(1)当或时，的面积是2 (2)①； 画出时的函数图象如下： ②或 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）分三种情况，当点P在上时；当点P在上，点Q未到达点C时；当点P在上，点Q到达点C时，即可求解； （2）①结合（1）分三种情况：当时；当时；当时，结合二次函数的和一次函数的性质解答即可；②结合①中函数关系式，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：当点P在上时，此时，其中， ∵，的面积是2， ∴，即， 解得：（负值舍去）； 当点P在上，点Q未到达点C时，过点Q作于点D，过点A作于点E，此时，，，其中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是2， ∴， 即， 解得：（均不符合题意）； 当点P在上，点Q到达点C时，过点A作于点E，此时，，其中， ∵的面积是2， ∴，即， 解得：； 综上所述，当或时，的面积是2； （2）解：①由（1）得：当时，， 此时当时，S取得最大值，为； 当时，， ∵， 此时当时，S取得最大值，为； 当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴此时当时，S取得最大值，为； 综上所述，S的最大值为； 对于，当时，， ∴函数的图象过点． ②当时，， 此时（负值舍去）； 当时，， 此时（不符合题意，舍去）； 当时，， 此时； 综上所述，的面积为3时，对应的的值为或． 题型三、拱桥问题 例1．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 例2．如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座拱门所在抛物线的解析式； (2)现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ (3)一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 【答案】(1) (2)距中线不超过的范围内 (3)货车宽，从正中通过时车轮边缘在处， 此时拱门高度， 因为， 所以这辆货车能顺利通过． 【分析】（1）根据拱门最高点坐标确定抛物线顶点，结合水面宽度得出函数图象经过的点，利用抛物线顶点式设解析式，代入点的坐标求出系数，即可求出抛物线解析式． （2）令，解答即可； （3）根据货车宽度确定车体边缘对应的横坐标，代入抛物线解析式求出此处拱门高度，与车高对比，判断货车能否通过． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线顶点坐标为，且过点， 设，把代入得，解得， 故，其中． （2）解：令得，即， 解得， 故灯柱应安装在距中线不超过的范围内． （3）略 例3．如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分三种情况讨论上的最小值，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论上的最小值： 1.当对称轴在左侧，即，最小值在处取得， ，解得，结合前提， ∴； 2.当对称轴落在内，即，开口向下的抛物线在内的最小值出现在端点，比较和的函数值： 时，； 时，； 由于， ， ，范围内所有的函数值均大于9，该范围全部满足条件； 3.当对称轴在右侧，即，最小值在处取得：， 解得，结合前提，得； 综合三种情况，最终b的取值范围为： ， 的取值范围为． 例4．近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 【答案】(1) (2)车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方 【分析】（1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标，即可得到答案； （2）将代入中，求出点的横坐标，点的横坐标加上车长不超过米，则这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 【详解】（1）解： 由题可得：抛物线的顶点的坐标为， 设与的函数解析式为， 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得（舍去），， ， 车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 例5．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①最多可悬挂灯笼数为个；② 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再根据待定系数法即可解答； （2）①根据灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于，可得悬挂点的最低纵坐标为，将代入抛物线表达式，即可解答； ②根据最多只能悬挂个灯笼，可得悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为，得到如果要在最左侧的左边再加一个灯笼，则这个灯笼的纵坐标为，根据题意列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 所以桥拱截线所在抛物线的表达式为； （2）①解：由题意可得点的纵坐标为, 灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于， 悬挂点的最低纵坐标为， 将代入抛物线表达式，可得， 解得， 相邻悬挂点水平间距为米， 最多可悬挂灯笼数为个； ②最多只能悬挂个灯笼， 悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为， 最左侧灯笼坐标为，则，， ， 如果要在最左侧的左边再加一个灯笼， 那么这个灯笼的横坐标为， ∴这个灯笼的纵坐标为， 根据题意可得， 解得， ， ， ， 当时，， 当时，， 题型四、销售问题 例1．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元． (3)定价应为43元． 【分析】（1）以每千克利润乘日销售量等于总利润为等量关系列函数，结合盈利条件确定自变量取值范围； （2）利用二次函数的顶点坐标求最大值； （3）令总利润为9750列方程，结合让利于民的要求选取合适的解计算定价． 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元，日销售量为千克． ， ∵保证盈利， ∴， 解得． 又∵降价金额非负， ∴． 即． ∴． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值． 当时，取得最大值， 将代入解析式得． ∴当降价4元时，每天利润最大，最大为9800元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，． ∵要让利于民，需降价幅度更大， ∴取，此时定价为（元）． 答：定价应为43元． 例2．某电影院销售《牛来》电影票，已知每张电影票的成本为15元．若每张以30元销售，平均每天可售出50张；价格每降低1元，平均每天多售出5张．设每张降价元（为整数），每天销售量为张． (1)直接写出每天销售量与之间的函数关系式：__________；（不写的取值范围） (2)若某天销售《牛来》电影票的利润为770元，为了让观众获得更多实惠，该电影院每张《牛来》电影票的定价为多少元？ (3)为了促进市场良性竞争，《牛来》电影票的销售单价不得高于28元，不得低于22元，当销售单价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)26元 (3)当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元 【分析】（1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定x的取值范围，设所获利润为w元，再列出利润w关于x的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：∵平均每天可售出50张，价格每降低1元，平均每天多售出5张， ∴每天销售量与之间的函数关系式：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了让观众获得更多实惠， ∴x取4，此时， 答：该电影院每张《牛来》电影票的定价为26元； （3）解：根据题意得：， 解得：， 设所获利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大，当时，w随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当x取2或3时，w取得最大值，最大值为780，此时销售单价分别为28或27， 答：当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元． 例3．根据以下生活素材，探索、解决问题： 【生活素材】 素材1：某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为． 素材2：保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用． 【解决问题】 批发商将这批水果保存天后一次性卖出，获得的总利润为（元）． (1)问题1：当时，则卖出时水果的售价为__________元/千克，获得的总利润为__________元； (2)问题2：设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； (3)问题3：求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 【答案】(1)62； (2)（，且为整数） (3)11600元 【分析】（1）根据售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系即可求出卖出时水果的售价，根据题意计算利润即可； （2）根据利润的计算方法列出函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 即卖出时水果的售价为62元/千克， （元） 即卖出时水果获得的总利润为元； （2）解：由题意可得， （，且为整数） （3）解：， 为整数，当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，， 答：批发商所获利润最大为11600元． 例4．某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系． x/（元/件） 35 40 45 50 55 y/件 550 500 450 400 350 (1)试求y与x之间的函数解析式； (2)设该公司试销该产品每天获得的总毛利润为W（元），求W与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（总毛利润单件利润销售量） (3)该公司要想一天获得的总毛利润为8000元，求销售单价． 【答案】(1) (2)，自变量的取值范围是 (3)销售单价为50元/件或70元/件 【分析】（1）根据表格中x与y的变化规律判断为一次函数，设解析式代入两点求解； （2）利用总毛利润公式构建W与x的函数关系，结合题干单价限制确定自变量范围； （3）令，解一元二次方程，结合自变量范围确定符合条件的解． 【详解】（1）解：由表格得，x每增加5，y相应减少50， ∴y与x是一次函数关系， 设 将和代入得， 解得 ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：根据题意得，， ∵销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件， ∴； （3）解：令得，， 整理得，， 解得，， ∴销售单价为50元/件或70元/件． 例5．某校园超市销售甲、乙两款笔记本，下表是两次采购这两款笔记本的记录． 采购批次 甲款（本） 乙款（本） 总进价（元） 第一次 20 30 340 第二次 30 20 360 该超市每天销售的甲、乙两款笔记本共300本，且当天都能售完．已知甲款的售价为x（）元/本，乙款的售价为10元/本，甲款每天的销量y（本）与售价x（元/本）满足关系式，用w表示该超市每天销售这两款笔记本的总利润（单位：元）． (1)求甲、乙两款笔记本的进价分别为多少元/本； (2)求w关于x的函数表达式，并求当甲款的售价x为多少时总利润w最大，最大利润是多少元． 【答案】(1) 甲款笔记本的进价为8元/本，乙款笔记本的进价为6元/本 (2) （）； 当甲款的售价x为20时总利润w最大，最大利润是2000元． 【分析】（1）根据两次采购的数量和总进价，列二元一次方程组求解两款笔记本的进价； （2）结合总销量为300本的条件，用表示乙款的销量，再根据总利润的构成列函数表达式，结合二次函数的性质分析最值． 【详解】（1）解：设甲款笔记本的进价为每本元，乙款笔记本的进价为每本元； 根据题意，得，解得， 答：甲款笔记本的进价为8元/本，乙款笔记本的进价为6元/本； （2）解：∵甲款每天的销量为，两款每天总销量为300本， ∴乙款每天的销量为本， 由题意， ； ∵ 二次函数的二次项系数为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 故当甲款的售价x为20时总利润w最大，最大利润是2000元． 题型五、投球问题 例1．综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 【答案】(1)篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． (2)篮球离出手点的水平距离为3米或1米． (3)篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 【分析】（1）将二次函数配方为顶点式，再结合开口方向求最值即可； （2）令，解一元二次方程即可求得对应的水平距离； （3）将代入解析式求出h，与比较大小判断． 【详解】（1）解∶∵篮球高度h与水平距离x的函数关系为，， ∴当时，h取得最大值，最大值为． 答∶篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． （2）解：令，则， 整理得， 解得． 答∶篮球离出手点的水平距离为3米或1米． （3）解：当时， ． ∵， ∴篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 例2．掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中不能得满分，理由如下： 由题意得，当时， 解得（舍去）， ， 该女生在此项考试中不能得满分； (3)出手高度至少约为 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解； （3）设出手高度为h米，根据题意可得，重新投掷的情况下新抛物线为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：当水平距离为时，实心球行进至最高点处， 设， 经过点， 解得， ； （2）略 （3）解：由于投掷的力度和角度不变，抛物线的形状与对称轴保持不变， ∴设出手高度为h米，则抛物线解析式为， 当时，， 代入得 ∴， ∴解析式为， ∵要使水平距离大于等于， ∴临界情况为时（刚好落地）， 代入得 解得， ∴出手高度至少约为． 例3．如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． (1)求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； (2)小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ (3)小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 【答案】(1) (2)小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； (3)小球不能越过大货车安全落地． 【分析】（1）根据题意设二次函数的顶点式，进而将代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）由题意，小明在原点位置，前方1米是车头，货车长3米，因此货车占据的水平范围是到的区间，货车高度为2米，需验证该区间内小球的最小高度是否大于2米即可． 【详解】（1）解：∵抛出后水平前进时，达到最大高度， ∴设二次函数的顶点式为：， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：将代入解析式得， 解得：，， ∴小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； （3）解：∵小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车， ∴货车占据的水平范围是到的区间， ∵， ∴当时，y有最大值， 当时，， 当时，， ∴当时，，存在的情况， 即小球不能越过大货车安全落地． 例4．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间满足抛物线表达式．甲同学发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的五组对应数据如表： 水平距离x/m 0 2 3 4 6 竖直高度y/m 1 4 5 4 (1)当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； (2)求抛物线表达式； (3)在距O点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； (4)在羽毛球下落过程中，乙同学原地起跳后球拍在时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 【答案】(1)4 (2) (3)羽毛球能过网，理由如下： 当时，， ∵， ∴羽毛球能过网； (4) 【分析】（1）根据当和时，函数值相等，可得抛物线的对称轴，即可解答； （2）根据顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出函数表达式； （3）根据自变量的值求出函数值进行比较； （4）根据函数值求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， 由表格可知，当时，，即顶点坐标为， ∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是； （2）解：由表格可知，当和时，函数值相等，即对称轴为直线， 当时，，即顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 （4）解：当时，， 解得：， ∵， ∴， ， 即此时他距离球网． 例5．小球M（看作点）从斜坡上的点O处抛出，据此建立如图所示的平面直角坐标系，球的运动路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分，若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线解析式； (2)小球在斜坡上的落点为A，求点A的坐标； (3)在斜坡上的点B处有一棵树，点B的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小球能飞过这棵树，理由如下： 当时，对于，则， 对于，则， ， 小球能飞过这棵树． 【详解】（1）解：由题意，把点代入得： ， ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：联立得：， 或， 点的坐标为； （3）略 题型六、喷水问题 例1．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围； （）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为； （2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点， 设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴调整后水管的最大长度为． 例2．射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 【答案】(1)当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 【分析】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向下，进而可得在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小，即可求解； （2）将代入得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； （2）解：当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫． 例3．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 例4．【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为． 例5．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 试卷第14页（共27页） 2 学科网（北京）股份有限公司 $