专题04 同角三角函数的基本关系（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题04 同角三角函数的基本关系 （题型突破·举一反三） 题型01 用同角三角函数关系式求三角函数值 1 题型02 用同角三角函数关系式化简 2 题型03 用同角三角函数关系式证明 3 题型04 用弦切互化求关于sin α,cos α的齐次式的值 4 题型05 与sin α±cos α,sin αcos α有关的求值 5 题型06 同角三角函数关系在二次方程中应用 6 ▌题型01 用同角三角函数关系式求三角函数值 同角三角函数的基本关系 1.平方关系sin2＋cos2＝1的变形 （1）sin2＝1－cos2；cos2＝1－sin2. （2）sin＝；cos＝（根号前面的符号由角终边的位置确定）. 2.商数关系的变形 （1）sin＝cos·； （2）cos＝. 【典例1】（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且为第二象限角， 所以， 所以. 【变式1-1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型02 用同角三角函数关系式化简 化简同角三角函数式，优先利用平方关系、商数关系统一函数名。 遇根式先判断符号，根据角所在象限确定开方正负；出现弦切互化时，常切化弦。 复杂式子可“1”代换，转化为齐次式，再约分消元，尽量减少函数种类，最终化为最简形式。 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）若，化简． 【详解】因为，，， 所以． 【变式2-1】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知.若为第二象限角，求的值. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. ▌题型03 用同角三角函数关系式证明 证明三角恒等式，核心是利用同角三角函数的平方关系与商数关系，从较复杂的一边向简单一边推导，也可证明左右两边等于同一式子。 常用弦切互化，一般优先切化弦；灵活运用 “1” 的代换，用将 1 替换。 证明时留意角的取值范围，保证式子有意义，遇分式优先通分，遇二次式因式分解、约分，逐步消去多余三角函数，最终使左右两边相等。若直接化简难度大，也可证左 − 右 =0，完成恒等式证明。 【典例3】（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【详解】(1)证明：因为 ， 所以. (2)证明：因为左边 右边， 所以原等式成立. 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 【变式3-2】（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． ▌题型04用弦切互化求关于sin α,cos α的齐次式的值 弦切互化求解齐次式，核心是利用，将式子统一化为正切。 首先判断次数，分子分母均为关于sin，cos的同次式，直接同除以cosn ，转化为只含的表达式。 对于缺少分母的二次齐次式，巧用 sin2＋cos2＝1 构造分母，使之变成分式齐次式。 运算时注意 cos，保证有定义，最后代入已知 的值计算即可。 该方法避免单独求sin、cos，省去判定象限、开方判断符号的麻烦，大幅降低计算失误。 【典例4】（26-27高二上·天津河北·开学考试）已知为角终边上一点，则____________． 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 【变式4-1】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的值为______；______. 【变式4-3】（25-26高一上·湖北·期末）已知，则_____. 【变式4-4】（2026高一·全国·专题练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． ▌题型05 与sin α±cos α,sin αcos α有关的求值 sincos、sin+cos， 已知 与 sincos的求值，核心是利用三者之间的转化关系： ，实现相互转化。 解题时，先平方建立联系，由其中一个的值求出另外一个。 平方会扩大角的范围，得到结果后必须根据题目给出角所在的象限或者范围，判断sincos的正负，舍去不符合条件的解。 遇到代数式求值，常把、sincos 当作整体换元，转化为一元二次方程求解，避免单独算出sin、cos，简化运算。做题要特别注意隐含条件，防止出现增根。 【典例5】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以， 所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 【变式5-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式5-3】（25-26高一下·重庆·期中）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若，则__________， __________. ▌题型06 同角三角函数关系在二次方程中应用 同角三角函数与二次方程结合题型，常以sin，cos作为一元二次方程两根，借助韦达定理写出两根之和与积，再结合sin2＋cos2＝1 建立等式求参数。求出参数后要检验判别式，同时根据角范围判断根的符号，舍去增根。可整体求出 sincos、sin+cos，进而完成各类三角式求值。 【典例6】（25-26高一下·四川成都·期末）已知，是方程在上的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，两边平方得， 所以，所以， 由题意知是上述的一元二次方程的根， 所以. 【变式6-1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一下·广西梧州·期中）已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 同角三角函数的基本关系 （题型突破·举一反三） 题型01 用同角三角函数关系式求三角函数值 1 题型02 用同角三角函数关系式化简 3 题型03 用同角三角函数关系式证明 4 题型04 用弦切互化求关于sin α,cos α的齐次式的值 6 题型05 与sin α±cos α,sin αcos α有关的求值 8 题型06 同角三角函数关系在二次方程中应用 10 ▌题型01 用同角三角函数关系式求三角函数值 同角三角函数的基本关系 1.平方关系sin2＋cos2＝1的变形 （1）sin2＝1－cos2；cos2＝1－sin2. （2）sin＝；cos＝（根号前面的符号由角终边的位置确定）. 2.商数关系的变形 （1）sin＝cos·； （2）cos＝. 【典例1】（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且为第二象限角， 所以， 所以. 【变式1-1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以，则. 【变式1-2】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得， 又为第四象限角，则，所以. 【变式1-3】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则， 故． ▌题型02 用同角三角函数关系式化简 化简同角三角函数式，优先利用平方关系、商数关系统一函数名。 遇根式先判断符号，根据角所在象限确定开方正负；出现弦切互化时，常切化弦。 复杂式子可“1”代换，转化为齐次式，再约分消元，尽量减少函数种类，最终化为最简形式。 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）若，化简． 【详解】因为，，， 所以． 【变式2-1】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 利用平方关系可知， 即， 由于，故， 又，， 所以等式可化为 即，故. 【变式2-2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知.若为第二象限角，求的值. 【详解】当，为第二象限角时，， . 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. 【详解】（1）； （2）； （3），得证. ▌题型03 用同角三角函数关系式证明 证明三角恒等式，核心是利用同角三角函数的平方关系与商数关系，从较复杂的一边向简单一边推导，也可证明左右两边等于同一式子。 常用弦切互化，一般优先切化弦；灵活运用 “1” 的代换，用将 1 替换。 证明时留意角的取值范围，保证式子有意义，遇分式优先通分，遇二次式因式分解、约分，逐步消去多余三角函数，最终使左右两边相等。若直接化简难度大，也可证左 − 右 =0，完成恒等式证明。 【典例3】（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【详解】(1)证明：因为 ， 所以. (2)证明：因为左边 右边， 所以原等式成立. 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 【详解】(1)证明： 故成立. (2)证明：因为， 所以. 【变式3-2】（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【详解】(1) ； (2)因为 ， 所以； (3). 【变式3-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 【详解】(1)左边 右边．故原式成立． (2)因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． ▌题型04用弦切互化求关于sin α,cos α的齐次式的值 弦切互化求解齐次式，核心是利用，将式子统一化为正切。 首先判断次数，分子分母均为关于sin，cos的同次式，直接同除以cosn ，转化为只含的表达式。 对于缺少分母的二次齐次式，巧用 sin2＋cos2＝1 构造分母，使之变成分式齐次式。 运算时注意 cos，保证有定义，最后代入已知 的值计算即可。 该方法避免单独求sin、cos，省去判定象限、开方判断符号的麻烦，大幅降低计算失误。 【典例4】（26-27高二上·天津河北·开学考试）已知为角终边上一点，则____________． 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 【变式4-1】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 所以. 【变式4-2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的值为______；______. 【答案】 【详解】因为，则， 所以的值为. . 【变式4-3】（25-26高一上·湖北·期末）已知，则_____. 【详解】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 【变式4-4】（2026高一·全国·专题练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【详解】（1）． （2）． ▌题型05 与sin α±cos α,sin αcos α有关的求值 sincos、sin+cos， 已知 与 sincos的求值，核心是利用三者之间的转化关系： ，实现相互转化。 解题时，先平方建立联系，由其中一个的值求出另外一个。 平方会扩大角的范围，得到结果后必须根据题目给出角所在的象限或者范围，判断sincos的正负，舍去不符合条件的解。 遇到代数式求值，常把、sincos 当作整体换元，转化为一元二次方程求解，避免单独算出sin、cos，简化运算。做题要特别注意隐含条件，防止出现增根。 【典例5】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以， 所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 【变式5-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即， 所以. 故. 【变式5-2】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以， 而，所以． 【变式5-3】（25-26高一下·重庆·期中）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ，解得，故A正确； ， ，， ，，故B错误； ，解得， ，故C正确； ，故D正确． 【变式5-4】（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若，则__________， __________. 【详解】由题设， 所以，则， 由. 故答案为：， ▌题型06 同角三角函数关系在二次方程中应用 同角三角函数与二次方程结合题型，常以sin，cos作为一元二次方程两根，借助韦达定理写出两根之和与积，再结合sin2＋cos2＝1 建立等式求参数。求出参数后要检验判别式，同时根据角范围判断根的符号，舍去增根。可整体求出 sincos、sin+cos，进而完成各类三角式求值。 【典例6】（25-26高一下·四川成都·期末）已知，是方程在上的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，两边平方得， 所以，所以， 由题意知是上述的一元二次方程的根， 所以. 【变式6-1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得整理可得，注意到，则． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为是方程的两根， 可得， 对于A，由，平方可得， 解得，所以，解得，所以A错误； 对于B，由， 因为且，所以， 所以，则，所以B正确； 对于C，联立方程组，解得， 所以，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：BD. 【变式6-3】（25-26高一下·广西梧州·期中）已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 【详解】，是关于x的方程的两个根， ，解得或， 且， ，， ，，， 或，， . 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $