44.余弦函数的单调性与单调区间求解（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练44.余弦函数的单调性与单调区间求解（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】余弦函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数，在定义域内的某些区间上，当自变量增大时函数值随之增大，这样的区间称为单调递增区间；当自变量增大时函数值随之减小，这样的区间称为单调递减区间。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增区间： 单调递减区间： ￮ 关键特征：① 单调区间的长度均为；② 递增区间与递减区间交替出现，具有周期性；③ 区间端点为函数的最值点。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的单调性判断、最值求解、不等式证明，可与二次函数、指数函数的单调性综合考查。 2. 【概念2】复合余弦函数的单调区间 ￮ 定义表述：对于形如的复合函数，令，通过分析内层函数的单调性与外层函数的单调性，利用“同增异减”法则确定复合函数的单调区间。 ￮ 数学符号/表达式： 当时，递增区间满足；递减区间满足。 当时，先将函数变形为，再按的方法求解。 ￮ 关键特征：① 单调区间的长度为；② 的符号影响单调区间的求解步骤，决定单调区间的位置；③ 复合函数的单调性由内外层函数共同决定。 ￮ 跨章节关联：适用于复合函数的单调性分析，可与一次函数、反比例函数的定义域值域综合考查。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 的单调区间 递增区间；递减区间 1. 遗漏的限制条件；2. 混淆递增区间与递减区间的表达式；3. 误将闭区间写成开区间 对比：反比例函数的单调递减区间是和，不能合并；余弦函数的单调区间可周期性重复 复合余弦函数单调区间求解 先判断的符号，时先转化为正，再整体代换求解 1. 忽略的符号转化；2. 整体代换时不等式变形错误；3. 未结合定义域确定最终单调区间 对比：复合函数，需先求定义域，再分析单调性 单调性与奇偶性的关系 是偶函数，在关于原点对称的区间上，单调性相反 1. 认为偶函数在对称区间上单调性相同；2. 利用奇偶性转化区间时计算错误 对比：偶函数在递减，递增，与余弦函数规律一致 三、题型分类与例题精析 题型1：基本余弦函数的单调区间判断与求解 题型特征：直接考查或型函数的单调区间，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 明确基本余弦函数的单调区间模板；2. 分析函数的单调性与的关系（时单调性一致，时单调性相反）；3. 用集合准确表述单调区间，标注。 例题1 求函数的单调递增区间和单调递减区间。 解析：1. 函数的单调性与完全一致；2. 已知的递增区间为，递减区间为；3. 因此函数的单调区间与相同。 答案：递增区间为；递减区间为 举一反三1-1 求函数的单调递减区间。 解析：函数的单调性与一致，的递减区间为，故该函数的递减区间相同。 答案： 举一反三1-2 下列区间中，函数单调递增的是（） A. B. C. D. 解析：的递增区间为，当时，递增区间为，与选项A一致。 答案：A 举一反三1-3 函数的单调递增区间是______。 解析：的单调性与相反，的递减区间为，故的递增区间为此区间。 答案： 题型2：时复合余弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需通过整体代换结合“同增异减”法则求解，属于中等难度题型。 解题步骤：1. 令，写出的单调区间；2. 将代入对应区间，解关于的不等式；3. 整理不等式，得到复合函数的单调区间，标注。 例题2 求函数的单调递增区间。 解析：1. 令，的递增区间为；2. 代入得；3. 解不等式：，即。 答案： 举一反三2-1 求函数的单调递减区间。 解析：1. 令，的递减区间为；2. 代入得；3. 解不等式：，即。 答案： 举一反三2-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 解析：令，的递增区间为，代入得，解得，与选项A一致。 答案：A 举一反三2-3 求函数在区间上的单调递减区间。 解析：1. 令，的递减区间为；2. 代入得，解得；3. 结合，取，得单调递减区间为。 答案： 题型3：时复合余弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需先转化为正数，再按的方法求解，易错点在于符号处理。 解题步骤：1. 提取负号，将函数变形为；2. 令，写出的单调区间；3. 代入求解关于的不等式，得到单调区间。 例题3 求函数的单调递减区间。 解析：1. 变形函数：（余弦函数是偶函数）；2. 令，的递减区间为；3. 代入得，解得。 答案： 举一反三3-1 求函数的单调递增区间。 解析：1. 变形得；2. 令，的递增区间为；3. 代入得，解得。 答案： 举一反三3-2 函数的单调递减区间是（） A. B. C. D. 解析：1. 变形得；2. 令，的递减区间为；3. 代入得，解得，与选项B一致。 答案：B 举一反三3-3 求函数在区间上的单调递增区间。 解析：1. 变形得；2. 令，的递增区间为；3. 代入得，解得；4. 结合，取得，取得区间超出范围，故单调递增区间为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 解析：根据基本余弦函数的单调性，其递增区间为，故选B。 答案：B 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 单调递减区间与相同 D. 是偶函数 解析：的定义域为，A正确；，故，B正确；单调性与一致，C正确；满足，是偶函数，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 函数的单调递减区间是______。 解析：化简得，的递减区间为。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的单调递减区间。 解析：令，的递减区间为，代入得，解得。 答案： (2) 判断函数在区间上的单调性。 解析：的单调性与相反，在递减，递增，故在递增，递减。 答案：在上单调递增，在上单调递减 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在区间上的单调递增区间是（） A. 和 B. C. D. 解析：令，的递增区间为，代入得，解得；结合，取得，取得，故选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. 可能 C. 单调递减区间可能为 D. 值域为 解析：由周期得，A正确；，则，，时，B正确；当时，，递减区间为，解得，C错误；值域为，D错误。 答案：AB 3. 填空题 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______。 解析：令，的递增区间为，代入得；取，则，结合，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 解析：变形得，令，的递增区间为，代入得，解得。 答案： (2) 已知函数的图象过点，且在区间上单调，求的最大值。 解析：由得，；，则，得；又周期，得；结合单调性限制，最终得的最大值为。 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若在区间上的最小值为，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：的最小值为时，，；，时，故的最小值为，选C。 答案：C 2. 多选题 定义区间的长度为（为区间的端点），则下列关于函数的说法正确的有（） A. 长度为的区间可能是单调递减区间 B. 长度为的区间一定不是单调区间 C. 单调递增区间的长度均为 D. 存在长度为的单调递增区间 解析：的单调递减区间长度为，A正确；长度为的区间包含完整周期，一定不是单调区间，B正确；单调递增区间长度均为，C正确；是长度为的递增区间，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 若函数在上有且仅有3个单调递减区间，则的取值范围是______。 解析：一个周期内有1个单调递减区间，长度为；3个递减区间总长度为，且第4个递减区间不能完全包含在内，故，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，，求函数的单调递增区间。 解析：化简，进一步变形为；令，结合三角函数性质，解得递增区间为。 答案： (2) 已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，求的取值范围。 解析：由对称轴得，；的递增区间为；结合递增区间，以及对称轴条件，解得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练44.余弦函数的单调性与单调区间求解（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】余弦函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数，在定义域内的某些区间上，当自变量增大时函数值随之增大，这样的区间称为单调递增区间；当自变量增大时函数值随之减小，这样的区间称为单调递减区间。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增区间： 单调递减区间： ￮ 关键特征：① 单调区间的长度均为；② 递增区间与递减区间交替出现，具有周期性；③ 区间端点为函数的最值点。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的单调性判断、最值求解、不等式证明，可与二次函数、指数函数的单调性综合考查。 2. 【概念2】复合余弦函数的单调区间 ￮ 定义表述：对于形如的复合函数，令，通过分析内层函数的单调性与外层函数的单调性，利用“同增异减”法则确定复合函数的单调区间。 ￮ 数学符号/表达式： 当时，递增区间满足；递减区间满足。 当时，先将函数变形为，再按的方法求解。 ￮ 关键特征：① 单调区间的长度为；② 的符号影响单调区间的求解步骤，决定单调区间的位置；③ 复合函数的单调性由内外层函数共同决定。 ￮ 跨章节关联：适用于复合函数的单调性分析，可与一次函数、反比例函数的定义域值域综合考查。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 的单调区间 递增区间；递减区间 1. 遗漏的限制条件；2. 混淆递增区间与递减区间的表达式；3. 误将闭区间写成开区间 对比：反比例函数的单调递减区间是和，不能合并；余弦函数的单调区间可周期性重复 复合余弦函数单调区间求解 先判断的符号，时先转化为正，再整体代换求解 1. 忽略的符号转化；2. 整体代换时不等式变形错误；3. 未结合定义域确定最终单调区间 对比：复合函数，需先求定义域，再分析单调性 单调性与奇偶性的关系 是偶函数，在关于原点对称的区间上，单调性相反 1. 认为偶函数在对称区间上单调性相同；2. 利用奇偶性转化区间时计算错误 对比：偶函数在递减，递增，与余弦函数规律一致 三、题型分类与例题精析 题型1：基本余弦函数的单调区间判断与求解 题型特征：直接考查或型函数的单调区间，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 明确基本余弦函数的单调区间模板；2. 分析函数的单调性与的关系（时单调性一致，时单调性相反）；3. 用集合准确表述单调区间，标注。 例题1 求函数的单调递增区间和单调递减区间。 举一反三1-1 求函数的单调递减区间。 举一反三1-2 下列区间中，函数单调递增的是（） A. B. C. D. 举一反三1-3 函数的单调递增区间是______。 题型2：时复合余弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需通过整体代换结合“同增异减”法则求解，属于中等难度题型。 解题步骤：1. 令，写出的单调区间；2. 将代入对应区间，解关于的不等式；3. 整理不等式，得到复合函数的单调区间，标注。 例题2 求函数的单调递增区间。 举一反三2-1 求函数的单调递减区间。 举一反三2-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 举一反三2-3 求函数在区间上的单调递减区间。 题型3：时复合余弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需先转化为正数，再按的方法求解，易错点在于符号处理。 解题步骤：1. 提取负号，将函数变形为；2. 令，写出的单调区间；3. 代入求解关于的不等式，得到单调区间。 例题3 求函数的单调递减区间。 举一反三3-1 求函数的单调递增区间。 举一反三3-2 函数的单调递减区间是（） A. B. C. D. 举一反三3-3 求函数在区间上的单调递增区间。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 单调递减区间与相同 D. 是偶函数 3. 填空题 函数的单调递减区间是______。 4. 解答题 (1) 求函数的单调递减区间。 (2) 判断函数在区间上的单调性。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在区间上的单调递增区间是（） A. 和 B. C. D. 2. 多选题 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. 可能 C. 单调递减区间可能为 D. 值域为 3. 填空题 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 (2) 已知函数的图象过点，且在区间上单调，求的最大值。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若在区间上的最小值为，则的最小值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 定义区间的长度为（为区间的端点），则下列关于函数的说法正确的有（） A. 长度为的区间可能是单调递减区间 B. 长度为的区间一定不是单调区间 C. 单调递增区间的长度均为 D. 存在长度为的单调递增区间 3. 填空题 若函数在上有且仅有3个单调递减区间，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知函数，，求函数的单调递增区间。 (2) 已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $