精品解析：上海市晋元高级中学2025-2026学年高一上学期12月单月教学诊断数学试题

高一第一学期12月单月散学诊断数学学科试卷 一、填空题（1-6每题3分、7-12每题4分，满分42分） 1. 设全集，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求集合的元素，再利用补集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 已知一个扇形的圆心角为，面积为27，则该扇形的半径为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式列方程求解即得. 【详解】设该扇形的半径为，则由题意可得，解得． 故答案为：6. 3. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解即可求解. 【详解】由，可得，所以，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 4. 已知且，则函数的图象经过定点________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由题意令得， 此时， 则函数的图像经过定点. 故答案为： 5. 已知角的终边经过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义和诱导公式即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以，则. 故答案为： 6. 已知，若函数是幂函数，且在上是严格减函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求得的值，结合函数的单调性可确定的值. 【详解】由题意得，所以， 所以，解得或， 当时，在上是严格增函数，不符合题意； 当时，在上是严格减函数，符合题意. 故答案为：. 7. 已知，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，且，所以， 则， 当且仅当时，取得最小值， 故答案为：. 8. 已知，函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数．若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求出，然后再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得，则的定义域为， 又因为在上是严格增函数，不等式即为， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 9. 已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 10. 已知，函数，若对任意实数k，函数总有零点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的值域为R，当时，可得值域为，当时，只需，即可得答案. 【详解】因为对任意实数k，函数总有零点， 所以总有根，即的值域为R， 当时，单调递增，所以值域为， 所以时，的值域与的并集必须为R， 当时，单调递减，值域为，不符合题意； 当时，为常值函数，不符合题意， 当时，单调递增，值域为，只需， 解得，即a的取值范围是. 故答案为： 11. 设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出正方形旋转的过程中顶点落在圆上的次序，由图，首次回到的位置时，正方形滚动了3圈共12次，计算每次的路程求和即可. 【详解】由题设，以正方形的边为弦时所对圆心角为，其在圆上滚动时点的顺序依次如下图示， （图中各点字母，从左到右表示第一次、第二次、到达该点的正方形顶点字母）， 当首次回到的位置时，正方形滚动了3圈，共12次， 设第次滚动，的路程为，则，，，， 所以点所走过的路径的长度为. 故答案为： 12. 已知函数，若存在满足，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象， 根据可得，，进而将问题转为，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】作出函数的图象如图， 故, ，，则，． 所以， 由于函数在上单调递减， 所以，故， 故答案为：. 二、选择题（13-14每题3分、15-16每题4分，满分14分） 13. 中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数值可得. 【详解】因为中，，，所以或. 故选：D. 14. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角都比第一象限角大 B. 将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C. 角和角是终边相同的角 D. 都是正数 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A；求出转过的角大小判断B；确定角所在象限判断C；确定函数值正负判断D. 【详解】对于A，是第二象限角，是第一象限角，而，A错误； 对于B，将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，B错误； 对于C，角是第一象限角，角是第四象限角，它们的终边不同，C错误； 对于D，分别是第二象限和第一象限角，因此，D正确. 故选：D 15. 已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得的最小值，进而可得，求解即可. 【详解】由三角不等式可得， 因为存在实数x，使得不等式成立，所以， 两边平方得，所以， 所以，解得或， 可得a的取值范围是. 故选：A 16. 已知函数的定义域均为，给出下列两个命题： 命题甲：若均为奇函数，则均为奇函数； 命题乙：若均为上的严格增函数，则至少有一个是上的严格增函数． 下列说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断命题甲；利用赋值法可判断命题乙. 【详解】因为均为奇函数， 所以，① ，② ；③ ①+②+③得, 所以，④ ④-①得，④-②得，④-③， 所以. 所以均为奇函数，故命题甲为真命题； 取， 所以， 则均为上的严格增函数， 但在上均不为严格增函数，故命题乙是假命题. 故选：B. 三、解答题（17-19每题10分，20题14分） 17. 已知，且是定义在上的偶函数． （1）求a的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【答案】（1）1 （2）函数在上单调递增；证明如下： 由（1）可得， 任取，且， 则 因为，所以，，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质令可得； （2）由函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 因为，且是定义在上的偶函数， 所以， 即对任意恒成立， 解得. 【小问2详解】 函数在上单调递增,证明略. 18. （1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解 （2）利用同角三角函数的关系解方程组可得和 , 然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点的坐标. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，，由，解得，所以点的坐标为. 19. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米时）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当时，求车流速度v关于车流密度x的函数的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？最大值是多少（精确到1辆/时）？ 【答案】（1）； （2），最大值为3333. 【解析】 【分析】（1）分两段进行讨论，当时，容易得到答案，当时，设出函数解析式，再将点和代入解出即可； （2）由（1）写出函数解析式，分两段分别求出函数的最大值，进而得到答案. 【小问1详解】 当时，，当时，设， 而当时，，则，解得， 所以函数的表达式为. 【小问2详解】 由（1）及已知得， 当时，为增函数，则当时，其最大值为； 当时，， 则当时，在区间上取得最大值， 又3333＞1200，所以当车流密度为100辆/千米时，车流量达到最大，最大值约为3333辆/小时. 20. 对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： ①对任意的，都有； ②存在常数，使得对任意的，都有； 则称为区间上的压缩函数 特别地，若常数，我们称为区间I上的严格压缩函数． （1）判断是否为区间上的压缩函数，并说明理由； （2）已知，函数，证明：“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”； （3）若函数是区间上的严格压缩函数，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 【答案】（1）不是，理由如下： 假设函数是区间上的压缩函数， 则存在常数，使得对任意的，都有 ， 当，时，， 则，即， 令， 则， 构造函数，其中， 则， 则在内单调递减，由此，则， 所以，则在内单调递减， 又因为，则恒成立， 故要使恒成立，则， 这与矛盾，故假设错误， 所以函数不是区间上的压缩函数. （2）证明： 充分性：当时，， 对于任意，，满足条件①， 对于任意，， 即存在，满足， 所以是区间上的压缩函数. 必要性：已知是区间上的压缩函数， 则存在常数，对于任意，都有， 因为，则有，， 所以，所以，又因为， 所以，故对于任意，， 若， 当，时，则恒成立； 由，由函数在上单调递减， 可得， 所以可化为，化简得； 则，这与矛盾，故不满足题意； 若， 当，时， 由，可得，即恒成立， 由函数在上也单调递减， 则，这与矛盾，故也不满足题意； 若，对于任意，，满足题意； 因此是区间上的压缩函数，则. 综上所述，“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”. （3）证明： 令，因为在上的图像是一段连续曲线， 所以在上也是连续的，且对任意， 所以由，则， 则，，即； 同理，则，，即. 若，或，则或， 故满足，使得； 若，且，则且，且在上连续， 则由零点存在性定理可知，，使得； 下面证明唯一存在性. 假设存在，，使得，， 则， 由题意函数是区间上的严格压缩函数， 但根据条件②，存在，使得， 即， 则，这与矛盾，故假设错误； 所以存在唯一的，使得． 【解析】 【分析】（1）反证法先假设是压缩函数，借助导数求解函数单调性，利用洛比达法则分析函数极限值，根据压缩函数的定义探究的范围推出矛盾即可； （2）对于充分性利用压缩函数定义即可证明，对于必要性可用反证法证明，结合压缩函数定义中的不等式恒成立化简，转化为，再按与的大小分类探求可得； （3）首先由，可得，再分类讨论存在性，然后再利用反证法证明唯一性即可. 【小问1详解】 不是，理由略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学期12月单月散学诊断数学学科试卷 一、填空题（1-6每题3分、7-12每题4分，满分42分） 1. 设全集，，则________. 2. 已知一个扇形的圆心角为，面积为27，则该扇形的半径为______． 3. 不等式的解集是________． 4. 已知且，则函数的图象经过定点________． 5. 已知角的终边经过点，则________． 6. 已知，若函数是幂函数，且在上是严格减函数，则________． 7. 已知，且，则的最小值为______. 8. 已知，函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数．若，则实数的取值范围是________． 9. 已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 10. 已知，函数，若对任意实数k，函数总有零点，则a的取值范围是________． 11. 设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为______． 12. 已知函数，若存在满足，则的取值范围为__________． 二、选择题（13-14每题3分、15-16每题4分，满分14分） 13. 中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 14. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角都比第一象限角大 B. 将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C. 角和角是终边相同的角 D. 都是正数 15. 已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域均为，给出下列两个命题： 命题甲：若均为奇函数，则均为奇函数； 命题乙：若均为上的严格增函数，则至少有一个是上的严格增函数． 下列说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 三、解答题（17-19每题10分，20题14分） 17. 已知，且是定义在上的偶函数． （1）求a的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 18. （1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 19. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米时）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当时，求车流速度v关于车流密度x的函数的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？最大值是多少（精确到1辆/时）？ 20. 对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： ①对任意的，都有； ②存在常数，使得对任意的，都有； 则称为区间上的压缩函数 特别地，若常数，我们称为区间I上的严格压缩函数． （1）判断是否为区间上的压缩函数，并说明理由； （2）已知，函数，证明：“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”； （3）若函数是区间上的严格压缩函数，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $