重难强化十四 “几何圆模型”在磁场中的运用（专项训练）（江苏专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

重难强化十四 “几何圆模型”在磁场中的运用（专项训练） 目录 模拟·基础演练 1 01 平移圆与放缩圆 1 02 旋转圆 7 03 磁发散与磁聚焦 11 重难·创新演练 14 真题·实战演练 20 模拟·基础演练 考查重点：平移圆与放缩圆，旋转圆，磁发散与磁聚焦…… 01 平移圆与放缩圆 1．（2026·江苏·一模）太阳耀斑爆发期间，大量宇宙射线持续射向地球。地球磁层作为天然防护屏障，可使带电粒子的运动轨迹发生偏转。一群质量为m、电荷量为q、速度大小介于某一范围的粒子沿垂直于直径AC的方向射向赤道平面，已知从A点射入磁场的粒子恰好全部到达赤道线下半圆弧上的各点。设赤道平面内匀强磁场半径，磁感应强度大小为B，地球半径为R，不计粒子重力、粒子间的相互作用力以及一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．能到达赤道的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．赤道上存在一段区域粒子无法到达，该盲区所对圆心角为60° C．粒子的速度大小范围为 D．从A点射入的粒子，速度越大，在磁场中运动的时间越长 【答案】A 【详解】A．粒子在磁场中，有 可得 所以粒子在磁场中运动的周期相同，粒子从磁场边缘到地球赤道面在磁场中偏转的角度越小，运动的时间越小，根据几何关系可得，磁场边界和赤道上点连线（弦长）越短，轨道半径越大，粒子偏转角度越小，粒子轨迹对应的弦最短（最短弦长为2R），轨迹半径最大为2R，如下图，此时带电粒子从磁场边缘到行星赤道面的时间最短。 对应的轨迹偏转的圆心角为 所以带电粒子从磁场边缘到行星赤道面的最短时间为 故A正确； CD．当带电粒子速度最小时，画出粒子的运动轨迹，如下图所示 根据几何关系可知r1=R 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 当带电粒子速度最大时，画出粒子的运动轨迹，如下图所示 根据几何关系可知r2=2R 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子的速度大小范围为 则从A点射入的粒子射到赤道直径两个端点时经过的都是半圆周，根据可知，时间相等，则从A点射入的粒子，并非速度越大在磁场中运动的时间越长，故CD错误； B．带电粒子以最大速度运动的轨迹与赤道上半圆弧相切点，为辐射盲区的上边界点，通过A射入的粒子恰好能达到赤道线下半圆弧，则从A点射入的带电粒子以最大速度运动的轨迹与赤道线内切的交点为辐射盲区的下边界点，如图所示，△COO′为等腰三角形，且 CO=OO′=3R，CO′=2R 则 可知，B错误； 故选A。 2. （2026·河北·一模）如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，边长为边长为，大量质量为、电荷量为、速度大小为的带负电粒子垂直边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从和边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，有 解得 根据洛伦兹力提供向心力 联立解得 故选C。 3. （2026·江苏·二模）如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点，半径分别为和的半圆盒和围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。质量为m、带电荷量为的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度为0，经电场加速后沿的中垂线从极板上的小孔P射入磁场后打到荧光屏上。已知加速电压为（未知）时，粒子刚好打在荧光屏的中点处。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，且打到半圆盒上的粒子均被吸收。 (1)求加速电压的大小。 (2)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的取值范围。 (3)若调节加速电场的方向与粒子发射速度和角度，使粒子恰好打在中点处，求粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子垂直于射入，恰好垂直打在中点处的运动轨迹如图甲所示，设其运动轨迹半径为，则由几何关系知 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 当粒子在电场中时，由动能定理得 联立解得 （2）当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时，运动轨迹如图乙所示，此时粒子在磁场中运动的半径有最大值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最大速度为，粒子在电场中，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 联立解得 当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时运动轨迹如图丙所示，粒子在磁场中运动的半径有最小值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最小速度为，粒子在电场中，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 联立解得 故加速电压的取值范围为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 可知速度大小与入射角度不影响粒子在磁场中运动的周期。设中点为Q，粒子从P点运动到Q点，轨迹对应圆心角越小，所用时间就越短。当粒子运动轨迹与半圆盒相切时，对应圆心角最小，设轨迹半径为，轨迹圆心为，如图丁所示 则由几何关系有 解得 则 则 所以粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值为 02 旋转圆 4．（2027·广西河池·一模）如图所示，纸面内有直角坐标系。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为。现有一个位于点的放射源，能从点向纸面内各个方向射出速度大小均为的带正电粒子。若在与轴距离为处放一足够长且平行于轴的感光棒，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷，则下列说法中正确的是（     ） A．粒子击中感光棒的最小圆心角为 B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远点坐标为 C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点所用时间为 D．粒子击中感光棒的长度为 【答案】B 【详解】粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力，有 解得运动半径为 从点向纸面内各个方向射出速度大小一样的带正电粒子，构成动态圆中的旋转圆模型，作图如图所示 A．由图可知，粒子击中感光棒的交点为C点时，弦长最短构成劣弧，其圆心角最小圆心为，其中，，由几何三角形可知 解得，故A错误； B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远时是圆与PQ线相切于D点，圆心为，而 即D点的坐标为，故B正确； C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点时构成直径，圆心为，其圆心角为，而粒子的周期为 则所用时间为，故C错误； D．由图可知粒子击中感光棒的下端点为点，上端点为D点，而 则总长度为，故D错误。 故选B。 5. （26-27·浙江高二上·创新班）如图所示，整个空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在平面直角坐标系的坐标原点处有一质子源，其在纸面内沿各个方向持续发射速率均为的质子，不考虑质子间的相互作用，已知质子在磁场中做圆周运动的半径为。 (1)求质子的比荷和有质子经过的区域的面积。 (2)若在处放一块与轴平行的足够长接收屏， ①求屏上有质子打到的区域长度； ②所有打到屏上的质子中，运动时间最短的质子其发射方向与轴正方向夹角为，求。 (3)若接收屏长度为，将其平行于轴放置在（）处，且关于轴对称。假设在的区域无磁场，求屏上有质子打到的长度与的关系。 【答案】(1)， (2)①；② (3)当时，；当时，；当时， 【详解】（1）由   得   面积 （2）①如图1，质子打在屏上的最高点即为圆与屏的切点，屏与轴交点到点的距离   质子打在屏上的最低点为，是圆的直径，可知   因此，   ②时间要最短，即运动轨迹对应的圆心角最小。要使圆心角最小，即相应的弦长最短，易知最短弦长为（如图2），则   （3）如图3，利用“轨迹圆包络面”的边界，求出其中一个临界值为，另一个临界值易知是，接下来进行分类讨论： ①当时，   ②当时，如图4，在屏上半部分，轨迹圆与屏相切时的切点为屏上最高点，在屏下半部分，屏与“轨迹圆包络面”边界的交点为屏上最低点，由几何关系可得   ③当时，在屏上半部分，轨迹圆与屏相切时的切点为屏上最高点，在屏下半部分，所有区域均有质子打到，所以 03 磁发散与磁聚焦 6．（25-26高二下·江苏宜兴中学&泰州中学·期中）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，是两条相互垂直的直径。在磁场内点有一放射源，能在纸面内向磁场中各个方向以相同的速率射出相同的带电粒子，所有粒子均从AD之间射出磁场（D点有粒子射出）。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的半径为 C．粒子的比荷为 D．若仅将粒子的速率变为，则所有粒子射出磁场时的方向都相同 【答案】D 【详解】A．粒子由点射入磁场且均从之间射出，说明粒子进入磁场后向左偏转，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所有粒子均从之间射出且点有粒子射出，说明粒子在磁场中运动的最大弦长恰好为的长度，根据几何关系可知最大弦长等于轨迹的直径，即 解得，故B错误； C．由B选项分析可知粒子在磁场中运动的半径为，根据轨道半径公式有 解得，故C错误； D．若仅将粒子的速率变为，设此时粒子在磁场中运动的半径为r'，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 即粒子在磁场中运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相等，设圆形磁场的圆心为，粒子做圆周运动的轨迹圆心为O'，出射点为，根据几何关系可知，则四边形OAO'P为菱形，根据菱形的性质可知O'P平行于AO，由于粒子在点射出磁场时的速度方向垂直于轨迹半径O'P，则其射出磁场时的速度方向必定垂直于AO，因此所有粒子射出磁场时的方向都相同，故D正确。 故选D。 7．（25-26高二上·南京师大附中·期末）如图所示，在轴上方存在一垂直平面向外的匀强磁场。轴下方另有一个半径为的圆形磁场区域，其圆心为轴上的点，边界过坐标原点，磁感应强度大小为，方向垂直平面向里。位于轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置可以发射一束在轴方向均匀分布、速率相同并且平行于方向的带负电粒子流，粒子的质量为，电荷量为，粒子束的宽度为。处于装置中央的粒子速度方向对准点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (3)在第（2）问的小孔宽度下，使轴上方磁场的磁感应强度变为原来的倍，求通过小孔的粒子所占比例。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）设粒子从点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过轴时所在位置离点距离为，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准点时，刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限，所以粒子在轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从点入射时，方向速度越大，偏转位移越大，由于初始粒子沿轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，即距离轴的粒子均能从小孔通过，其中距离轴时，的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （3）由（2）可知，越大，越小，对此分为如下三种情况： （i）当从点沿轴正向入射时（最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离大于小孔右边界，故粒子所占比例为 重难·创新演练 设题创新:放缩圆模型的新视角考法 (T1) ；旋转圆模型的新视角考法 (T2)；磁聚焦磁发散的新视角考法（T3） 1．（25-26高二上·常州田家炳高级中学·月考）如图平面直角坐标系中，轴上方区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。原点O处有一粒子源，可在坐标平面内沿各个方向向磁场区发射比荷均为的带负电的粒子。在处垂直于轴放置一块足够长的粒子收集板PQ，当粒子运动到收集板时即被吸收，不计粒子间相互作用和重力的影响，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电。 (1)设某时刻粒子源沿+y方向射入一系列粒子，速度大小从0到不等，能打到P点被收集的粒子速度多大？ (2)第一问中，至少经过多长时间有粒子到达收集板？ (3)粒子源沿各个方向均匀地向磁场区发射速度大小均为的粒子，会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，求PQ上这种位置分布的区域长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 由题意可知，能打到P点被收集的粒子的轨迹半径为 代入数据联立解得能打到P点被收集的粒子速度大小为 （2）设速度为的粒子轨道半径为，则有 代入数据解得 如图2所示，设该粒子击中点，，则根据几何关系有 代入数据解得 所以有 已知所有粒子的圆周运动周期均为 由分析可知速度为的粒子转过的圆心角最小，其角度为 则粒子到达收集板的最短时间为 故至少经过才有粒子到达收集板。 （3）临界1：如图3所示 初速度与轴成的粒子轨迹直径与交于，这是上离最远的亮点，根据几何关系有 则 所以 临界2：如图4所示 初速度与轴成的粒子轨迹与相切于，则有 解得 说明点与点重合，则有 解得 MN之间会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，所求区域长度为 2．（24-25高三上·南京汉开书院·学情调研） “太空粒子探测器”是安装在人造卫星上的探测宇宙射线的设备，用以捕捉太空辐射的离子。如图所示，轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。位于坐标原点的接收窗口接收太空辐射的正离子，离子以速度大小向轴上方各个方向射出，假设向各个方向发射离子的概率相同，而轴上方各区域探测到离子的概率不等。已知正离子的质量为、电荷量为 。不计离子重力及离子间相互作用。求 (1)在轴上能够探测到离子的区间； (2)入射的离子在磁场中的运动时间； (3)轴上方探测到离子的高概率区与低概率区的面积比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力，有 得 粒子沿顺时针方向运动，如图所示 当粒子运动轨迹与轴相交的弦长等于直径时，能够探测到离子的距离最远，为，则在轴上能够探测到离子的区间为，即 （2）若 ，如图所示，可知离子在磁场中转过的圆心角为 根据线速度公式，有 得，则离子在磁场中的运动时间 （3）如图所示 粒子的运动轨迹有重叠的区域，为可探测到离子的高概率区域， 粒子的运动轨迹没有重叠的区域，为可探测到离子的低概率区域， 则高概率区与低概率区的面积比 3．（24-25高二下·镇江中学&南京一中·期末）如图所示，在第一象限存在垂直xOy平面向外的磁场，磁感应强度大小与到O点的距离r成反比，即满足（k未知），磁场分布在的范围内，第三象限与第四象限分别存在垂直xOy平面向里和向外的半径为的圆形匀强磁场，磁感应强度大小均为。第二象限有一束质量是m，电荷量是q，速度大小为v，与x轴的距离满足的范围内的粒子水平向右运动，已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进入第四象限，最终均会打在垂直于y轴的屏上。不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。 (1)求出的表达式中k的数值； (2)离x轴距离不同的入射粒子，在第四象限圆形磁场中运动的时间不同，求最长时间与最短时间的时间差； (3)计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积，并画出粒子打在屏上的范围。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在第一象限磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 结合题意可知 联立可得 则有 （2）若在第三与第四象限磁场中做圆周运动半径为R2，同理可得 与圆形磁场半径相同从x=L处入射的粒子在第四象限运动时间最长，则有 从处入射的粒子在第四象限运动时间最短，则有 联立解得 （3）在第三象限磁场内有粒子经过的区域面积 画出粒子打在屏上的范围如图所示 真题·实战演练 高频考点：放缩圆模型；旋转圆模型…… 1．（2025·安徽·高考）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选C。 2．（2025·甘肃·高考）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】BD 【详解】由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点， 根据a粒子的速度大小为 可得 设外圆半径等于,由几何关系得 则 A错误； B．由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间 a粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间 匀速直线运动的时间 故a粒子返回A点所用的最短时间为 B正确； C．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C错误； D．由几何关系得 洛伦兹力提供向心力有 联立解得 D正确。 故选BD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难强化十四 “几何圆模型”在磁场中的运用（专项训练） 模拟·基础演练 01 平移圆与放缩圆 题号 1 2 答案 A C 3. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子垂直于射入，恰好垂直打在中点处的运动轨迹如图甲所示，设其运动轨迹半径为，则由几何关系知 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 当粒子在电场中时，由动能定理得 联立解得 （2）当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时，运动轨迹如图乙所示，此时粒子在磁场中运动的半径有最大值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最大速度为，粒子在电场中，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 联立解得 当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时运动轨迹如图丙所示，粒子在磁场中运动的半径有最小值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最小速度为，粒子在电场中，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 联立解得 故加速电压的取值范围为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 可知速度大小与入射角度不影响粒子在磁场中运动的周期。设中点为Q，粒子从P点运动到Q点，轨迹对应圆心角越小，所用时间就越短。当粒子运动轨迹与半圆盒相切时，对应圆心角最小，设轨迹半径为，轨迹圆心为，如图丁所示 则由几何关系有 解得 则 则 所以粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值为 02 旋转圆 题号 4 答案 B 5. 【答案】(1)， (2)①；② (3)当时，；当时，；当时， 【详解】（1）由   得   面积 （2）①如图1，质子打在屏上的最高点即为圆与屏的切点，屏与轴交点到点的距离   质子打在屏上的最低点为，是圆的直径，可知   因此，   ②时间要最短，即运动轨迹对应的圆心角最小。要使圆心角最小，即相应的弦长最短，易知最短弦长为（如图2），则   （3）如图3，利用“轨迹圆包络面”的边界，求出其中一个临界值为，另一个临界值易知是，接下来进行分类讨论： ①当时，   ②当时，如图4，在屏上半部分，轨迹圆与屏相切时的切点为屏上最高点，在屏下半部分，屏与“轨迹圆包络面”边界的交点为屏上最低点，由几何关系可得   ③当时，在屏上半部分，轨迹圆与屏相切时的切点为屏上最高点，在屏下半部分，所有区域均有质子打到，所以 03 磁发散与磁聚焦 题号 6 答案 D 7． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）设粒子从点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过轴时所在位置离点距离为，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准点时，刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限，所以粒子在轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从点入射时，方向速度越大，偏转位移越大，由于初始粒子沿轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，即距离轴的粒子均能从小孔通过，其中距离轴时，的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （3）由（2）可知，越大，越小，对此分为如下三种情况： （i）当从点沿轴正向入射时（最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从点入射时，其与轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离大于小孔右边界，故粒子所占比例为 重难·创新演练 1． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 由题意可知，能打到P点被收集的粒子的轨迹半径为 代入数据联立解得能打到P点被收集的粒子速度大小为 （2）设速度为的粒子轨道半径为，则有 代入数据解得 如图2所示，设该粒子击中点，，则根据几何关系有 代入数据解得 所以有 已知所有粒子的圆周运动周期均为 由分析可知速度为的粒子转过的圆心角最小，其角度为 则粒子到达收集板的最短时间为 故至少经过才有粒子到达收集板。 （3）临界1：如图3所示 初速度与轴成的粒子轨迹直径与交于，这是上离最远的亮点，根据几何关系有 则 所以 临界2：如图4所示 初速度与轴成的粒子轨迹与相切于，则有 解得 说明点与点重合，则有 解得 MN之间会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，所求区域长度为 2． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力，有 得 粒子沿顺时针方向运动，如图所示 当粒子运动轨迹与轴相交的弦长等于直径时，能够探测到离子的距离最远，为，则在轴上能够探测到离子的区间为，即 （2）若 ，如图所示，可知离子在磁场中转过的圆心角为 根据线速度公式，有 得，则离子在磁场中的运动时间 （3）如图所示 粒子的运动轨迹有重叠的区域，为可探测到离子的高概率区域， 粒子的运动轨迹没有重叠的区域，为可探测到离子的低概率区域， 则高概率区与低概率区的面积比 3． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在第一象限磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 结合题意可知 联立可得 则有 （2）若在第三与第四象限磁场中做圆周运动半径为R2，同理可得 与圆形磁场半径相同从x=L处入射的粒子在第四象限运动时间最长，则有 从处入射的粒子在第四象限运动时间最短，则有 联立解得 （3）在第三象限磁场内有粒子经过的区域面积 画出粒子打在屏上的范围如图所示 真题·实战演练 题号 1 2 答案 C BD 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难强化十四 “几何圆模型”在磁场中的运用（专项训练） 目录 模拟·基础演练 1 01 平移圆与放缩圆 1 02 旋转圆 3 03 磁发散与磁聚焦 4 重难·创新演练 5 真题·实战演练 7 模拟·基础演练 考查重点：平移圆与放缩圆，旋转圆，磁发散与磁聚焦…… 01 平移圆与放缩圆 1．（2026·江苏·一模）太阳耀斑爆发期间，大量宇宙射线持续射向地球。地球磁层作为天然防护屏障，可使带电粒子的运动轨迹发生偏转。一群质量为m、电荷量为q、速度大小介于某一范围的粒子沿垂直于直径AC的方向射向赤道平面，已知从A点射入磁场的粒子恰好全部到达赤道线下半圆弧上的各点。设赤道平面内匀强磁场半径，磁感应强度大小为B，地球半径为R，不计粒子重力、粒子间的相互作用力以及一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．能到达赤道的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．赤道上存在一段区域粒子无法到达，该盲区所对圆心角为60° C．粒子的速度大小范围为 D．从A点射入的粒子，速度越大，在磁场中运动的时间越长 2. （2026·河北·一模）如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，边长为边长为，大量质量为、电荷量为、速度大小为的带负电粒子垂直边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从和边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 3. （2026·江苏·二模）如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点，半径分别为和的半圆盒和围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。质量为m、带电荷量为的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度为0，经电场加速后沿的中垂线从极板上的小孔P射入磁场后打到荧光屏上。已知加速电压为（未知）时，粒子刚好打在荧光屏的中点处。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，且打到半圆盒上的粒子均被吸收。 (1)求加速电压的大小。 (2)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的取值范围。 (3)若调节加速电场的方向与粒子发射速度和角度，使粒子恰好打在中点处，求粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值。 02 旋转圆 4．（2027·广西河池·一模）如图所示，纸面内有直角坐标系。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为。现有一个位于点的放射源，能从点向纸面内各个方向射出速度大小均为的带正电粒子。若在与轴距离为处放一足够长且平行于轴的感光棒，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷，则下列说法中正确的是（     ） A．粒子击中感光棒的最小圆心角为 B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远点坐标为 C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点所用时间为 D．粒子击中感光棒的长度为 5. （26-27·浙江高二上·创新班）如图所示，整个空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在平面直角坐标系的坐标原点处有一质子源，其在纸面内沿各个方向持续发射速率均为的质子，不考虑质子间的相互作用，已知质子在磁场中做圆周运动的半径为。 (1)求质子的比荷和有质子经过的区域的面积。 (2)若在处放一块与轴平行的足够长接收屏， ①求屏上有质子打到的区域长度； ②所有打到屏上的质子中，运动时间最短的质子其发射方向与轴正方向夹角为，求。 (3)若接收屏长度为，将其平行于轴放置在（）处，且关于轴对称。假设在的区域无磁场，求屏上有质子打到的长度与的关系。 03 磁发散与磁聚焦 6．（25-26高二下·江苏宜兴中学&泰州中学·期中）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，是两条相互垂直的直径。在磁场内点有一放射源，能在纸面内向磁场中各个方向以相同的速率射出相同的带电粒子，所有粒子均从AD之间射出磁场（D点有粒子射出）。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的半径为 C．粒子的比荷为 D．若仅将粒子的速率变为，则所有粒子射出磁场时的方向都相同 7．（25-26高二上·南京师大附中·期末）如图所示，在轴上方存在一垂直平面向外的匀强磁场。轴下方另有一个半径为的圆形磁场区域，其圆心为轴上的点，边界过坐标原点，磁感应强度大小为，方向垂直平面向里。位于轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置可以发射一束在轴方向均匀分布、速率相同并且平行于方向的带负电粒子流，粒子的质量为，电荷量为，粒子束的宽度为。处于装置中央的粒子速度方向对准点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (3)在第（2）问的小孔宽度下，使轴上方磁场的磁感应强度变为原来的倍，求通过小孔的粒子所占比例。 重难·创新演练 设题创新:放缩圆模型的新视角考法 (T1) ；旋转圆模型的新视角考法 (T2)；磁聚焦磁发散的新视角考法（T3） 1．（25-26高二上·常州田家炳高级中学·月考）如图平面直角坐标系中，轴上方区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。原点O处有一粒子源，可在坐标平面内沿各个方向向磁场区发射比荷均为的带负电的粒子。在处垂直于轴放置一块足够长的粒子收集板PQ，当粒子运动到收集板时即被吸收，不计粒子间相互作用和重力的影响，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电。 (1)设某时刻粒子源沿+y方向射入一系列粒子，速度大小从0到不等，能打到P点被收集的粒子速度多大？ (2)第一问中，至少经过多长时间有粒子到达收集板？ (3)粒子源沿各个方向均匀地向磁场区发射速度大小均为的粒子，会有两个不同方向入射的粒子在PQ上的同一位置被收集，求PQ上这种位置分布的区域长度。 2．（24-25高三上·南京汉开书院·学情调研） “太空粒子探测器”是安装在人造卫星上的探测宇宙射线的设备，用以捕捉太空辐射的离子。如图所示，轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。位于坐标原点的接收窗口接收太空辐射的正离子，离子以速度大小向轴上方各个方向射出，假设向各个方向发射离子的概率相同，而轴上方各区域探测到离子的概率不等。已知正离子的质量为、电荷量为 。不计离子重力及离子间相互作用。求 (1)在轴上能够探测到离子的区间； (2)入射的离子在磁场中的运动时间； (3)轴上方探测到离子的高概率区与低概率区的面积比。 3．（24-25高二下·镇江中学&南京一中·期末）如图所示，在第一象限存在垂直xOy平面向外的磁场，磁感应强度大小与到O点的距离r成反比，即满足（k未知），磁场分布在的范围内，第三象限与第四象限分别存在垂直xOy平面向里和向外的半径为的圆形匀强磁场，磁感应强度大小均为。第二象限有一束质量是m，电荷量是q，速度大小为v，与x轴的距离满足的范围内的粒子水平向右运动，已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进入第四象限，最终均会打在垂直于y轴的屏上。不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。 (1)求出的表达式中k的数值； (2)离x轴距离不同的入射粒子，在第四象限圆形磁场中运动的时间不同，求最长时间与最短时间的时间差； (3)计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积，并画出粒子打在屏上的范围。 真题·实战演练 高频考点：放缩圆模型；旋转圆模型…… 1．（2025·安徽·高考）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 2．（2025·甘肃·高考）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $