精品解析：天津市第三中学2026-2027学年高二年级第一学期10月阶段性检测数学试题

2026年19月高二数学月考试题 一、单选题 1. 过两点，的直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点求出斜率，再由斜率求出倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，所以， 故直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系直接求解即可. 【详解】直线的斜率与倾斜角满足，且， 若，则. 故选:C. 3. 若直线与互相垂直，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由直线与互相垂直， 可知，解得. 故选：A 4. 已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率求出，然后结合的关系求解渐近线方程即可. 【详解】双曲线C：的离心率为, 故，， . 故双曲线C的渐近线方程为：. 故选：A 5. 过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，可得圆心与点连线的斜率，利用弦长公式得到当直线与垂直时，弦长度最短，进而得到直线的斜率，再由点斜式得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 当直线与垂直时，圆心到直线的距离取到最大值， 利用弦长公式，得到此时弦长度最短， 由直线与垂直，得：， 又由圆心与点连线的斜率， 可得直线的斜率， 又因为直线过， 所以直线的方程为， 即． 故选：B 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. 3 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】确定双曲线的渐近线方程，由直线垂直关系即可得的值，从而得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 若一条渐近线与直线垂直， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率为 . 故选：A. 7. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以， ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 8. 已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆，即， 可知圆心为，半径，且， 圆心到直线的距离， 因为圆与相交于两点，且为正三角形， 所以，即，解得. 故选：C. 9. 已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可求出点坐标，然后代入椭圆，求解离心率. 【详解】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可得点坐标为. 如图： 将代入椭圆方程，结合，得 化简为关于离心率的方程为 即，解得. 由于椭圆离心率，故，即. 故选：B 二、填空题 10. 直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 【答案】或或 【解析】 【分析】考虑直线过原点、不过原点且在两坐标轴上的截距相等、不过原点且截距相反三种情况即可. 【详解】①若直线过原点，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； ②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； ③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； 综上所述：直线的方程为或或. 故答案为：或或. 11. 已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 12. 若椭圆C：的右焦点为F，且与直线l：交于P，Q两点，则的周长为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【详解】 由题得椭圆的左焦点， 所以直线经过左焦点， 的周长， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题. 13. 已知过点的直线l与直线垂直，l与圆相交于A，B两点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由直线的垂直关系求得直线l的方程，再利用几何法求得弦长得答案． 【详解】因为过点的直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为：， 把圆的方程化为标准方程得：， ∴圆心坐标为，半径， ∴圆心到直线的距离， 则， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系，相交时的弦长问题，属于基础题；把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，由求出的与半径，根据垂径定理与勾股定理求出的一半，即可得到的长． 14. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是_____. 【答案】外切 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径；由直线平分圆面积可知直线过圆心，由此可求得的值；根据圆心距和两圆半径之间关系可确定两圆位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 由圆方程知：圆心，半径； 圆的面积被直线平分，直线过圆心， ，解得：，； 圆心距， 圆与圆的位置关系是外切. 故答案为：外切. 15. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心，为半径的半圆，求出直线过定点坐标，再结合图象求出临界值，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：对于曲线，则，所以， 即，表示以为圆心，为半径的圆在轴及轴以上部分， 直线，即，令， 解得，即直线恒过定点， 因为直线与曲线有两个交点， 当直线过点时，当直线恰好与半圆相切时， 则，解得或（舍去）， 结合图象可知，即. 故答案为： 16. 已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长. 【详解】设左焦点为，又直线经过左焦点，则， 因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又， 所以，因此椭圆标准方程为，设， 联立方程，化简得，则， 根据弦长公式可得. 17. 已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为_________ 【答案】 【解析】 【分析】解法一：由及已知角求出点的坐标，代入双曲线方程，并利用求离心率．解法二：利用双曲线的定义与余弦定理，建立、的关系． 【详解】解法一：如图，过点作轴，垂足为，设双曲线的半焦距为． 因为，，所以，． 由双曲线关于轴对称，不妨设在第二象限． 此时，所以 又，故 把的坐标代入双曲线方程，得 整理得即，从而 又，因为，所以 由于，解得． 解法二：如图，设双曲线的右焦点为，连接． 由及，得 点在双曲线左支，由双曲线的定义，得 又，，在中由余弦定理得 即 整理得． 因为，所以，故 三、解答题（共3题，16题10分，17题10分，18题12分） 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出圆心坐标，再由列出方程求解. （2）按切线斜率是否存在，结合点到直线距离公式列式求解. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 19. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2 （2）x＝0或3x+4y﹣4＝0 【解析】 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论. 【小问1详解】 因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d. 据题意，d＝|AC|，则， 解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d， 则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. 【小问2详解】 k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k， ∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 20. 已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，可求得，再将点代入椭圆方程可求得； （2）由已知可推得.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可求得，，由，即可解出的值. 【小问1详解】 因为，，所以，. 又点为椭圆上一点，则有，所以. 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，，则圆的圆心为，半径为. 直线可化为. 由直线与圆相切，得，整理可得. 设， 联立直线与椭圆方程，得 ，又， 则恒成立， 所以，， . 因为，所以， 即. 化简可得，，解得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年19月高二数学月考试题 一、单选题 1. 过两点，的直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与互相垂直，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4 D. 1 4. 已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. 3 C. 5 D. 2 7. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 8. 已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 11. 已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 12. 若椭圆C：的右焦点为F，且与直线l：交于P，Q两点，则的周长为_______________. 13. 已知过点的直线l与直线垂直，l与圆相交于A，B两点，则____________． 14. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是_____. 15. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______. 16. 已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 17. 已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为_________ 三、解答题（共3题，16题10分，17题10分，18题12分） 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 19. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 20. 已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $