精品解析：天津市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027（一）天津二中高二年级第一次月考 数学学科试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】， 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为， 故选：D 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 5. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 6. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可求解. 【详解】由，得， ， 故选：A 7. 已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解之可求得答案. 【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即， 所以，解得， 故选：D. 8. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两条不重合的直线、的方向向量分别是、，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线、的方向向量分别为、，若，则 D. 两个不同的平面、的法向量分别是、，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A，根据空间直线方向向量的平行的判定规则判断； 对于选项B，根据空间直线方向向量、平面法向量的平行的判定规则判断； 对于选项C：根据空间直线方向向量垂直的判定规则判断； 对于选项D：根据平面法向量判断面面的位置关系. 【详解】对于选项A：两条不重合直线平行的充要条件为其方向向量共线. 已知 ，， 不存在实数满足（若，则对应第三分量应为2，与的第三分量1矛盾）， 故与不共线，与不平行，A错误. 对于选项B：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直. 已知， 即，故，B错误. 对于选项C：两条直线垂直的充要条件为其方向向量的数量积为0. 由得， 代入坐标计算：， 即，解得，C错误. 对于选项D：两个不同平面垂直的充要条件为其法向量的数量积为0. 计算， 故，即，D正确. 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法错误的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两条动直线的定点坐标，验证两直线垂直，结合直角三角形性质与基本不等式逐一判断各选项，选出错误选项. 【详解】 对于直线，整理为， 对任意恒成立，解得，即； 对于直线，整理为， 对任意恒成立，解得，即 . 选项A：由两点间距离公式得，A正确； 选项B：两直线系数满足，故，即，为直角三角形， 由勾股定理得，为定值，B正确； 选项C：，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，故，最大值为，C错误； 选项D：由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立，最大值为，D正确. 二、填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分．） 11. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 【答案】## 【解析】 【分析】计算得，即可得到倾斜角大小. 【详解】设直线的倾斜角为，则，，则. 故答案为：. 12. 两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先统一两条平行直线的系数，再代入两平行线间的距离公式求解. 【详解】首先将直线两边同乘2，得到与系数一致的平行直线方程. 根据两平行直线的距离公式得. 13. 已知直线与直线垂直，=_____． 【答案】1或-1 【解析】 【分析】由直线垂直可得（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，解之即可． 【详解】依题意，l1⊥l2， 故（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0， 化简得a2=1，解得a=1或a=﹣1 故a的值为：1或﹣1 【点睛】本题考查直线垂直的充要条件l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.，属于基础题． 14. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 15. 已知空间中三点、、，那么点到直线的距离为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算求出的值，进而可求得，由此可得出点到直线的距离为，即可得解. 【详解】由已知可得，， ， 所以，， 因此，点到直线的距离为. 故答案为：. 16. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 17. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则正确的是（填写编号）________． （1）当时，平面 （2）当时，点P在棱上 （3）当时，三棱锥的体积为定值 （4）时，存在两个点P，使得 【答案】（1）（3） 【解析】 【分析】对于（1），当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于（2），当时，由得，所以点P在线段上；对于（3），当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于（4），当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于（1），当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故（1）正确； 对于（2），当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故（2）错误； 对于（3），当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故（3）正确； 对于（4），当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故（4）错误． 三、解答题（本题共3小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18. 已知的顶点坐标分别是，，．求 （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边的垂直平分线所在直线的一般式方程； （3）求的面积． 【答案】（1） 边上的中线所在直线的方程为 （2） 边的垂直平分线所在直线的一般式方程为 （3） 的面积为 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点坐标，由此可求结论； （2）求直线的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式求直线方程， （3）求直线方程，再求点到直线的距离和，结合三角形面积公式求结论. 【小问1详解】 由已知线段的中点坐标为， 又点的坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为； 【小问2详解】 因为，， 所以直线的斜率， 所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 又线段的中点坐标为， 所以边的垂直平分线所在直线方程为， 故边的垂直平分线所在直线的一般方程为， 【小问3详解】 因为直线的斜率，点的坐标为， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 又， 所以的面积. 19. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为为 中点，且 ， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 又因为分别为的中点，可得，所以 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，证得，由平面，证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以D为坐标原点，建立坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知：平面，得到，求得，结合向量的距离公式，求得到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知：平面，且平面，所以， 在直角中，， 可得， 又由， 可得， 由（1）知：平面，所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 故三棱锥的体积为. 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面，所以平面. （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角. （3）假设在棱上存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，. 设平面的法向量， 则，令，则，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由题，，，， 则，， 假设存在这样的点，设， 则， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，；当时，， 故存在一点满足条件，线段的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027（一）天津二中高二年级第一次月考 数学学科试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 8. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两条不重合的直线、的方向向量分别是、，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线、的方向向量分别为、，若，则 D. 两个不同的平面、的法向量分别是、，则 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法错误的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 二、填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分．） 11. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 12. 两平行直线与之间的距离为________． 13. 已知直线与直线垂直，=_____． 14. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 15. 已知空间中三点、、，那么点到直线的距离为________. 16. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 17. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则正确的是（填写编号）________． （1）当时，平面 （2）当时，点P在棱上 （3）当时，三棱锥的体积为定值 （4）时，存在两个点P，使得 三、解答题（本题共3小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18. 已知的顶点坐标分别是，，．求 （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边的垂直平分线所在直线的一般式方程； （3）求的面积． 19. 长方体中，，，E、F分别为，中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $