精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2026-2027学年高三上学期第二次学情检测数学试题

实验中学高三年级第二次学情检测 数学试题 命题：陆海琴 审核：解祥峰 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定， 命题：，的否定是，. 故选：B. 2. 已知，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性关系的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 3. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由复数除法运算计算出，再由复数概念得结论． 【详解】由知，故复数的虚部为. 故选：B． 【点睛】本题考查复数的有关概念及复数的运算．对于复数，复数的虚部为，不是. 4. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设，根据导数的定义可得，进而对函数求导列方程求解即可. 【详解】由，则， 而，则，即. 故选：B 5. 已知 ，满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 又， 所以， 所以， 故选：A. 6. 已知等差数列 的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【详解】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. 7. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用函数性质化简条件，最后根据基本不等式求解最小值. 【详解】，的定义域为，，所以是奇函数， 令，，在定义域上单调递减， 对数函数是增函数，根据复合函数单调性，在上为减函数， 由，得，因为为奇函数，，所以， 又因为为减函数，则，， 、均为正实数， ， 当且仅当，即，时等号成立. 8. 已知定义在上的增函数满足对，有，设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是增函数得到是增函数，进而利用的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性，将不等式转化为，分离参数得到，最后利用导数求得函数的最小值即得答案． 【详解】在中令得，所以， 因为是增函数，所以是增函数， 由于， 因此不等式即为， 所以，即， 设，显然它是增函数，且， 因此不等式即为， 所以，恒成立，即，恒成立， 令，则，恒成立， 令，则， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D. 【详解】由题意知，. 对于选项A，若向量，则，即， 显然此式能成立，故A错； 对于选项B，若向量，则有，即， 即，显然此式不成立，故 B正确； 对于选项C，， 则当时，，故C错； 对于选项D，若，则，， 则在上的投影向量为，故D 正确. 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 图象的一条对称轴方程为 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在区间上的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项． 【详解】由图可知，，，又， 解得，，， ∴. 对于选项A，当时，，∴在区间上单调递增，故正确； 对于选项B，为其最小值，∴为图象的一条对称轴，故正确； 对于选项C，，∴点为图象的一个对称中心，故正确； 对于选项D，当时，，当即时，，当即时，，即在区间上的值域为，故错误. 故选：ABC． 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导，根据有两个极值点可得，进而判断即可；对于B，根据导数的几何意义转化问题为与图象的交点个数，进而求解判断即可；对于C，由题意可得，化简得到，再结合可得到即可判断；对于D，由题意可得，根据导数的运算法则可得，，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，要使有两个极值点， 故有两个不等实根，所以，即， 所以当时，必有两个极值点，故A正确； 对于B，，设切点为， 在点处的切线方程为， 又切线过点，则， 整理得，即，令， 过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数， 而，令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使与图象有3个交点，则，故B正确； 对于C，由题意可得 ， 则， 又，则， 则，即，故C错误； 对于D，由题意可得， 则，， 同理， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再结合抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由，解得且， 则的定义域为， 由，解得且， 则的定义域为. 故答案为：. 13. 已知在梯形 中， ，且，点 满足 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，根据已知条件得出各点坐标，设点得出，利用建立方程求出点，进而得出，最后求． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示平面直角坐标系， ， 则， 设点，则， ， ，即，解得， ，， ． 故答案为：． 14. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的法线方程，以及曲线在点处的法线方程，根据这两法线重合可得出关于、的方程，解出这两个未知数的值，即可得出“公法线”方程. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 故函数的定义域为， 由求得，，则法线斜率为， 则在点处的法线方程为， 即， 由求导得，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 即， 由“公法线”得，， 这两个等式相加得，即， 令，则， 故函数在上为增函数， 又因为，所以函数有且只有唯一的零点， 解方程组，可得或，， 又因为，故，故要舍去，即，， 所以“公法线”方程为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知满足，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列， 由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故， 代入得：， 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得， 因此． 【小问2详解】 由题意得， ① ② 得： ． 16. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． （1）求随机变量X的分布列和期望； （2）对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 【答案】（1）X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望； （2） ，元. 【解析】 【分析】（1）结合题意可得服从参数为的二项分布，进而利用二项分布的概率公式计算概率，列出分布列，再通过二项分布期望公式计算期望； （2）根据题目给出的费用规则，建立与的线性关系式，利用数学期望的线性性质，代入的期望计算的期望. 【小问1详解】 由题意，这批零件数量足够大，抽取3个可看作独立重复试验，随机变量，的所有可能取值为，可得对应概率为： ，， ，， 因此的分布列为： X 0 1 2 3 P 由二项分布期望公式得： 【小问2详解】 3个零件的基础检测费用为元，每发现1个不合格品额外支出25元， 因此总费用满足关系式：, 由期望的线性性质：, 即的数学期望为元. 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简可得,结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式化简得，由正弦定理可得,化简后结合的范围即可求解. 【小问1详解】 , 由正弦定理得：， 因为在中， 所以， 又因为，可得，即， 又因为在锐角中, 可得； 【小问2详解】 因为，可得， 由正弦定理得， 又， 所以， 在锐角中 所以, ， ， 所以的取值范围为 18. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为平面，平面， 所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. 【小问2详解】 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. 【小问3详解】 由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面， 所以， 因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为， ， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为， 所以. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知，当且时，，即， 令，得， 因为，所以， 当时，，当时，， ， 以上不等式相加得 ，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）转化问题为对时恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由（2）得，，，令，得，再利用累加法求证即可. 【小问1详解】 由，则， 而，则， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 若对，有， 即为：对时恒成立， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价于， 即为恒成立， 设，则， 设，，则， 因为，所以， 所以在为减函数，则， 所以在为减函数，即， 所以，则的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高三年级第二次学情检测 数学试题 命题：陆海琴 审核：解祥峰 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知 ，满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列 的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 8. 已知定义在上的增函数满足对，有，设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 图象的一条对称轴方程为 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在区间上的值域为 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的定义域为__________. 13. 已知在梯形 中， ，且，点 满足 ，则 ______． 14. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知满足，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． （1）求随机变量X的分布列和期望； （2）对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的取值范围. 18. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $