江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高三上学期12月段考数学试卷

2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三（上）段考 数学试卷（12月份） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数（其中i为虚数单位），则|z|＝（　　） A． B． C．1 D． 2．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜5}，B＝{x|2a﹣1＜x＜2a+6}，若A∩B＝{x|3＜x＜5}，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（5分）已知数列{an}满足：a1＝3，，则a6＝（　　） A． B． C．2 D．3 4．（5分）一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5分）已知随机事件A，B满足P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 6．（5分）“函数的图象关于点对称”是“φ＝+kπ，k∈Z”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5分）已知AB是圆O：x2+y2＝4的直径，M，N是圆O上两点，且∠MON＝120°，则的最小值为（　　） A． B．﹣8 C． D．﹣4 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点（0，1），则（　　） A．函数y＝f（x）+x的最小值为1 B．函数的最小值为1 C．函数y＝f（x）•ex的最小值为1 D．函数的最小值为1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）已知数据x1，x2，…，x10满足：xi﹣xi﹣1＝2（2≤i≤10），若去掉x1，x10后组成一组新数据，则（　　） A．若x1＝1，则原数据x1，x2，…，x10的第80百分位数为15 B．新数据与原数据相比，中位数不变 C．新数据与原数据相比，平均数不变 D．新数据与原数据相比，方差变小 （多选）10．（6分）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）．若黄金双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右两顶点分别为A1，A2，虚轴上下两端点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点．设双曲线C的离心率为e，则（　　） A． B．kEF•kOM＝e2 C．直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直 D．直线与双曲线C的左支有两个不同的交点 （多选）11．（6分）如图，在正四面体ABCD中，已知AB＝2，O为棱AB的中点．现将等腰直角三角形EAB绕其斜边AB旋转一周（假设△EAB可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（　　） A．三角形EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为 B．O，C，D，E四点共面 C．点E到CD的最近距离为 D．异面直线CD与AE所成角的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3（a2+a4+am），则m＝ 　 　． 13．（5分）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为　 　． 14．（5分）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有∠AOB≤α成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y＝（其中e是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则β＝　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且， （1）求A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 16．（15分）玻璃杯成箱出售，共2箱，每箱20只．假设各箱含有0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1．一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买． （1）记随机变量X表示2箱玻璃杯中残次品的总数，求X的分布列和期望； （2）求顾客买下该箱玻璃杯的概率． 17．（15分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S﹣ABCD的体积为． （1）求AD的长； （2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 18．（17分）在平面直角坐标系中，若点P（x0，y0）满足x0，y0都是整数，则称点P为格点． （1）指出椭圆上的所有格点； （2）设A、B是抛物线y＝x2上的两个不同的格点，且线段AB的长度是正整数．求直线AB的斜率的所有可能值组成的集合； （3）设m（m∈N且m≥3）项的数列{an}满足：点Qn（an，an+1）是函数的图像上的格点（n＝1，2，…，m﹣1）．则是否存在正整数b，使得数列{an}为等差数列；若存在，请求出正整数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知R的子集S和定义域同为D的函数y＝f（x），y＝g（x）．若对任意x1，x2∈D，当x1﹣x2∈S时，总有f（x1）﹣g（x2）∈S，则称y＝f（x）是y＝g（x）的一个“S关联函数”． （1）求y＝x2的所有{1}关联函数； （2）若是其自身的一个[0，+∞）关联函数，求实数m的取值范围； （3）对定义在R上的函数y＝p（x），证明：“p（x）＝x+p（0）对任意x∈R成立”的充分必要条件是“存在函数y＝q（x），使得对任意正整数n，y＝q（x）都是y＝p（x）的一个关联函数”． 2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三（上）段考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C B B B D 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数（其中i为虚数单位），则|z|＝（　　） A． B． C．1 D． 【分析】直接利用商的模等于模的商求解． 【解答】解：∵z＝， ∴|z|＝||＝＝． 故选：B． 【点评】本题考查复数模的求法，是基础题． 2．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜5}，B＝{x|2a﹣1＜x＜2a+6}，若A∩B＝{x|3＜x＜5}，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由A∩B＝{x|3＜x＜5}，分析集合A，B的端点值，知2a﹣1＝3，求解即可． 【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜5}，B＝{x|2a﹣1＜x＜2a+6}，且A∩B＝{x|3＜x＜5}， ∴，解得a＝2． 故选：B． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础题． 3．（5分）已知数列{an}满足：a1＝3，，则a6＝（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】由可得an＝an+2，再借助a1＝2求出a2即可得解． 【解答】解：由， 取n＝n+1，得， 两式作差可得，即an＝an+2， ∴a6＝a4＝a2，又， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，是基础题． 4．（5分）一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设该球的半径为R，球的体积公式为V＝，表面积公式为S＝4πR2，根据球的体积和表面积在数值上相等列方程，即可解得球的半径 【解答】解：设该球的半径为R， 依题意，＝4πR2 解得 R＝3 故选：C． 【点评】本题考查了球的体积和表面积公式的运用，解题时要准确用公式，细心计算 5．（5分）已知随机事件A，B满足P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得． 【解答】解：已知随机事件A，B满足P（A）＝，P（B）＝， P（A∪B）＝， ∵P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查概率的基本性质，属于基础题． 6．（5分）“函数的图象关于点对称”是“φ＝+kπ，k∈Z”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断． 【解答】解：函数的图象关于点对称，则﹣φ＝，k∈Z， 可得φ＝+，k∈Z， 所以{φ|φ＝+kπ，k∈Z}⫋{φ|φ＝+，k∈Z}， 所以“函数的图象关于点对称”是“φ＝+kπ，k∈Z”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查正切函数的对称中心的求法，属于基础题． 7．（5分）已知AB是圆O：x2+y2＝4的直径，M，N是圆O上两点，且∠MON＝120°，则的最小值为（　　） A． B．﹣8 C． D．﹣4 【分析】取MN的中点C，连接OC，根据∠MON＝120°，利用等腰三角形的性质，推导出点C在以O为圆心，半径为1的圆上运动．然后根据＝2，利用平面向量数量积的运算性质求出的最小值，可得答案． 【解答】解：圆O：x2+y2＝4的圆心为原点，半径r＝2． 在△OMN中，|OM|＝|ON|＝2，∠MON＝120°， 取MN的中点C，连接OC，则|OC|＝rcos60°＝1， 所以点C在以O为圆心，半径为1的圆上运动． 因为＝2，所以＝2•， 由AB为圆O：x2+y2＝4的直径，可得||＝2r＝4， 当、的方向相反时，•取得最小值﹣||•||＝﹣4， 所以的最小值为2×（﹣4）＝﹣8． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、三角形中线的性质、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题． 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点（0，1），则（　　） A．函数y＝f（x）+x的最小值为1 B．函数的最小值为1 C．函数y＝f（x）•ex的最小值为1 D．函数的最小值为1 【分析】根据图象分辨y＝f（x）和y＝f′（x）的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可一一判断． 【解答】解：由图可知，两个函数图象都在x轴上方，所以f'（x）＞0，即f（x）单调递增， 所以实线为f（x）的图象，虚线为f′（x）的图象，且f（0）＝f′（0）＝1， 对A，y′＝f′（x）+1＞1，所以函数y＝f（x）+x在定义域上单调递增， 所以当x＜0时，y＝f（x）+x＜f（0）+0＝1，故A错误； 对B，由题可得，， 由图可知，当x＜0时，f′（x）﹣f（x）＞0，当x＞0时，f′（x）﹣f（x）＜0， 所以函数在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 所以当x＝0时，函数取得最大值，故B错误； 对C，由题，y′＝[f'（x）+f（x）]ex，由图可知f（x）+f′（x）＞0， 所以y＝f（x）•ex在R上单调递增， 所以当x＜0时，y＝f（x）•ex＜f（0）•e0＝1，故C错误； 对D，，， 由图可知，当x＜0时，f（x）﹣f′（x）＜0，当x＞0时，f（x）﹣f′（x）＞0， 所以在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 所以当x＝0时，函数取得最小值＝1，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了函数导数的综合应用，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）已知数据x1，x2，…，x10满足：xi﹣xi﹣1＝2（2≤i≤10），若去掉x1，x10后组成一组新数据，则（　　） A．若x1＝1，则原数据x1，x2，…，x10的第80百分位数为15 B．新数据与原数据相比，中位数不变 C．新数据与原数据相比，平均数不变 D．新数据与原数据相比，方差变小 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式分析A，由中位数的计算公式分析B，由平均数的计算公式分析C，由方差的定义分析D，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若x1＝1，则原数据为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 由于10×0.8＝8，则其第80百分位数为（15+17）＝16，A错误； 对于B，数据x1，x2，…，x10满足：xi﹣xi﹣1＝2（2≤i≤10），即数据x1，x2，…，x10按从小到大的顺序排列， 故原来数据的中位数为（x5+x6），新数据的中位数为（x5+x6），B正确； 对于C，原来数据的平均数为（x1+x2+…+x10）＝（x5+x6）， 新数据的平均数为（x2+x3+…+x9）＝（x5+x6），C正确； 对于D，若去掉x1，x10后组成一组新数据，原来数据的波动变小，则新数据与原数据相比，方差变小，D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查数据百分位数、平均数、中位数和方差的计算，注意百分位数、平均数、中位数和方差的计算公式，属于基础题． （多选）10．（6分）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）．若黄金双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右两顶点分别为A1，A2，虚轴上下两端点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点．设双曲线C的离心率为e，则（　　） A． B．kEF•kOM＝e2 C．直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直 D．直线与双曲线C的左支有两个不同的交点 【分析】选项A，由“黄金双曲线”的定义可判断；选项B，利用点差法，求得kEF•kOM＝e2﹣1可判断；选项C，分别求得直线F1B2与双曲线C的一条渐近线的斜率，结合双曲线的离心率和两直线垂直的条件可判断；选项D，考虑直线与双曲线C的渐近线的斜率的大小关系，可判断． 【解答】解：“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线，可得双曲线的离心率e＝＝，故A正确； 设E（x1，y1），F（x2，y2），可得﹣＝1，﹣＝1，相减可得＝， 即有•＝kEF•kOM＝＝＝e2﹣1，故B错误； 由e＝＝＝，可得＝， 由F1（﹣c，0），B2（0，﹣b），可得＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣， 即有•＝﹣1，可得直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直，故C正确； 由直线的斜率为，而（）2﹣（）2＝﹣＝＜0，即直线的斜率小于渐近线bx﹣ay＝0的斜率， 可得直线与双曲线的左右两支有交点，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． （多选）11．（6分）如图，在正四面体ABCD中，已知AB＝2，O为棱AB的中点．现将等腰直角三角形EAB绕其斜边AB旋转一周（假设△EAB可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（　　） A．三角形EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为 B．O，C，D，E四点共面 C．点E到CD的最近距离为 D．异面直线CD与AE所成角的范围为 【分析】对于A：由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．对于B：由线面垂直，和线线垂直，又有公共点即可判断；对于C：设O为AB的中点，令F为CD的中点，点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，作出图形，可知当F，O，E三点共线，可求最小值；对于D：结合B、C选项可判断． 【解答】解：对于A：因为AB＝2，所以等腰直角三角形的直角边为 ，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为＝，A错误； 对于B：在正四面体ABCD中，各个侧面都是等边三角形，又因为O为棱AB的中点， 所以DO⊥AB，CO⊥AB，又DO，CO相交于点O，又都在平面DOC内， 所以AO⊥平面DOC，又AO⊥OE，OE与平面DOC有一个公共点， 所以OE在平面DOC内，所以O，C，D，E四点共面，故B正确； 对于C：在图1中，令F为CD的中点，O为AB的中点，则点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动， 由图可知当F，O，E三点共线，且当运动到E1的位置时，E到CD的距离最小， 在Rt△BOF中，，所以，C正确 对于D：由B、C可知，CD在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，， 由线面角的概念可知，AE与圆锥底面中的直线所成最小角就是∠AEO，最大角一定为 由此可知异面直线CD与AE所成角的范围为，正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查了异面直线所成角，旋转体的体积，是中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3（a2+a4+am），则m＝ 　9　． 【分析】设公差为d，利用等差数列的通项公式与求和公式化简计算即得． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 因为S9＝3（a2+a4+am）， 所以， 即9a1+36d＝3[3a1+（m+3）d]，化简得（m+3）d＝12d， 因为公差不为0，即d≠0，解得m＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查等差数列的基本量的运算，属于基础题． 13．（5分）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为　10　． 【分析】先考虑最后一棒的方案，再考虑中间两棒的方案即可． 【解答】解：最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人， 从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种； 安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种， 由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：5×2＝10种． 故答案为：10． 【点评】本题考查排列组合相关知识，属于基础题． 14．（5分）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有∠AOB≤α成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y＝（其中e是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则β＝　　． 【分析】利用导数的几何意义，求出x＞0时，过原点且与y＝xex﹣1+1相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求得答案． 【解答】解：当x＞0时，过原点作y＝xex﹣1+1的切线， 设切点， y'＝（x+1）ex﹣1，， 则切线方程为y﹣（x1+1）＝（x1+1）（x﹣x1）， 又切线过点（0，0）， 所以﹣x1﹣1＝﹣x1（x1+1）， 整理得﹣1＝0， 设g（x）＝x2ex﹣1（x＞0）， 则g'（x）＝（x2+2x）ex﹣1＞0， 故g（x）为单调递增函数，且g（1）＝1， 所以x1＝1，k1＝2， 当x＜0时，过原点作的切线， 设切点， ，， 则切线为， 又切线过点（0，0）． 所以， 又x2≤0， 所以x2＝﹣4，， 因为k1k2＝﹣1， 所以两切线垂直，所以． 故答案为：． 【点评】本题属于新概念题，考查了导数的几何意义及综合运用，考查了两直线间的位置关系，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且， （1）求A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 【分析】（1）由三角恒等变换及锐角A的范围，可得角A的大小； （2）由正弦定理及余弦定理可得c边的大小，由三角形的面积公式计算面积． 【解答】解：（1）因为sin2A﹣cos2A＝1，可得2sin（2A﹣）＝1， 即， 在三角形中，a＜c，可得A为锐角，所以2A﹣＝， 解得A＝； （2）因为，b＝， 由正弦定理可得：a2+c2＝4b， 所以a2+c2＝12， 由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即a2＝3+c2﹣3c， 联立方程组整理得，2c2﹣3c﹣9＝0， 解得c＝3或（舍）． 所以S＝bcsinA＝××3×＝． 【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题． 16．（15分）玻璃杯成箱出售，共2箱，每箱20只．假设各箱含有0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1．一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买． （1）记随机变量X表示2箱玻璃杯中残次品的总数，求X的分布列和期望； （2）求顾客买下该箱玻璃杯的概率． 【分析】（1）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，得到X的分布列，再结合期望公式求解； （2）利用乘法公式求解． 【解答】解：（1）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则P（X＝0）＝0.8×0.8＝0.64，P（X＝1）＝2×0.8×0.1＝0.16，P（X＝2）＝2×0.8×0.1+0.1×0.1＝0.17，P（X＝3）＝2×0.1×0.1＝0.02，P（X＝4）＝0.1×0.1＝0.01， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.64 0.16 0.17 0.02 0.01 所以E（X）＝0×0.64+1×0.16+2×0.17+3×0.02+4×0.01＝0.6； （2）设事件A表示“顾客买下该箱玻璃杯”， 则P（A）＝0.8×1+0.1×+0.1×＝． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题． 17．（15分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S﹣ABCD的体积为． （1）求AD的长； （2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先证SP⊥平面ABCD，再用体积公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面PEB的一个法向量，利用向量法求解即可． 【解答】解：（1）在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是SP⊥AD， 又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP⊂平面SAD， 所以SP⊥平面ABCD， 所以SP是四棱锥S﹣ABCD的高， 设AD＝m，则，矩形ABCD的面积S＝m， 所以， 所以m＝2，即AD长为2． （2）如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），， 设， 则，， 设平面PEB的一个法向量为， 则， 令，则，z＝λ﹣1， 所以， 易知平面SAD的一个法向量为， 因为， 因为0≤λ≤1，所以， 所以存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． 18．（17分）在平面直角坐标系中，若点P（x0，y0）满足x0，y0都是整数，则称点P为格点． （1）指出椭圆上的所有格点； （2）设A、B是抛物线y＝x2上的两个不同的格点，且线段AB的长度是正整数．求直线AB的斜率的所有可能值组成的集合； （3）设m（m∈N且m≥3）项的数列{an}满足：点Qn（an，an+1）是函数的图像上的格点（n＝1，2，…，m﹣1）．则是否存在正整数b，使得数列{an}为等差数列；若存在，请求出正整数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当x＝2时，y＝1，则点（2，1）为椭圆上的格点，由椭圆的对称性可得所有格点； （2）设A（a，a2），B（b，b2），（a，b∈Z且a≠b），根据题意得（a+b）2＝0，从而kAB＝0，得解； （3）假设存在正实数b，使得数列an为等差数列，记公差为d，则方程有实数解，分d＝0和d≠0研究方程的解的情况即可． 【解答】解：（1）根据题意，椭圆，，， 当x＝2时，y＝1，则点（2，1）为椭圆．上的格点， 由椭圆的对称性可得格点：（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）； （2）设A（a，a2），B（b，b2），（a，b∈Z且a≠b）， 则为正整数，记为t， 所以， 由于a，b，t都是整数，所以（a+b）2与（a+b）2+1都是完全平方数， 故只能有（a+b）2＝0， 因此， 直线AB的斜率的所有可能值组成的集合为{0}； （3）设存在正实数b，使得数列an为等差数列，记公差为d， 则an+1＝an+d（n＝1，2，…，m﹣1），且， 所以a1，a2，…，an﹣1是方程的实数解， ①若d＝0时，则有正整数解， 所以必有是整数， 所以正整数b只可能使得b2﹣4＝1，2，4，8，16， 逐一验证发现都不符合题意，所以d＝0时不存在正整数b，使得数列an为等差数列， ②若d≠0时，则有至少两个不相等的整数解， 而方程至多有两个不相等的实数解，所以只能m＝3， 且恰有两个不相等的整数解， 则直线y＝x+d与双曲线的上半部分必有两个公共点， （i）当0＜b＜2时，有，而b是正整数，d是整数， 所以只可能b＝1，d＝﹣1，代回验证发现不符合题意， （ii）当b＝2时，不存在d， （iii）当b＞2时，有d≥2，且x1，x2是方程（b2﹣4）x2﹣8dx﹣4b2﹣4d2＝0的两根， 所以，而x2＝x1+d， 所以有，得， 由于d是整数，所以是整数， 故﹣（1088b2﹣256）≤b4﹣72b2+16≤1088b2﹣256， 此不等式无实数解，所以与不存在正整数b，使得数列an为等差数列， 综上，不存在正整数b，使得数列an为等差数列． 【点评】本题考查了圆锥曲线与数列的综合应用，属于难题． 19．（17分）已知R的子集S和定义域同为D的函数y＝f（x），y＝g（x）．若对任意x1，x2∈D，当x1﹣x2∈S时，总有f（x1）﹣g（x2）∈S，则称y＝f（x）是y＝g（x）的一个“S关联函数”． （1）求y＝x2的所有{1}关联函数； （2）若是其自身的一个[0，+∞）关联函数，求实数m的取值范围； （3）对定义在R上的函数y＝p（x），证明：“p（x）＝x+p（0）对任意x∈R成立”的充分必要条件是“存在函数y＝q（x），使得对任意正整数n，y＝q（x）都是y＝p（x）的一个关联函数”． 【分析】（1）要根据“S关联函数”的定义找出满足条件的函数； （2）需要利用导数分析函数单调性结合定义求出m的取值范围； （3）要从充分性和必要性两个方面进行证明． 【解答】解：（1）设函数y＝h（x）是y＝x2的{1}关联函数． 对于任意x1，x2∈D，当x1﹣x2＝1时，那么x1＝x2+1． 由于，因此， 设x2＝t，那么h（t+1）＝t2+1， 令t+1＝u，t＝u﹣1，所以函数h（u）＝（u﹣1）2+1＝u2﹣2u+2． 因此函数y＝x2的{1}关联函数为y＝x2﹣2x+2． （2）由于是其自身的一个[0，+∞）关联函数． 对任意x1，x2∈D，当x1﹣x2≥0时，． 设x1＝x，x2＝x﹣t（t≥0），那么． 化简得． 函数的导函数为． 由于函数在（0，+∞）上单调递增， 因此导函数在（0，+∞）上恒成立． 所以m≤2x3﹣x在（0，+∞）上恒成立，令函数g（x）＝2x3﹣x，那么导函数g′（x）＝6x2﹣1． 令导函数g'（x）＝0，得． 函数g（x）在上递增，在上递减，． 因此m∈（﹣∞，﹣]． （3）证明：必要性： 若p（x）＝x+p（0），定义q（x）＝x． 对于任意正整数n，对于任意x1，x2∈R，当时． p（x1）﹣q（x2）＝（x1+p（0））﹣x2＝x1﹣x2+p（0）． 因为，所以． 充分性： 假设存在函数y＝q（x），使得对任意正整数n，y＝q（x）都是y＝p（x）的一个关联函数． 当n→∞时，． 对于任意x∈R，取x1＝x，x2＝0，当（n足够大时）． 有，当n→∞时，p（x）﹣p（0）＝x，即p（x）＝x+p（0）． 故命题得证． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$