4.2 等差数列（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 4.2 等差数列 目 录 A组 巩固过关 题型01 由递推关系证明数列是等差数列 题型02等差中项的应用 题型03 等差数列的通项公式 题型04 求等差数列的前n项和 题型05 由Sn求通项公式 题型06两个等差数列的前n项和之比问题 题型07 求等差数列前n项和的最值 题型08 二次函数法求等差数列前n项和的最值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )由递推关系证明数列是等差数列 1．记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1)由题可得，   因为， 所以，   所以数列是公差为3的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ，则，   当时，，   所以. 2．已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) 证明：因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 3．已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 【答案】证明： 因为，由和数学归纳法可知，对任意正整数，都有， 由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列. 【详解】略. ( 题型0 2 )等差中项的应用 4．是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. 5．等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【详解】由等差中项可得 又，故公差为， 故选：A 6．若数列是等差数列，，则_____________ 【答案】/ 【详解】因为数列是等差数列，所以， 即，解得. ( 题型0 3 )等差数列的通项公式 7．已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则________________________． 【答案】 【详解】，故数列是首项为，公差为的等差数列， ，故， 时， ， 满足上式， 故． 8．已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知：， 两边除以：， 令，则.当，， ， ， 代入原式：，代入通项，满足. ，是首项，公差的等差数列. 数列递减，即. 9．已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：由于， 故， 因此数列是公差为的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由题设可得，故， 所以，解得． ( 题型0 4 )求等差数列的前n项和 10．已知正项数列的前项和为且则的通项公式为______． 【答案】 【详解】已知 ，移项得， 左边由平方差公式分解：， 因为 是正项数列，，两边约去 ，得， 当 时，有 ， 将两式相减，， 又 ，因此， 由 ，，得 ，故 ， 此时 ，因此 时， 均成立， 将递推式变形为， 设 ，则 ，由 ， 可知 对所有 成立，因此， 故，代入， 左边 ，右边 ， 左右两边相等，通项成立. 所以. 11．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C．的前项和为 D．的前项和为 【答案】BCD 【详解】对于B，①， 时，②， 两式相减得，整理得， 时，则，满足， 故，，B选项正确. 对于A，时，，A选项错误. 对于C，，， 是以为首项，公差的等差数列， 其前项和，C选项正确. 对于D，， 的前项和 ，D选项正确. 12．（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．使成立的最大正整数为 D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，由 得 ， 即 ，整理得 ，解得. 所以，， A： ，正确. B： ，当时取最小值，正确. C：由 且为正整数得 ， 故使成立的最大正整数为（ ，而不小于），C错误. D： ，正确. ( 题型0 5 )由Sn求通项公式 13．已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【答案】4053 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 14．已知数列的前n项和为，数列是以-5为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ，得 . 当 时： 又 ， 故 （2） 因为，所以 所以 当 当 15．已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 所以， 满足， 所以， 设为数列的前项和， 所以 ， 所以. ( 题型0 6 )两个等差数列的前n项和之比问题 16．（多选）已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（    ） A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B．若，则的值为 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，设的公差为，因是递增数列，故， 前项和，则，相邻两项差为，因此是递增数列，故A正确； 对于B，根据等差数列的前项和性质，是等差数列， 所以，由，可知，故B错误； 对于C，两个等差数列的和仍为等差数列，故是等差数列， 由于是和的等差中项，因此，得，故C正确； 对于D，等差数列中，故，同理，因此，故D正确. 17．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 18．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. ( 题型0 7 )求等差数列前n项和的最值 19．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（    ） A． B． C．时，的最小值为13 D．最大时， 【答案】ABC 【详解】对于A，由，，可得，故A正确； 对于B，因，解得， 又因，解得，即，故B正确； 对于C，因，，又因，故时，的最小值为13，即C正确； 对于D，由上分析，，，故最大时，，故D错误. 20．（多选）已知为等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．当时，取得最大值 C． D． 【答案】BC 【详解】因为为等差数列的前项和， 则，即，且，可得， 可知等差数列的公差，所以数列是递减数列，故A错误； 当时，；当时，； 所以当时，取得最大值，故B正确； 又，，， 所以，，故C正确，D错误. 21．已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 【答案】D 【详解】对于A，因为数列为等差数列，且，则，即，可得，则，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，，，要使，则，所以最小为19，故C错误； 对于D，由选项B知，已知，则，所以当时有最大值，故D正确. ( 题型0 8 )二次函数法求等差数列前n项和的最值 22．已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， . （2）已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为， （3）当时， ， 当时，， 所以. 23．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 24．在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【答案】(1) (2)40 【详解】（1）数列满足，，是等差数列， 设的公差为d，则，即，解得， ，． （2）令，得，解得， 所以当或5时，有最大值， 且最大值为． 1．已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】C 【详解】由题意可得， 又，所以，解得. 2．设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，因为，得到， 所以，又，所以，解得. 3．已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（    ） A．5100 B．4999 C．5202 D．5000 【答案】A 【详解】由题意得，对，， 可知数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，二者公差都为， 前项中，奇数项为，共项。首项，公差， 奇数项的和为， 偶数项为，共项，首项，公差， 偶数项的和为， 数列前项和为. 4．设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 5．已知等差数列的前项和为，且，则 _____. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则，得， 化简得，所以. 6．在数列中，，，则________． 【答案】 【详解】由，则， 又，故数列为以为首项，为公差的等差数列， 故，则，即. 7．已知数列满足，则数列的前2026项和______. 【答案】 【详解】由， 得， 因为， 所以， 所以， 所以. 8．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. （2）由题意得， 则 . 9．设等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，即； 又因为，即，即； 解得，， 故的通项公式为． （2）因为， 所以 ． 10．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），则公差， 则. （2）， 则， 即， 则 . 1．在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】，，， 即，，则有，， 又时，成立， 所以，， 又，，，整理得， 解得或（舍）， 则. 2．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设两个二次方程 、 的根分别为和， 由韦达定理可得：，，因此四个根的和为. 因为已知四个根组成一个首项的等差数列，设公差为， 由等差数列前项和公式：，解得 . 因此四个根按顺序为：​。 根据两组根的和都为，可知配对方式只能是​和​为一组、和为另一组. 由韦达定理，两根之积分别对应和，则可取，. ​ 故. 3．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 4．若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 5．已知数列满足，，且，则数列的前项和________． 【答案】 【详解】，两边取倒数得，， 则，， 所以是首项为，公差为的等差数列，则 ， 则，； 由，得， ， 整理得， 则 ， ， 则. 6．已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 【答案】 / 【详解】由得： 当时，，，，，， 将上式累加可得， 即， 又，则， 当时，，符合上式， 故； 令 由对勾函数性质可知，，， ，， 因为，所以的最小值为，即的最小值为. 7．已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，得， 则， 得， 故数列的公差为， 故， 故 8．已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 9．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)对递推式两边同时除以， 可得，即， 又首项，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，等差数列的通项为， 因此，所以， 所以，即数列是首项为、公差为的等差数列， 故数列的前n项和为. 10．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列，求数列的最大值； (3)若，，求数列的前n项和． 【答案】(1)当时，由前项和定义得：， 已知，则， 是正项数列，故，，则， 又，故是首项为1，公差为1的等差数列， 由等差数列通项得，故， 当时，， 当时，，符合上式， 故． (2) (3) 【详解】（1）略，． （2），则，令，则， 解得， 故时，，数列递增； 时，，数列递减； 故数列先增后减，最大值为第3项，． （3）由得，两式相减得：， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为2的等差数列， 由，则， ①当为偶数时，设， 奇数项共项，首项1，公差2，和为； 偶数项共项，首项0，公差2，和为； 故； ②当为奇数时，， 则， 综上可得． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2 等差数列 目 录 A组 巩固过关 题型01 由递推关系证明数列是等差数列 题型02等差中项的应用 题型03 等差数列的通项公式 题型04 求等差数列的前n项和 题型05 由Sn求通项公式 题型06两个等差数列的前n项和之比问题 题型07 求等差数列前n项和的最值 题型08 二次函数法求等差数列前n项和的最值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )由递推关系证明数列是等差数列 1．记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1)由题可得，   因为， 所以，   所以数列是公差为3的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ，则，   当时，，   所以. 2．已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) 证明：因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 3．已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 【答案】证明： 因为，由和数学归纳法可知，对任意正整数，都有， 由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列. 【详解】略. ( 题型0 2 )等差中项的应用 4．是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. 5．等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【详解】由等差中项可得 又，故公差为， 故选：A 6．若数列是等差数列，，则_____________ 【答案】/ 【详解】因为数列是等差数列，所以， 即，解得. ( 题型0 3 )等差数列的通项公式 7．已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则________________________． 【答案】 【详解】，故数列是首项为，公差为的等差数列， ，故， 时， ， 满足上式， 故． 8．已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知：， 两边除以：， 令，则.当，， ， ， 代入原式：，代入通项，满足. ，是首项，公差的等差数列. 数列递减，即. 9．已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：由于， 故， 因此数列是公差为的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由题设可得，故， 所以，解得． ( 题型0 4 )求等差数列的前n项和 10．已知正项数列的前项和为且则的通项公式为______． 【答案】 【详解】已知 ，移项得， 左边由平方差公式分解：， 因为 是正项数列，，两边约去 ，得， 当 时，有 ， 将两式相减，， 又 ，因此， 由 ，，得 ，故 ， 此时 ，因此 时， 均成立， 将递推式变形为， 设 ，则 ，由 ， 可知 对所有 成立，因此， 故，代入， 左边 ，右边 ， 左右两边相等，通项成立. 所以. 11．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C．的前项和为 D．的前项和为 【答案】BCD 【详解】对于B，①， 时，②， 两式相减得，整理得， 时，则，满足， 故，，B选项正确. 对于A，时，，A选项错误. 对于C，，， 是以为首项，公差的等差数列， 其前项和，C选项正确. 对于D，， 的前项和 ，D选项正确. 12．（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．使成立的最大正整数为 D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，由 得 ， 即 ，整理得 ，解得. 所以，， A： ，正确. B： ，当时取最小值，正确. C：由 且为正整数得 ， 故使成立的最大正整数为（ ，而不小于），C错误. D： ，正确. ( 题型0 5 )由Sn求通项公式 13．已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【答案】4053 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 14．已知数列的前n项和为，数列是以-5为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ，得 . 当 时： 又 ， 故 （2） 因为，所以 所以 当 当 15．已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 所以， 满足， 所以， 设为数列的前项和， 所以 ， 所以. ( 题型0 6 )两个等差数列的前n项和之比问题 16．（多选）已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（    ） A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B．若，则的值为 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，设的公差为，因是递增数列，故， 前项和，则，相邻两项差为，因此是递增数列，故A正确； 对于B，根据等差数列的前项和性质，是等差数列， 所以，由，可知，故B错误； 对于C，两个等差数列的和仍为等差数列，故是等差数列， 由于是和的等差中项，因此，得，故C正确； 对于D，等差数列中，故，同理，因此，故D正确. 17．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 18．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. ( 题型0 7 )求等差数列前n项和的最值 19．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（    ） A． B． C．时，的最小值为13 D．最大时， 【答案】ABC 【详解】对于A，由，，可得，故A正确； 对于B，因，解得， 又因，解得，即，故B正确； 对于C，因，，又因，故时，的最小值为13，即C正确； 对于D，由上分析，，，故最大时，，故D错误. 20．（多选）已知为等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．当时，取得最大值 C． D． 【答案】BC 【详解】因为为等差数列的前项和， 则，即，且，可得， 可知等差数列的公差，所以数列是递减数列，故A错误； 当时，；当时，； 所以当时，取得最大值，故B正确； 又，，， 所以，，故C正确，D错误. 21．已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 【答案】D 【详解】对于A，因为数列为等差数列，且，则，即，可得，则，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，，，要使，则，所以最小为19，故C错误； 对于D，由选项B知，已知，则，所以当时有最大值，故D正确. ( 题型0 8 )二次函数法求等差数列前n项和的最值 22．已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， . （2）已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为， （3）当时， ， 当时，， 所以. 23．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 24．在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【答案】(1) (2)40 【详解】（1）数列满足，，是等差数列， 设的公差为d，则，即，解得， ，． （2）令，得，解得， 所以当或5时，有最大值， 且最大值为． 1．已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】C 【详解】由题意可得， 又，所以，解得. 2．设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，因为，得到， 所以，又，所以，解得. 3．已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（    ） A．5100 B．4999 C．5202 D．5000 【答案】A 【详解】由题意得，对，， 可知数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，二者公差都为， 前项中，奇数项为，共项。首项，公差， 奇数项的和为， 偶数项为，共项，首项，公差， 偶数项的和为， 数列前项和为. 4．设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 5．已知等差数列的前项和为，且，则 _____. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则，得， 化简得，所以. 6．在数列中，，，则________． 【答案】 【详解】由，则， 又，故数列为以为首项，为公差的等差数列， 故，则，即. 7．已知数列满足，则数列的前2026项和______. 【答案】 【详解】由， 得， 因为， 所以， 所以， 所以. 8．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. （2）由题意得， 则 . 9．设等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，即； 又因为，即，即； 解得，， 故的通项公式为． （2）因为， 所以 ． 10．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），则公差， 则. （2）， 则， 即， 则 . 1．在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】，，， 即，，则有，， 又时，成立， 所以，， 又，，，整理得， 解得或（舍）， 则. 2．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设两个二次方程 、 的根分别为和， 由韦达定理可得：，，因此四个根的和为. 因为已知四个根组成一个首项的等差数列，设公差为， 由等差数列前项和公式：，解得 . 因此四个根按顺序为：​。 根据两组根的和都为，可知配对方式只能是​和​为一组、和为另一组. 由韦达定理，两根之积分别对应和，则可取，. ​ 故. 3．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 4．若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 5．已知数列满足，，且，则数列的前项和________． 【答案】 【详解】，两边取倒数得，， 则，， 所以是首项为，公差为的等差数列，则 ， 则，； 由，得， ， 整理得， 则 ， ， 则. 6．已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 【答案】 / 【详解】由得： 当时，，，，，， 将上式累加可得， 即， 又，则， 当时，，符合上式， 故； 令 由对勾函数性质可知，，， ，， 因为，所以的最小值为，即的最小值为. 7．已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，得， 则， 得， 故数列的公差为， 故， 故 8．已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 9．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)对递推式两边同时除以， 可得，即， 又首项，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，等差数列的通项为， 因此，所以， 所以，即数列是首项为、公差为的等差数列， 故数列的前n项和为. 10．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列，求数列的最大值； (3)若，，求数列的前n项和． 【答案】(1)当时，由前项和定义得：， 已知，则， 是正项数列，故，，则， 又，故是首项为1，公差为1的等差数列， 由等差数列通项得，故， 当时，， 当时，，符合上式， 故． (2) (3) 【详解】（1）略，． （2），则，令，则， 解得， 故时，，数列递增； 时，，数列递减； 故数列先增后减，最大值为第3项，． （3）由得，两式相减得：， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为2的等差数列， 由，则， ①当为偶数时，设， 奇数项共项，首项1，公差2，和为； 偶数项共项，首项0，公差2，和为； 故； ②当为奇数时，， 则， 综上可得． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.2等差数列 A组 巩固过关 题型01 由递推关系证明数列是等差数列 1.(1)由题可得T1=Ta, 因为Tn(na-n-)=3n(n+1), 所以3=nu (n+l)TTim_T n(n+1)n(n+1)n+l n' 所以数列 是公差为3的等差数列. 工-五+30n-)=4+3n-3=3n,则工，=3， (2)由(1)可得n=1 T n2 ≥2时.4六a-, 当 3,n=1 所以a,= 3 (n-)2h≥2 3-0+3=1+3 2.①证明：因为4。+3，所以0。 a. 之县1，且调为子所以6或=小， 即ana, a 所以b}是以1为首项，1为公差的等差数列 (2)由(1)知bn=1+(n-)×1=n. 鸡是心后-是 即数列{和，}的通项公式为4，=3 n 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.证明： 因为4=- an 0≠0，由“H马+3a和数学归纳法可知，对任意正整数n,都有。≠ n 11+302=1+3 由a1=2。得aa2an 所以b+-bn= g-2=3,又4=10 所以{b}是首项为-10，公差为3的等差数列 题型07 等差中项的应用 4.C 5.A 6. 5-0.6 题型n3 等差数列的通项公式 7.2n-4 8.A 9.(1)证明：由于 1a1-24-4-22a.-4 an 数6284品导 因此数列b,}是公差为2的等差数列. (2②由题设可得4=。乙=}】 1 1 4-22,故b=。+(n-1)× 2 22 n 1 2 所以2a,-2, 解得an=二+2」 n 题型04 求等差数列的前n项和 10.an=3n. 11,BCD 12,ABD 题型05 由Sn求通项公式 13.4053 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.山由=-5+m-01=m-6,得及=-6如 当n≥2时： an=Sn-Sn=n2-6n-[n-l)2-6n-)]=2n-7 又4=S,=-5=2×1-7, 故an=2n-7(neN) (2)0,=2m-720,n≥ 因为n∈N,所以n≥4 所以4，a2,4<0 当1≤n≤3 T=al+la+.+la=-a-a-..-a=-S, =-(n2-6n)=6n-n2 当n≥4 T,a|+|a2|+…+|an=-a-a2-a3+a4…+an =(a+a2+43+a4…+an)-2(a1+a2+a3) =Sn-2S3=(n2-6n)-2×(-9)=n2-6n+18 6n-n2, 1≤n≤3 T.-㎡-6m+18n24 20 15.129 题型06 两个等差数列的前项和之比问题 16.ACD 17.A 18.D 题型07 求等差数列前项和的最值 19 ABC 20.BC 21.D 题型0R 二次函数法求等差数列前项和的最值 22. (1)已知数列{an}的前n项和为S,=2n2-30n+1, 3/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以4=S=2×12-30×1+1=-27」 4,=S2-S=(2×22-30×2+1-(2×1P-30x1+1)=-24, 4,=S,-S2=(2×32-30×3+1)-(2×2-30×2+1)=-20 (2)已知数列{an}的前n项和为S.=2n2-30n+1, 所以Sn的对称轴为n=7.5,又因为n∈N,所以当n=7或n=8时，Sn取最小值， 由于S,=2×72-30×7+1=-111,S=2×82-30×8+1=-111, 所以S的最小值为-111， (3)当n=1时，4=-27， 当n≥2时，a.=S-S,1=(2m-30+-[2(n--30(n-)+1]=4n-32, [-27,n=1 所以a,= 4n-32,n≥2 a,=a+6d=-13 41=-25 23.(1)设等差数列{a,}的公差为d由题意可得{a4=4+13d=1，解得{d=2, 所以a,=a+(n-1)d=-25+2(n-1)=2n-27. （2因为a}足等关数列，所以8=m+a以-25n+aa-=-26n=a-15-169. 2 因为neN,所以当n=13时，Sn有最小值-169. 24.(1)数列{a}满足2an=a+a,.a-an=a。-an1,{an}是等差数列， 设{a}的公差为d,则a=a,+6d,即-12=12+6d,解得d=-4, ∴.a1=a2-d=12-(-4)=16,.an=16-4n-1）=-4n+20 (2)令an≥0，得-4n+20≥0，解得n≤5， 所以当n=4或5时，S有最大值， 且最大值为S4=S,=16+12+8+4=40 B组 能力进阶 1.C 2.D 418 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.A 4.B 5.-10 1 6. 2026 7.1013 8.(1)设数列{an}的公差为d, 由a5=6得a3=a1+4d=6. 由S,=2a得4a+6d=2(a+5d,即4=2d, 所以有2d+4d=6,解得d=1,a=2, 所以a.=2+(n-1)×1=n+1. 1 111 (2)由题意得a,an+1+2)n+1n+2 nn+1' 11 n 2n+22(n+2) 9.(1)设等差数列{a}的公差为d, 由S,=2S+5,可得5a+10d=2(3a+3d)+5,即a=4d-5: 又因为a2=2a-1,即a+d=2a-1,即a=d+1: 解得4=3，d=2, 故{a,}的通项公式为a.=a+(n-)d=2n+1, ②树为adom可2 所z-北6引G引+12x3) 11 =0G43 n 6n+9 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(1)4=24+1=3,则公差d=4,-a=3-1=2, 则an=1+(n-1)×2=2n-1 (2)a+=2(n+1)-1=2n+1」 则61 1 anan+1(2n-1)(2n+1) a乱动) 则-0》+） -0… C组 思维拔高 1.B 2.D 3.C 4.C 4n 5. 2n+1 21 6.nm2-n+33 210.5 7 68n2-61n 3 8.2n-1 9.(1)对递推式na1=(n+(an+2n)两边同时除以n(n+l), -4+2n-a+2,即m+ln 可得n+1 anl_an=2」 nn 又首项导1，因此数列侣}是以1为前统，2为公的等差数列 618 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等差数列}的通项为会=1+m-)x2=2n-1, a (2)由(1)知， n 因此an=n(2n-l),所以a=(n+1)[2(n+1)-1]=(n+1)(2n+1), an 所以a一(n+2n+n+1,即数列2是首项为，、公差为1的等差数列， 2n+1 故数列2n+的前n项和为 -[2+(n+l]_n(n+3) 2 10.四当n≥2时，由前n项和定义得：a=S。-S=(VS。-VSnS,+VS,), 己知VSn+Sn=a(n22),则S.+S=(S-S)(Sn+V). {a}是正项数列，故Sn>0,VSn+VS>0,则VSn-VSn1=1, 又√S=Va=1,故{VSn}是首项为1，公差为1的等差数列， 由等差数列通项得VS,=1+(n-)×1=n,故Sn=n2, 当n≥2时，an=Sn-Sn1=n2-(n-1)2=2n-1. 当n=1时，a=2×1-1=1,符合上式， 故an=2n-1 (n+1)2 (n+)2 (2) b1=21 n 2m2,令0n+12 ，则 b.=2=2 ->1 2 2n2 n2-2n-1<0 解得l-V2<n<I+V2, 故n=l1,2时，b>b,数列递增； n≥3时，b<b,数列递减： 329 故数列化，}先增后减：最大值为第3项，么=28 (3)由C.+C=a,=2n-l得+C2=a1=2n+l,两式相减得：c+2-cn=2, 即{c}的奇数项、偶数项分别构成公差为2的等差数列， 由9=1，则92=a-G=0 ①当n为偶数时，设n=2k,k∈N, 奇数项共人项，首项1，公差2，和为k1+》2=化 2 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 偶数项共k项首项0，公差2，和为k0+,-×2=-》, 2 T=k2+k(k-1)=2k2-k=n(n-D 2 ②当n为奇数时，n=2k-l,k∈N, 则Z.=042+61-2k-22k-3》+2k-1=2k2-3k+2-t-n+2 2 2 n(n-1) n=2k 2 综上可得T= ,k∈N n2-n+2 2,n=2k- 8/8