4.1.2等差数列的前n项和（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

4.1.2等差数列的前n项和 题型一 求等差数列的前n项和 1．(25-26高二上·上海松江九峰实验学校·期中)记等差数列的前项和为，若，则 . 2．(25-26高二上·上海西中学·开学考)已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 3．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)已知等差数列的公差，且，则 ． 题型二 等差数列前n项和基本量的计算 1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·)在等差数列中，已知，则 ． 2．已知数列为等差数列，其前项和记为. (1)若，则； (2)已知等差数列的公差，，求其通项公式. 3．(23-24高二下·上海杨浦区·期末)设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 题型三 含绝对值的等差数列前项和 1．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 2．(24-25高二上·上海复旦大学附属青浦分校、上海交通大学附属中学嘉定分校、上海外国语大学附属外国语学校松江云间·期中)已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 3．(24-25高二上·上海南汇中学·月考)等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 题型四 等差数列奇数项与偶数项的和 1．在等差数列中，已知公差，且，求的值． 2．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高二上·上海位育中学·期末)设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 题型五 由前n项和判断数列是否为等差数列 1．(25-26高二上·上海华东师范大学第二附属中学·月考)已知等差数列前项和为，则 . 2．(22-23高二上·专题04数列（10个考点）-·期中)已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断是不是等差数列. 3．已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 题型六 由前n项和求通项 1．(24-25高二上·上海青浦高级中学·)已知数列的前n项和，则通项公式= ． 2．设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 3．已知等差数列的前项和（为常数），求数列的通项公式． 题型七 等差数列片段和问题 1．(23-24高二上·上海莘庄中学·月考)已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 2．(22-23高二上·上海高桥中学·期末)记为数列的前项和，已知对任意的，，且存在，，则的取值集合为 （用列举法表示） 3．(22-23高二上·上海延安中学·月考)已知等差数列的前n项和为，若，，则 题型八 前n项和与n比值问题 1．(22-23高二上·河南洛阳·期末)首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题： ①也是等差数列； ②数列也是等差数列； ③若，则时，最大； ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19． 其中所有真命题的序号是 ． 2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 3．(23-24高二上·浙江金华第一中学·期中)已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（    ） A．在中最大的数是 B．在中最大的数是 C．在中最大的数是 D．在中最大的数是 题型九 两个等差数列前n项和之比问题 1．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 2．(24-25高二上·上海格致中学·)等差数列的前项和分别为，若，则 . 3．(21-22高二上·江苏扬中第二高级中学·期末)已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 . 题型十 等差数列的实际应用 1．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .    2．(24-25高二上·上海延安中学·月考)一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 3．已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 题型一 等差数列前n项和最值问题 1．(24-25高二下·上海通河中学·期中)已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·上海宝山区海滨中学·期末)在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．(24-25高二上·上海青浦高级中学·期末)已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．设等差数列的前n项和为，且. (1)若，求的公差； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 题型二 等差数列性质的运用 1．(24-25高二上·上海大同中学·期末)若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 2．(22-23高二上·上海复旦大学附属中学·月考)已知数列，（其中[x]表示不超过x的最大整数，n∈N且n≥1），是关于x的方程的正实数根，记数列的前n项和为，则的值为 . 3．(21-22高二下·上海西南位育中学·期末)对一切实数，令为不大于的最大整数，若，为数列的前项和，则 题型三 数列与不等式结合 1．(23-24高二上·上海延安中学·期中)已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 3．设满足以下两个条件的有穷数列为n（）阶“期待数列”： ①； ②． (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； (2)若某（）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)记n阶“期待数列”的前k项和为（），试证： （i）； （ii）． 题型四 等差数列与方程的解 1．在等差数列中，若和是方程的两个根，则数列的前22项的和等于 ． 2．设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（    ） A．若①有实根，②有实根，则③有实根 B．若①有实根，②无实根，则③有实根 C．若①无实根，②有实根，则③无实根 D．若①无实根，②无实根，则③无实根 3．(23-24高二上·上海行知中学·期末)已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，无实数解的方程最多有（    ） A．1010个 B．1011个 C．1012个 D．1013个 题型五 由前n项和最值求参数 1．(23-24高二上·上海同济大学第一附属中学·期末)等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 2．(22-23高二下·上海七宝中学·期中)已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是 ． 3．(24-25高二上·上海嘉定区第一中学·期末)设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 1．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)已知数列 满足 ，数列 满足 ，且对任意正整数 ，数列的第 项始终等于数列的第 项，数列 满足 ， 则数列的通项公式为 . 2．(24-25高二上·上海实验学校·期中)设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 3．已知有穷数列各项均为整数且是严格增数列，若，，则n的最大值为 . 4．(24-25高二下·上海高桥中学·期末)若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式 . 5．(24-25高二下·上海徐汇中学·月考)在等差数列中，，是数列的前项和，若，则的取值范围是 6．(24-25高二下·上海大学附属中学·)已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.2等差数列的前n项和 题型一 求等差数列的前n项和 1．(25-26高二上·上海松江九峰实验学校·期中)记等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】9 【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 2．(25-26高二上·上海西中学·开学考)已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】. 故答案为：48. 3．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)已知等差数列的公差，且，则 ． 【答案】 【分析】利用求出首项，在求和可得答案. 【详解】由公差，且， 得， 即，解得， 则. 故答案为：. 题型二 等差数列前n项和基本量的计算 1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·)在等差数列中，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，， 则，即， 所以， 所以. 故答案为： 2．已知数列为等差数列，其前项和记为. (1)若，则； (2)已知等差数列的公差，，求其通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质结合求和公式即得； （2）根据等差数列的求和公式可得首项，进而即得. 【详解】（1）因为， 所以 ； （2）由，解得. 故. 3．(23-24高二下·上海杨浦区·期末)设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】（1） 解得： （2） 解得： 题型三 含绝对值的等差数列前项和 1．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 【答案】755 【分析】根据分组求和，结合等差求和公式求解. 【详解】当时，，当时，， 故 ． 故答案为：755 2．(24-25高二上·上海复旦大学附属青浦分校、上海交通大学附属中学嘉定分校、上海外国语大学附属外国语学校松江云间·期中)已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 【答案】A 【分析】本题首先可讨论当时，根据得出，然后讨论当时，通过等差数列求和公式得出，通过计算即可得出结果. 【详解】当时， ， 解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即， 若整数恰有2个，则首先，解得， 设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则， 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有或或. 故选：A. 3．(24-25高二上·上海南汇中学·月考)等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【答案】(1)，当取得最小值时，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和 . 题型四 等差数列奇数项与偶数项的和 1．在等差数列中，已知公差，且，求的值． 【答案】 【分析】根据等差数列通项可构造方程求得，与已知等式作和可求得结果. 【详解】， ， . 2．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由数列的前项和求出通项，可得数列是等差数列，利用首项和公差求其前项和. 【详解】数列中，前项和， 时，， 时， ，时，也满足， ∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4 的等差数列， 则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和. 故选：C 3．(21-22高二上·上海位育中学·期末)设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 题型五 由前n项和判断数列是否为等差数列 1．(25-26高二上·上海华东师范大学第二附属中学·月考)已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 2．(22-23高二上·专题04数列（10个考点）-·期中)已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断是不是等差数列. 【答案】，不是等差数列 【分析】根据可求出通项公式，再根据等差数列的定义即可判断. 【详解】当时，， 当时，，不满足， ， 因为，，，， ∴不是等差数列. 3．已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用可得答案． 【详解】（1）当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. （2）， 令，得， 所以时， ， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则， 所以． 题型六 由前n项和求通项 1．(24-25高二上·上海青浦高级中学·)已知数列的前n项和，则通项公式= ． 【答案】 【分析】根据，可求出首项，继而利用时，，求出的表达式，验证后即可确定答案. 【详解】因为数列的前n项和， 故当时，， 当时， ， 由于不适合该式，故， 故答案为： 2．设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 【答案】A 【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D. 【详解】是数列的前n项和，且， 则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故． 所以当时， －，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确． 故选：A. 3．已知等差数列的前项和（为常数），求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由与关系可用表示，根据等差数列定义可构造方程求得的值，由此可得结果. 【详解】当时，； 当且时，， ，， 数列为等差数列，，即， 解得：，. 题型七 等差数列片段和问题 1．(23-24高二上·上海莘庄中学·月考)已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列片段和性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得； 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. 2．(22-23高二上·上海高桥中学·期末)记为数列的前项和，已知对任意的，，且存在，，则的取值集合为 （用列举法表示） 【答案】 【分析】先计算得到，再根据等差数列的求和公式计算求解即可． 【详解】解：为偶数时， ， ∴， 或19， 当时， ， ∴； 当时，， ∴． 综上：的取值集合． 故答案为：． 【点睛】本题的关键是理解：如果一个数列成等差，则相同间隔构造的新数列也成等差数列．譬如成等差，则也成等差数列． 3．(22-23高二上·上海延安中学·月考)已知等差数列的前n项和为，若，，则 【答案】 【分析】由等差数列片段和的性质知成等差数列，再由等差中项的性质求结果. 【详解】由题设成等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 题型八 前n项和与n比值问题 1．(22-23高二上·河南洛阳·期末)首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题： ①也是等差数列； ②数列也是等差数列； ③若，则时，最大； ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】对①，由等差中项性质判断； 对②，求出数列的通项公式即可判断； 对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断； 对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断. 【详解】设数列的公差为d，，首项为，则，， 对①， ，∴不是等差数列，①错； 对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对； 对③，∵，，∴， ，， ∴由定义可知，时，最大，③对； 对④，由题意可设的项数为， 则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的和为， 所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和为. 两式相除得，∴数列的项数是19，④对. 故答案为：②③④. 2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列． ∵a1＝﹣2018，， ∴数列{}的公差d，首项为﹣2018， ∴2018+2019×1＝1， ∴S2020＝2020． 故选：C． 3．(23-24高二上·浙江金华第一中学·期中)已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（    ） A．在中最大的数是 B．在中最大的数是 C．在中最大的数是 D．在中最大的数是 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，由是以为首项，为公差的等差数列，即可判断AB，由可得在中最大的数是不确定的，即可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为，则，由存在最大值可知，， 因为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，且，则是递减数列，所以在中最大的数是，故A正确，B错误； 在中最大的数是不确定的，比如，由，可得，所以，即为最大值，故CD错误； 故选：A 题型九 两个等差数列前n项和之比问题 1．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 【答案】 【分析】由等比数列前项和的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得：， 故答案为： 2．(24-25高二上·上海格致中学·)等差数列的前项和分别为，若，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列和的关系求解即可. 【详解】等差数列的前项和分别为， 故， 故. 故答案为： 3．(21-22高二上·江苏扬中第二高级中学·期末)已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 . 【答案】15 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得， 解得 又是整数，即是整数， 设，故，即， 解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 故答案为：15 题型十 等差数列的实际应用 1．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .    【答案】 【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算. 【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为， 设第段圆弧的半径为，则可得， 故数列是以首项，公差的等差数列， 则， 则“蚊香”的长度为 . 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海延安中学·月考)一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出第n次报完后共报数的个数，解不等式求出的最小值，并求出对应的最大数即可得解. 【详解】依题意，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 由，即，解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 因此A报出的第2035个数字为5995， 所以A报出的第2000个数字为：， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用等差数列前n项和公式求出A第n次报完数后A报的最大数是求解问题的关键. 3．已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【答案】(1)31.5 (2)今年起第27个季度 【分析】（1）前20季度营业额构成首项为1.1，公差为0.05的等差数列，则总和为，计算即可. （2）因为第n季度的营业额为：，第n季度的利润为：，解不等式即可. 【详解】（1）依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列， 前20季度营业额之和为：（亿）. （2）设2024年起第n季度（）满足条件，依题意， 第n季度的营业额为：， 第n季度的利润为：， 依题意：，解得：. 即今年起第27个季度的利润首次超过该季度营业额的18%. 题型一 等差数列前n项和最值问题 1．(24-25高二下·上海通河中学·期中)已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由得到，即可求解； 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：C. 2．(24-25高二上·上海宝山区海滨中学·期末)在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，，，结合等差数列下标和的性质及等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为为等差数列，前项和有最大值， 若，则，即， 所以，，，即， 则，即， ，即， 所以当时，的最大值为11. 故选：A. 3．(24-25高二上·上海青浦高级中学·期末)已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴ ， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 4．设等差数列的前n项和为，且. (1)若，求的公差； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项，①， 所以，即 即 解得，由于是整数，所以的可能取值是. 题型二 等差数列性质的运用 1．(24-25高二上·上海大同中学·期末)若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 【答案】2022 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前项和公式计算推理得. 【详解】因为，，所以，即， 则， 又，则， 又因为，且， 所以等差数列单调递减， 则 所以对于任意的正整数，都有， 则. 故答案为： 2．(22-23高二上·上海复旦大学附属中学·月考)已知数列，（其中[x]表示不超过x的最大整数，n∈N且n≥1），是关于x的方程的正实数根，记数列的前n项和为，则的值为 . 【答案】1010 【分析】根据给定条件，令，利用方程根的意义，构造函数，探讨函数的零点确定数列的通项，再利用等差数列前n项和公式求解作答. 【详解】因是关于x的方程的实数根，当时，， 令，显然函数在上单调递减，， 因此，，则有， 显然有，令，于是得， 令，函数在上单调递增，而，， 因此存在，使得，即， 当时，，， 当时，，， 从而得 ， 所以. 故答案为：1010 3．(21-22高二下·上海西南位育中学·期末)对一切实数，令为不大于的最大整数，若，为数列的前项和，则 【答案】100 【分析】根据题意可得，然后根据条件及求和公式即得. 【详解】因为， 所以当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，； ， 所以． 故答案为：100. 题型三 数列与不等式结合 1．(23-24高二上·上海延安中学·期中)已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入得出，先说明为等差数列.进而由已知可得出，代入求解即可得出答案. 【详解】令，则为常数， 所以数列为等差数列，首项为. 由已知对任意的恒成立， 可知有，即，解得. 故选：A. 2．等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的首项和公差为，由题意可得，解方程求出，即可得出答案； （2）由裂项相消法求出，再根据的单调性求出，即可得出答案； （3）由等差数列的前项和公式求出，代入不等式，分离参数可得，令，换元法求出的最小值，即可得出答案. 【详解】（1）因为等差数列中，，， 设等差数列的首项和公差为， 所以，解得：， 故等差数列的通项公式为：. （2）， ，其中， 因为在上单调递增，所以， 又因为，所以， 因为存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立， 所以的最小值为. （3）因为，所以， 原不等式即，即， 由可得：，即， 令，令，所以， 所以， 当时，取得最小值为，即， 正数k的最大值为. 3．设满足以下两个条件的有穷数列为n（）阶“期待数列”： ①； ②． (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； (2)若某（）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)记n阶“期待数列”的前k项和为（），试证： （i）； （ii）． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； （2）利用某（）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式； （3）（i）判断时，，然后证明时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可； （ii）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，证明． 【详解】（1）数列为三阶期待数列，数列为四阶期待数列. （2）设等差数列（）的公差为d， ∵， ∴， 所以， 即， ∴，…， 当时，与期待数列的条件①②矛盾，… 当时，据期待数列的条件①②得：， ∴，即， 由得 ，即 ， ∴， 当时， 同理可得，即， 由得 ，即 ， ∴． （3）（i）当时，显然成立；… 当时，据条件①得， 即， ∴， ∴； （ii） 因为，所以 ＝ ＝ 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 题型四 等差数列与方程的解 1．在等差数列中，若和是方程的两个根，则数列的前22项的和等于 ． 【答案】880 【分析】直接利用一元二次方程根和系数的关系及等差数列的性质求出结果． 【详解】由于等差数列中，若和是方程的两个根， 所以，， 所以． 故答案为：880． 2．设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（    ） A．若①有实根，②有实根，则③有实根 B．若①有实根，②无实根，则③有实根 C．若①无实根，②有实根，则③无实根 D．若①无实根，②无实根，则③无实根 【答案】B 【分析】若①有实根，得到，设方程与方程的判别式分别为和，得到，结合举反例可以判断选项AB；通过举反例可以判断选项CD. 【详解】若①有实根，由题意得：， 其中，， 代入上式得， 设方程与方程的判别式分别为和， 则等号成立的条件是． 又 ， 如果②有实根，则，则或者，所以③有实根或者没有实根，如 满足，，但是，所以③没有实根，所以选项A错误； 如果②没实根，则，则，所以③有实根，所以选项B正确； 若①无实根，则，②有实根，则, 设，所以，， 此时，则③有实根，所以选项C错误； 若①无实根，则，②无实根，则, 设，所以，， 此时，则③有实根，所以选项D错误. 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可. 3．(23-24高二上·上海行知中学·期末)已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，无实数解的方程最多有（    ） A．1010个 B．1011个 C．1012个 D．1013个 【答案】B 【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：,其中， ，代入上式得：， 要方程无实数解，则， 显然第1012个方程有解， 设方程与方程的判别式分别为， 则 ， 等号成立的条件是，所以至多一个成立， 同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且， 综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个， 故选：B. 【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解. 题型五 由前n项和最值求参数 1．(23-24高二上·上海同济大学第一附属中学·期末)等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 2．(22-23高二下·上海七宝中学·期中)已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用题给条件列出关于d的不等式组，解之即可求得d的取值范围. 【详解】等差数列的首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值， 则，即，解得． 故答案为： 3．(24-25高二上·上海嘉定区第一中学·期末)设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 1．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)已知数列 满足 ，数列 满足 ，且对任意正整数 ，数列的第 项始终等于数列的第 项，数列 满足 ， 则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】先由题意得到，然后得到，再由列项相消法求解即可. 【详解】由题意可得，即， 因为，所以， 同理，因为，所以， 以此类推可得. 所以 . 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海实验学校·期中)设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 【答案】 【分析】根据题意分类讨论结合分组求和求出，进而可得由题意，则为奇数，进而分析计算即可. 【详解】当为偶数，则 当为奇数，则 因此， 当时，， 于是 ， 依题意，，则，为奇数， 又，则， 所以集合中元素的个数． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：分为奇数和偶数和而得的表达式，进而探讨是求解的关键. 3．已知有穷数列各项均为整数且是严格增数列，若，，则n的最大值为 . 【答案】61 【分析】将n取最大值转化为项数最多，然后此时的前为公差为1的等差数列，然后计算临界值即可. 【详解】满足， 有穷数列各项均为整数且是严格增数列，则n取最大值时，即项数最多时， 此时为公差为1的等差数列，且首项尽可能的小， ，， ， ， ， 故当时，，符合条件； 当时，，不满足，不符合条件； 故n的最大值为. 故答案为：61 4．(24-25高二下·上海高桥中学·期末)若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由题意得出，结合累加法可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列是以为公差，为首项的等差数列，则，且， 所以，，，，， 以上等式累加得， 故. 故当时，. 也满足，故对任意的，. 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海徐汇中学·月考)在等差数列中，，是数列的前项和，若，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据等差数列的基本性质，写出，根据题意列出不等式，求出范围. 【详解】由题意知，所以， 可得，解得. 故答案为：. 6．(24-25高二下·上海大学附属中学·)已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式， 所以. （2）由于， 所以数列前200项和为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $