4.1 数列（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 4.1 数列 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断数列的增减性 题型02确定数列的最大（小）列 题型03 累加法求数列通项 题型04 累乘法求数列通项 题型05 利用an与Sn关系求通项或项 题型06构造法求数列通项 题型07 由递推关系式求通项公式 题型08 根据数列递推公式写出数列的项 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )判断数列的增减性 1．已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 2．已知数列中，． (1)求； (2)证明是递增数列． 3．已知数列的通项公式为． (1)计算，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ ( 题型0 2 )确定数列的最大（小）列 4．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 5．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 6．已知数列的通项公式为，其中． (1)若，求数列的最小项和最大项； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围． ( 题型0 3 )累加法求数列通项 7．求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)数列是以3为首项，3为公比的等比数列，令，求数列的前项和. 9．在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. ( 题型0 4 )累乘法求数列通项 10．已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 11．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 12．已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． ( 题型0 5 )利用an与Sn关系求通项或项 13．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 14．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 15．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求． ( 题型0 6 )构造法求数列通项 16．已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 17．已知为正项数列的前项的乘积，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 18．已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正实数a，使得不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. ( 题型0 7 )由递推关系式求通项公式 19．（1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 20．（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 21．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，证明：． ( 题型0 8 )根据数列递推公式写出数列的项 22．已知数列满足． (1)求； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 23．已知每项均不为0的数列满足：，. (1)若，求的值； (2)若，，求数列的最大项； (3)记为数列的前项和，是否存在满足条件的数列，使得？如存在，求出这样的数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由. 24．在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 1．已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 2．若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 3．已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 4．已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 5．在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 6．已知数列满足，则__________. 7．已知数列的前项和为，则________． 8．已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 9．已知数列的通项公式为. (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由. 10．已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 1．已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象关于点对称，数列的前项和，则（     ） A．201 B．202 C． D．102 4．设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 6．已知数列的前项和，则__________． 7．已知数列满足，则数列的通项公式为________. 8．已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 9．已知数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前20项和． 10．记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.1数列 A组 巩固过关 题型01 判断数列的增减性 1.(1)f()=x-xf(a.）=-2n, 1 .an- =-2m,即d+2a,-1=0解得a,=-n±m+1, an .an>0,.an=√n2+1-n (②)数列{a,}是递减数列，理由为： (方法一：作差法) a-a,=vn++1-(n+1)-(m+1-n)=n++1-㎡+1-1 [a++1-m+[a++1+m+ (n+1)+n =-1, Vn+)2+1++i V(n+1)2+1+Vn2+i (n+1)+n 1 又n+l+1>n+1'√m+1>n' V(n+1)2+1+Vn2+1 ∴.a+1-an<0,即an+<an.数列{an}是递减数列 (方法二：作商法) V(n+)2+1-(n+1) Vn2+1+n 1, .an>0 an Vn2+1-n V(n+1)2+1+(n+1) ∴.an<an :数列{an}是递减数列： 之因a则a54分做aa写号君 _1.1_5 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @当2时，g-0十”20-0-n+0-2=3 0」 n n(n+1) n(n+1) 即an>anl.故{an}是递增数列. 3.(山)由题可知，a1-a,=n+-”=+n+50-+52。 51 n+52n+51(n+51)n+52) (n+51)(n+52): n∈N,∴n+51>0,n+52>0,即an1-an>0 11 (2)由(1)可得数列{a,}是递增数列，则最小项为首项，即4=1+5152：无最大项 颗型02 确定数列的最大（小）列 4,（1由题意S=-2n+1,这是开口向上的二次函数，对称辅为”-)=105 2 因为n∈N,所以当n=l0或11时，S取得最小值， S。=102-21×10+1=-109,S,=112-21×11+1=-109 故Sn的最小项为-109 (2)当n=1时，4=S=1-21+1=-19 当n≥2时，a.=S,-Sn=(n2-21n+-(n-102-21(n-1)+1]=2n-22. 验证n=1时，2×1-22=-20≠-19，故通项公式为： -19,n=1 a,={2m-2,n22 5.(1)当n=1时，a=S=2, 当n≥2时，an=Sn-Sn1=2n-1 ∫2，n=1 所以a,-2n-l,n22 2=1时，4-4 2 57 n=1 当 时， 2n-1，所以b,= 2n-1 n≥2 b.=4n2+53 n≥2 4n2+53 ②设2n-1=14=357…所以n=生 2, 1 所0u++3+i+4+4+2 +2 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当1≤7时，f(0单调递增当1≥9时，f(单调递减 7 1 因为6，=17么=7，经比较可知h>么，6>6 7 所以数列也，}的最大项为b,b,=117 1 6(1)若a=-9则0，=1+2 2n-9 于是，结合函数f)=1+。1 +2x-9的单调性，可知1>a>4,>4>a4:且a,>a,>a,>…>1 故数列a}的录小项为4=1+2x4-g=0,授大项为4=1+，！。 =2 2×5-9 1 =进行形，可得1+2。. (2)对 因为不等式 对任意的 恒成立， n+ 2n+a 2 an≤ag ne∈N 1 所以结合函数f)=1+2 的单调性，可知应满足 x+ 2 7<-98'解得 ·故实数a的取值范围 2 -16<a<-14 是(-16，-14) 题型3 累加法求数列通项 7.(l)a+-a,=n, ∴.a2-a=1,43-42=2,a4-4=3,…,an-an1=n-1. 将以上(n-)个等式相加， 得（a-a)+(a-a)+(a4-a)++(a-a)=1+2+3+…+(n-1), 即a-4=1+2*…4a-0-a9a≥2. n(n-1) a1=0,an- 21 而4=1也适合上式，∴0，=””-少 2； (2)0=n+2 ann’ .4.a0.a.=3x×4×5x a2aa2a123xx。2×=t(n≥2) n-2n-12 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=n(n+1) 则 n(n+1) 又：a=1,a= 2， 而a=1也适合上式，a,=n+ 2 8.(1)从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数， 所以n≥2，an-an=n,a1=1, 所以a,-a+a1-0.2+.+4-4=a,-a=n+(n-1)+(n-2)++2=+2- 2 ，所以 a=1+a+2X0-》.(n≥2)： 当n=1时，a=1也符合上式，故a,="n+ (2)由于数列b,}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以b,=3”, c,-2a2=n-3, n+1 Tn=1×3+2×32++n-3”, 3Tn=1×32+2×33++n-31 所以Tn-3Tn=3×0-3")÷1-3)-n3=(31-3)÷2-n-31, 所以.-(2"+ 9④因为n=a+ag+"aeN)。 所以岩-号aeN.甲常鲁=aeN). 当22，告-号只+合+号9+a 21 22-2-… +1= 2 2 1 2 n 所以an= 2,又a=1符合， n 所以a,=2: 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)由题意知Sn=a+a2+…+an=1 20+2 x2+…+n 1 2, 1 1, 1 =1X)+2×2+…+20 2 1) 两式相减得8=1+11， 2云5士2×之 (2 -nx 2” 1 2n =2、n+2 2n 所以。=4-n+2 2是，若不等武-广2-”<S对任意的nN恒成立， 当n=2法6eN时，则<4品. 所以2<3，当n=2k-1,k∈N时， 2 则-1<42后，所以-1<2即>2' 所以-2<元<3，即元的取值范围为(-2,3). 题型04 累乘法求数列通项 10.（山当n≥2时由g0,-lg0-lg0+,得lg2-lg"+.则 nn+l n an gn,则an· 因此0，=4g2a=1x×4×x+1_nt 4aa23 、n2，而a=1满足上式， 所以数列{a,}的通项公式为4，="牛 2 =2(11 2)由(1)得b=n:4nn+)n+) 4*4+…t6-0-+(3背*…+（日】-20- 、11 2n nn+11 n+1n+1, 2n40 n+121,得n<20,又neN, 所以满足条件的最大整数n=19. 血4aHa+2.以23a20 2 3 3 (2)当=2时，04=n+24， dan+2 =n+i0,即a.=n+1 da.dt.....dntln....3 当m≥2时，aa,2…ann-12 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a。=n+l 所以4=2，因为。=1所以a,=", 2 经检验4=1符合，所以a,-”+1 2 12.(1)由己知3Sn=(n+2)a., 当n≥2时，3S=(n+)a, 3a=3S,-3S=(n+2)a,-(n+1)a, a2=n+1n0L=na2=n-l4=44=3 化简可得an-i,即a,n-2:a,5n-3…’a2,日1 每式左有分别用壁到孙受-一引受 a 2 n(n+1) 又a=1,所以a。= 2 由w得a,哈2日 1+1+1++1+1 所以=+1 一+一=2× ++++1+-1 a az as 122334n-1nnn+1 0-2 题型05 利用an与Sn关系求通项或项 91-9 13.(1).3a1+32a2+33a3+…+3"an= 8 9”-9 当n≥2时，3a+324+3'a4++3a1= 8 两式相减得30,9.9_9.9=9， 88 9” 当n≥2时，0，-3=3”， 当n=1时，a=3,满足上式， .an=3"」 (2)由(1)得bn=log3an1=l0g33m=n+1, 1 1 11 b.b(n+1(n+2)n+1n+2' -…-6g 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0,7分分 1 n+2 又医时aeN,4宁江拒成，微2-宁行得2 1 .实数九的最小值为1. 4由超孩海，当n22时-女元a-a-旷 则a-+=㎡ ，1 所以-_-1s&n+1 an-anan n-1' 0。=n+l -3 故an-1a1 由累乘法得，an=n(n+1), 当n=1时，4=1×2依然成立， 所以an=n(n+l) a&zm网ao阔l 1 1 则Sn=b+b2+…+bn 1「1111 1 21k22x3+2x33x4+na+0(a+00a+2 最cac同片on以e网 1 15.(1)当n=1时，4=S=1, 当n≥2时，an=Sn-Sn=n2-(n-l2=2n-1, 又a=1=2×1-1,所以{a}的通项公式为an=2n-1. 2n-1,n=4k+1 (2)由(1)6，=a,sin2 0,n=4k+2 21-2n,n=4+3所☑ 0,n=4k b4k1+b4k+2+b4k+3+b4k=-4 所以TA=(么+6，+6，+b,)+(,+b。+b,+bs)+…+(ba1+bo2+bo3+b4） 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(-4)+(-4)+…+(-4)=(-4)×(506)=-2024 题型06 构造法求数列通项 16.(1)由工，为正项数列{a}的前n项的乘积，得T, 型=a,由r=,得7=a, =dm= 于是2 ，即a=ag,两边取对数得1g1=lgg, glga-lga。 即lga1=(n+l）lga,整理得n+1=n 因比数别是有黄列，印是-巳-3，干起e4=鸣=e”, n 所以an=3”. (2)由(1)知，bn=k3”-n, 由数列亿，}为递增数列，得n∈N,b>bn台k.31-(n+)-k3”+n>0, 1 1 即n∈N',2k.3”-1>0÷k 2x3,而数列{2×3 是莲减数列，2从名当且仅当1=1时等号。 1 所以实数k的取值范围是k> 6 17.(1)已知Tn为正项数列{a}的前n项的乘积，且4=2，T=a, 则当2时有C子-；即a=d:即m-g4=ng41— 即片起a,起a,则且之2为市数列：放起a=g2,即42， n-1 n 又4=2满足上式，即数列{a}的通项公式为a,=2”: (an+2) 2(2”+2）×3”313” ②油(1)可得6，a+l(a.+32+1(2+2+12”+1 3州3” 3 31 3 )n+ 2+11 2+ ,故命题得证 「-2=4 「=-2 18.（1)由a+a,=4n假设其变形为a+a+1)+u=a,+n+,则有-24-元=0宁山=， 所以a1-2(n+)+1=-(an-2n+),又a-2+1=0. 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a。-2n+1=0,即an=2n-1 a 2n-1 (2)由(1)a.+12n, 所以。4 1352n-l.2n+1, 0a4Va1三246 2n 令-号25212m,则m+-号3524a2m+3。 2462n 2462n2n+2 2n+12n+3 所以fn+)_2n+2Y 4n2+8n+3 <1,所以是递减数列， f(n) √2n+1 V4n2+8n+4 f(n) 所8以o=m分5 2, .....an 所以使得不等式a+1a,+1 a 3 a,+1Va <2a对一切正整数n都成立， a3、V 则2a2 ,即a2-V5a-6>0→(a-2W5)a+V3)>0' 因为a为正实数， 所以a>2V5 题型07 由递推关系式求通项公式 19 (1)因为4= 2’an=4an1+1(n≥2) 所以当n=2时，a2=4a+1=3, 当n=3时，a3=4a2+1=13」 当n=4时，a4=4a3+1=53」 当n=5时，a5=4a4+1=213」 所以数列{a,}的前5项分别为23,18,53,213： 2因为4=2,0=2-a≥2列. an 2日2分分4=22422- 所以4=2-1=2-1-3 a42 a344 4=2-1=2-4_6 a 55 ,3456 所以数列{a,}的前5项分别为2,2345 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由数列{a,}的前5项猜想a,-"+ 验证当1时，4=子-2，满足程高， 1 当n≥2时，4=”-1+1n n-1n-1, 所以2-1=2-_2n-a-》n+ an n n n =an, 所以g,-n+ n成立： 20.(1)当n=1时，4=S=3, 当n≥2时，a,=,-1=m+n+1-[(n-+(n-)+1]2m, 3,n=1 所以a,={2n,n22 4=2n-3 (2）当n≥2时，a,2n-i, 则a2282g4-2-32n-531a 1 1 an-an-2 an-3 az a =2m-12n-35342n-42m-' 当n=1时，4=1满足上式， 所以a2aeN) +凸+4++g=n, 21.(1)解：因为2+4+6 2n 号+经+各+叶02n-山 所以n≥2时，2+4+6 an=1, 两式作差得，2n, 所以n≥2时，an=2n, 又1=1时，号=1，得4=2，符合上式。 所以{an}的通项公式为a,=2n. oadn沿》 -0-好号片司中 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为8=) 又y=x+在[+∞)上单调递减， 放8--)随，的增大而猫大。 检828-4时 综上， 8≤S<4 题型0g 根据数列递推公式写出数列的项 22.(1)在数列{a}中，4a+7a+10a++(3n+1)an=n:4,当n=1时，4a=16, 所以4=4， (2)neN,4a+7a2+l0a3+…+(3n+1)an=n.4 当n≥2时，4a1+7a2+10a3+…+(3n-2)an1=(n-1)4" 两式相减得3n+1)a。=n:4-(n-)4”=(3n+)4”,则a,=4”,而4=4满足上式， 所以{an}的通项公式是a。=4 1=1=11 (3)由(2)知b,=log44"=n'b.bnn+0nn+1 所以8=0-*兮3*写学*+片 23. 因为合+aa-2列-0，所-时a-2 因为4=1，所以4=-1或4=3， 当42=-l时，a3=1,a4=-l或a4=3,不满足题意，舍去： 当4=3时，4=-3或4=5， 若4=-3时，a4=3或a4=-1,不满足题意，舍去： 若4=5时，a=-5或4，=7，满足题意， 所以4=3. (2)由a.>0(n∈N),得a1-an=2,所以数列{a}为等差数列，其通项为a,=2n-1. 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 :(2n+1) 则 b 10 9(2n+1) (2n-l)>0 所以 9 10(2n-1) (2n-1) 9(2n+1) 令10(2n-1) 1，解得ms9, ,即nL2,3,4567,89y时有h>h ◆，用 2即 ≥10时有b1<b, 所以h<b<<b,<bo>b1>h2>…, 所以数列凸}的最大项为。 [2n-l,1≤n≤45 (3)由 +3+…+89=452=2025’ 可构造数列a,= (-89,n≥46，满是5a-2025 ,a,为偶数 24.(1)在无穷数列，、中，均为正整数，且a+1= 2 an a an+3,an为奇数 当4=10时，则%=号=5,4=4+3=8,4=受=4,4=号=2， 2 4-受=1,4=4+3=4,4-2=2,4=受=1， 2 2 2 所以8=10+5+8+(4+2+1)×2=37 62①若a是奇数，则4=4+3是隔数，8-号-士， 出s1:得4+a+3+-17,解得4=5，满起理高 2 ②若a是偶数，不妨设a=2k(keN),则4，=号=k 若人是得数，则%受-台，由57，得2+号1，此方程无整数解， 若k是奇数，则4=k+3,由S=17,得2k+k+k+3=17,此方程无整数解 综上，a=5. B组 能力进阶 1.B 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.A 3.D 4.A 5.c 6 7.25 2026 8.4053 9.(1)由a.=3n2-28n,得 4=3×32-28×3=-57,ag=3×82-28×8=-32, 所以第3项为-57，第8项为-32 (2)20是数列的项，是第10项，理由如下 令32-281=20即3-28n-20-0:解得n=10或0=子， 因为n是正整数，所以n=10,所以20是数列的项，是第10项 10.(1)因为S,=21-2,当n=1时，S=2-2=2, 当n≥2时，an=S-S=21-2-(（2”-2=2”, 检验，当n=1时，4=2，a也满足.所以a。=2” (2)因为log2a,=log22”=n,l0g2an1=log22m1=n+1, 1 111 log2 al0g2 a n(n+1)nn+1, T=1-+}++1 =1-1=n 223nn+1 n+l n+1' C组 思维拔高 1.D 2.B 3.A 4.A 5.3377 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0,n=1 6.a.= 2n-3,n≥2，neN 1 1.n n 8.a,=2,neN 9.(1)a=S=P+1=2,a.=S。-S=2+n-[(n-l}+n-l=2n 当n=1时，4=2满足上式，所以数列的通项公式为4，=2n. 4- 4 111 (2)a.aa2nx2(n+l)）n(n+l)）nn+1' +点。安 20 故10=2引 0山因为或生，所当2时之 2 两式作差得，=8-31”30+-2=n+1, 2 2 又a=2,符合上式，故a。=n+l,neN; 1111 (2)由(1)得，an(a.-)n(n+1nn+1 数-1时女l n+1n+1? 099 14/14 分层作业 4.1 数列 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断数列的增减性 题型02确定数列的最大（小）列 题型03 累加法求数列通项 题型04 累乘法求数列通项 题型05 利用an与Sn关系求通项或项 题型06构造法求数列通项 题型07 由递推关系式求通项公式 题型08 根据数列递推公式写出数列的项 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )判断数列的增减性 1．已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)数列是递减数列，理由为： （方法一：作差法） ， 又，，， ，即.数列是递减数列. （方法二：作商法） ，，. 数列是递减数列. 【详解】（1），， ，即，解得， ，. （2）略 2．已知数列中，． (1)求； (2)证明是递增数列． 【答案】(1) (2)当时，， 即．故是递增数列． 【详解】（1）因，则，故． （2）略 3．已知数列的通项公式为． (1)计算，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 【答案】(1)， (2)最小项为首项，无最大项 【详解】（1）由题可知，， ，即． （2）由（1）可得数列是递增数列，则最小项为首项，即，无最大项. ( 题型0 2 )确定数列的最大（小）列 4．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. （2）当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 5．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）当时，， 当时， 所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 6．已知数列的通项公式为，其中． (1)若，求数列的最小项和最大项； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最小项为，最大项为． (2) 【详解】（1）若，则． 于是，结合函数的单调性，可知，且． 故数列的最小项为，最大项为． （2）对进行变形，可得．因为不等式对任意的恒成立， 所以结合函数的单调性，可知应满足，解得．故实数a的取值范围是． ( 题型0 3 )累加法求数列通项 7．求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，，，…，． 将以上个等式相加， 得， 即， ，， 而也适合上式，； （2）， ， 则， 又，， 而也适合上式，． 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)数列是以3为首项，3为公比的等比数列，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数， 所以，，， 所以，所以（）； 当时，也符合上式，故 （2）由于数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以， ， ， ， 所以， 所以， 9．在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，即， 当时， ， 所以，又符合， 所以； （2）由题意知， ， 两式相减得， 所以，若不等式对任意的恒成立， 当，时，则， 所以，当，时， 则，所以，即， 所以，即的取值范围为. ( 题型0 4 )累乘法求数列通项 10．已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，由，得，则． 因此，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， ， 由，得，又， 所以满足条件的最大整数. 11．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 12．已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知， 当时，， 则， 化简可得，即，，，，， 等式左右分别相乘可得，即， 又，所以； （2）由（1）得，即， 所以. ( 题型0 5 )利用an与Sn关系求通项或项 13．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 14．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 15．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 又，所以的通项公式为. （2）由（1），所以， 所以 = ( 题型0 6 )构造法求数列通项 16．已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 17．已知为正项数列的前项的乘积，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)由（1）可得， 则 ，故命题得证． 【详解】（1）已知为正项数列的前项的乘积，且，， 则当时有，即，即， 即，则且为常数列，故，即， 又满足上式，即数列的通项公式为； （2）略 18．已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正实数a，使得不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，假设其变形为，则有，所以，又. 所以，即. （2）由（1）， 所以， 令，则， 所以，所以是递减数列， 所以， 所以使得不等式对一切正整数n都成立， 则，即， 因为为正实数，所以. ( 题型0 7 )由递推关系式求通项公式 19．（1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 【答案】（1） （2）， 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的前5项分别为； （2）因为，， 所以，，， ， 所以数列的前5项分别为， 由数列的前5项猜想， 验证：当时，，满足题意； 当时， ， 所以， 所以成立； 20．（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 则， 当时，满足上式， 所以. 21．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，证明：． 【答案】(1) (2)， 则， 因为，故， 又在上单调递减， 故随的增大而增大， 故， 综上，． 【详解】（1）解：因为， 所以时，， 两式作差得，， 所以时，， 又时，，得，符合上式， 所以的通项公式为． （2）略 ( 题型0 8 )根据数列递推公式写出数列的项 22．已知数列满足． (1)求； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在数列中，，当时，， 所以. （2），， 当时，， 两式相减得，则，而满足上式， 所以的通项公式是. （3）由（2）知，， 所以. 23．已知每项均不为0的数列满足：，. (1)若，求的值； (2)若，，求数列的最大项； (3)记为数列的前项和，是否存在满足条件的数列，使得？如存在，求出这样的数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）因为，所以或， 因为，所以或， 当时，，或，不满足题意，舍去； 当时，或， 若时，或，不满足题意，舍去； 若时，或，满足题意， 所以. （2）由，得，所以数列为等差数列，其通项为. 则，所以， 令，解得，即时有， 令，解得，即时有， 所以， 所以数列的最大项为. （3）由，可构造数列，满足. 24．在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 1．已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】根据数列前的几项可得，， 所以. 2．若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 3．已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【答案】D 【详解】. 4．已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，，，，,， 则数列的周期为， 故. 5．在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 6．已知数列满足，则__________. 【答案】 【详解】由题可知， 可得数列是周期为的周期数列， 又因为， 所以. 7．已知数列的前项和为，则________． 【答案】25 【详解】. 8．已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 【答案】 【详解】由题意，当时，， 而满足上式，因此， 则， 则， 所以． 9．已知数列的通项公式为. (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由. 【答案】(1)第3项为，第8项为. (2)20是数列的项，是第10项，理由如下. 令，即，解得或， 因为是正整数，所以，所以20是数列的项，是第10项. 【详解】（1）由，得 ，， 所以第3项为，第8项为. （2）略 10．已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 1．已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，，， 故是周期为的周期数列，且， 记数列的前项积为，所以. 2．已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，又，则，，， 所以数列是周期数列，且是数列的一个周期，则. 3．已知函数的图象关于点对称，数列的前项和，则（     ） A．201 B．202 C． D．102 【答案】A 【详解】由函数的图象关于点对称，可得； 当时，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以，即，，，， = . 4．设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为数列单调递增，所以对任意恒成立， ， 即为恒成立， 设，， 在上单调递增， 当时，取得最小值，故，即实数的取值范围是. 5．在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】3377 【详解】由题可知，即，， 可知，可得， 所以， ， ， 所以. 6．已知数列的前项和，则__________． 【答案】 【详解】当时，； 当时，， 又时，， 所以. 7．已知数列满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【详解】由可得， 则数列为常数列，则， 故数列的通项公式为. 8．已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 9．已知数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前20项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1），. 当时，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）， 故. 10．记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为，所以当时， 两式作差得， 又，符合上式，故； （2）由（1）得，， 故， 故. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $