4.1 数列的概念（第1课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.1 数列的概念（第1课时） 题型一：数列概念的辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 2．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 3．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 4．下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 5．现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：由数列通项公式求指定项 1．数列的第5项为（   ） A．0 B． C． D． 2．已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知数列满足，则（   ） A．18 B． C．45 D． 4．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．已知一个数列的通项公式，则（    ） A． B．3 C． D．5 题型三：判断某数是否为数列项 1．已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 3．已知，那么下列各数中，属于这个数列中一项的是（    ） A．33 B．44 C．66 D．99 4．在数列，，，，…，，…中，是它的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 5．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 题型一：观察法求数列通项公式 1．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 5．数列的一个通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 题型二：待定系数法求通项公式 1．在数列中，已知，则 . 2．在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． 求的通项公式； 3．在数列中，已知，且.求通项公式. 4．已知是对数函数且图象过点，数列满足．求数列的通项公式； 5．已知数列中，，，通项是项数的一次函数， (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成，试归纳的一个通项公式． 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 2．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 3．“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，下列选项能正确表示数列的公式有（    ） A． B． C． D． 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数. (1) (2) (3) 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念（第1课时） 题型一：数列概念的辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【分析】根据数列的定义可判断各项的正误. 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 2．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 3．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 4．下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 【答案】C 【分析】对于A利用数列的概念判断；对于B通过的值判断；对于C计算出第项即可判断；对于D通过数列有穷和无穷概念进行判断. 【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误； 对于B：当时，，不符合，故B错误； 对于C：数列的第项为，故C正确； 对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误； 故选：C. 5．现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答. 【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值， 依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 题型二：由数列通项公式求指定项 1．数列的第5项为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入计算即可得结果. 【详解】解：数列的第5项为. 故选：C 2．已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得数列的前9项，又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，分析计算可得答案. 【详解】根据题意，数列的通项公式为， 则， 又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项， 则 故选: 3．已知数列满足，则（   ） A．18 B． C．45 D． 【答案】D 【分析】求出、可得答案. 【详解】依题意，，所以，， . 故选：D. 4．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 3，4代入通项公式求出,,计算即可. 【详解】，， 所以． 故选：D. 5．已知一个数列的通项公式，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】将代入通项公式即可. 【详解】因为为偶数， 所以 故选：C 题型三：判断某数是否为数列项 1．已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得通项公式，代入数据即可求解. 【详解】由已知条件可得：， 令解得：. 故选：C 2．已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可. 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故选：C 3．已知，那么下列各数中，属于这个数列中一项的是（    ） A．33 B．44 C．66 D．99 【答案】C 【分析】解一元二次方程，判断方程的根是不是正整数即可得答案. 【详解】令，得，得 不是正整数，故A不正确； 令，得，得不是正整数，故B不正确； 令，得，得或（舍），即是数列中的第项，故C正确； 令，得，得不是正整数，故D不正确. 故选：C 4．在数列，，，，…，，…中，是它的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】C 【分析】根据通项公式列方程求解即可. 【详解】令，化简得，解得n=10. 故选：C. 5．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 【答案】D 【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答. 【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为， 由解得：， 所以是这个数列的第15项. 故选：D 题型一：观察法求数列通项公式 1．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的规律性进行判断即可. 【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 2．已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法得到数列的通项公式即可. 【详解】对于A，，与题意不符，故A错误， 对于B，，， ，，，故B正确， 对于C，，与题意不符，故C错误， 对于D，，与题意不符，故D错误. 故选：B 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 4．已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察得到数列的通项公式，将代入求值即可. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：A 5．数列的一个通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合选项，举例说明即可求解. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； C选项，当时，，故C错误； D选项，当时，，故D错误． 故选：B． 题型二：待定系数法求通项公式 1．在数列中，已知，则 . 【答案】 【分析】令，根据换元法求通项，即可得出结果. 【详解】令，则， 所以， 所以， 当时，上式也成立， 所以. 故答案为：. 2．在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． 求的通项公式； 【答案】 【分析】将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式； 【详解】因为，，通项公式， 所以， 解得，， 所以； 3．在数列中，已知，且.求通项公式. 【答案】 【分析】根据数列的通项将分别代入可计算出，可求得通项公式； 【详解】由，且可得 ，解得； 因此. 所以，数列的通项公式为 4．已知是对数函数且图象过点，数列满足．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】先求出对数函数的解析式，根据代入求解即可. 【详解】设对数函数 且，因为图象过点， 所以，解得，所以， 又数列满足， 所以. 5．已知数列中，，，通项是项数的一次函数， (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成，试归纳的一个通项公式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）设，根据题意可得的方程组，求解即可； （2）写出归纳即可. 【详解】（1）设,则，解得， ∴,. （2）∵为 ∴归纳的一个通项公式为. 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断． 【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意． 故选：C． 2．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 【答案】C 【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数. 【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为， 所以五边形数依次为，即第8个数为92. 故选：C 3．“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到小排列，从而可求出“宫”和“角”对应的琴弦长度之比. 【详解】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为， 五根琴弦的长度从大到小依次为 所以“宫“与“角对应的琴弦长度分别为和，其长度之比为． 故选：D. 4．（多选）已知，下列选项能正确表示数列的公式有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】ACD项根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项；B项根据递推关系可推得，再由可得. 【详解】对A，当为奇数时，，不符合数列，故A错误； 对B，由，可得， 由可得，故， 由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时，. 故该递推公式符合数列，故B正确； 对C，当时，，不符合数列，故C错误； 对D，当为奇数时，，当为偶数时，， 符合数列的通项公式，故D正确. 故选：BD. 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数. (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）设第项的点数为，由图结合的值，根据规律可得及通项公式； （2）设第项的点数为，由图结合的值，根据规律可得及通项公式； （3）设第项的点数为，由图结合的值，根据规律可得及通项公式； 【详解】（1）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （2）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （3）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $