培优练7求数列的通项公式(1)同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

培优练7　求数列的通项公式(1) A级　必备知识基础练 1.已知数列{an}的前n项和Sn=－2n2＋4n(n∈N*)，则a5=(　　) A．－14　　 B．14　　 C．－12　　 D．12 2.已知数列{an}满足a1=1，且nan＋1=(n＋1)an，则an=(　　) A．n　　 B．2n　　 C．　　 D． 3.已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，Sn=＋an，n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an=n　　 B．an=－n C．an=2n　　 D．an=－2n 4.(2025新海高二质检)已知数列{an}满足a1=1，an－an＋1=nanan＋1，则下列选项正确的是(　　) A．a7=　　 B．a8= C．a9=　　 D．a10= 5.已知数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1(n∈N*)，则＋＋＋…＋=　　　　． 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，(n＋3)Sn=nSn＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． B级　关键能力提升练 7.(2025无锡高二质检)数列{an}满足a1=，a1＋a2＋…＋an=n2•an，则数列{an}的通项公式an=(　　) A．　　 B． C．　　 D． 8.已知数列{an}满足a1=2，且＋＋＋…＋=an－2(n≥2)，则{an}的通项公式为　　 ． 9.已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且nSn＋1=(n＋2)Sn，则数列{an}的通项公式an=　　　　． 10.已知数列{an}满足an＋1=．若a1=，则=　　　　　；若a10=，则a1=　　　　　． 11.在数列{an}中，已知a1=，an＋1=，p＞0. (1)若p=1，求数列{an}的通项公式； (2)记bn=nan，若在数列{bn}中，bn≤b4，求实数p的取值范围． C级　学科素养创新练 12.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1=3，=，则数列{an}的通项公式为　　　　． 答案： 1.A　解析 当n=1时，a1=S1=－2＋4=2，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－2n2＋4n－[－2(n－1)2＋4(n－1)]=－4n＋6.当n=1时上式也符合，所以an=－4n＋6，所以a5=－20＋6=－14. 2.A　解析 因为nan＋1=(n＋1)an，所以=，数列{}是常数数列，所以==1，an=n． 3.A　解析 依题意an＞0，Sn=＋an，当n=1时，a1=＋a1，解得a1=；当n≥2时，Sn=＋an，Sn－1=＋an－1，两式相减并化简得(an＋an－1)(an－an－1－)=0，其中an＋an－1＞0，所以an－an－1－=0，即an－an－1=(n≥2)，所以数列{an}是首项为a1=，公差为的等差数列，所以an=n． 4.A　解析 ∵an－an＋1=nanan＋1，等式两边同除以anan＋1，∴－=n，可得到－=1，－=2，…，－=n－1，利用累加法，可得到－＋－＋…＋－=1＋2＋…＋n－1，即－=，又a1=1，∴=＋1，=＋1=22，∴a7=，故A正确．代入n=8，n=9，n=10，得其他选项错误． 5.(4n－1)　解析 当n=1时，a1=21－1=1，当n≥2时，因为a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1， 所以a1＋a2＋a3＋…＋an－1=2n－1－1， 两式相减得an=2n－1(n≥2)， 经验证n=1时，a1=1，符合an=2n－1(n≥2)，所以an=2n－1，所以=4n－1，所以数列{}是首项为1，公比为4的等比数列， 所以＋＋＋…＋==． 6.解 因为(n＋3)Sn=nSn＋1，显然Sn＞0， 所以=，当n≥2时，由累乘法得•••…•=••••…•， 则=， 又S1=a1=1， 所以Sn=， 所以当n≥2时，an=Sn－Sn－1=，当n=1时，a1=1也符合， 所以an=． 7.B　解析 因为a1＋a2＋…＋an=n2•an①；当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1=(n－1)2•an－1②；①－②得an=n2•an－(n－1)2•an－1，即(n2－1)•an=(n－1)2•an－1，所以(n－1)(n＋1)•an=(n－1)2•an－1，所以(n＋1)•an=(n－1)•an－1，所以=，所以=，=，=，…，=，所以•••…•=×××…×，所以=，又a1=，所以an=，当n=1时an=也成立，所以an=，故选B． 8.an=n＋1　解析　依题意，数列{an}满足a1=2，且＋＋＋…＋=an－2①．当n=2时，=a2－2，a2=3，＋＋＋…＋＋=an＋1－2②，②－①，得=an＋1－an，=，则=(n≥2)，所以an=••…•••a1=••…••2=n＋1，a1，a2都符合上式，所以{an}的通项公式为an=n＋1. 9.n　解析　∵nSn＋1=(n＋2)Sn，∴=． 当n≥2时，Sn=××…××S1=××××…×××××1=． 当n=1时，S1==1=a1成立，∴Sn=，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－=n，当n=1时，a1=1满足上式，∴an=n． 10.2 604　　解析　由an＋1=取倒数，得=＋2n＋1，即－=2n＋1，则当n≥2时，=＋(－)＋(－)＋…＋(－)=＋22＋23＋…＋2n=2n＋1－4＋；当n=1时，上式也成立，则=2n＋1－4＋．当a1=时，=2n＋1－2，有=22i＋1－2i＋1，则=(22i＋1－2i＋1)=－22(25－1)=2 604.当n=10时，=211－4＋，即2 046=2 044＋，所以 a1=． 11.解　(1)由an＋1=，得－=n，由累加法得－＋－＋…＋－=1＋2＋…＋n=，所以=＋=，即an＋1=，所以an=，p=1，所以an=，当n=1时，也成立，所以an= ． (2)由(1)知an=，bn=，则b4=．因为bn≤b4，所以≤，化简得(n－4)p≤2n(n－4)．当n＜4 时，p≥2n，即p≥(2n)max ；当n＞4 时，p≤2n，即p≤(2n)min，即p∈[6，10]．故实数p的取值范围为[6，10]． 12.an=3n　解析　因为=，=，所以==，即=，两边取常用对数得lg =lg ，得nlg an＋1=(n＋1)lg an，所以==…==lg 3，所以数列为常数列，所以lg an=nlg 3=lg 3n，所以an=3n． 学科网（北京）股份有限公司 $