3.3 抛物线（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 3.3 抛物线 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用抛物线定义求顶点轨迹 题型02抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型03 求抛物线轨迹方程 题型04 根据抛物线的对称性求相关参数 题型05 求抛物线切线方程 题型06利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 题型07 抛物线中三角形面积问题 题型08 抛物线中的直线过定点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )利用抛物线定义求顶点轨迹 1．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 3．（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） 或 ；（2）． 【详解】（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． ( 题型0 2 )抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 4．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 6．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. ( 题型0 3 )求抛物线轨迹方程 7．设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 8．在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）因为点到直线的距离与它到点的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为； （2）①， 因为直线与交于点， 所以， 因此的取值范围为； ②设， 在中，令，得，即 ， 由①可得，， 即， 因此. 9．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)显然直线的斜率存在，设直线的方程为，    联立得， 则， 由题意得，，同理， 因为， 所以，即， 所以直线的方程为，因此直线过定点. 【详解】（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心. 由得，化简得， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. 法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即， 又，所以， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. （2）略 ( 题型0 4 )根据抛物线的对称性求相关参数 10．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    11．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 【答案】或 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 12．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. ( 题型0 5 )求抛物线切线方程 13．已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为点在上，且，由抛物线定义可得， 解得，所以抛物线的方程为． （2）由抛物线，可得，设点，可得， 所以切线方程为，整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 由可得，所以的方程为， 由可得，所以的方程为． 联立和的方程有，解得， 则，因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，得，， 所以点或． 14．若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【答案】(1) (2) 和 【详解】（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 15．已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 【答案】(1)抛物线标准方程为，椭圆标准方程为 (2)的面积为 【详解】（1）已知在抛物线上， 代入可得，解得， 故抛物线标准方程为，焦点为， 因为椭圆与抛物线共焦点，所以椭圆半焦距，即， 又在椭圆上，代入可得 ， 化简可得，联立，解得， 所以椭圆标准方程为. （2） ， 设过点与抛物线相切的切线斜率为，则切线方程为， 即， 代入抛物线方程，可得 ， 化简可得 ， ，解得， 因此切线方程为，即， 切线方程与椭圆方程联立可得，消得， 化简可得 ，解得，， 将代入可得，即， 令切线方程，则， 所以. ( 题型0 6 )利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 16．已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 【答案】1 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，直线的斜率存在，设直线方程为：， 由消去得，设，， 由韦达定理得，则， 由抛物线的定义知，，， 所以，， 所以. 17．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点， 根据焦半径公式可得，所以， 由于在第一象限，则， 由题意得， 解得. 故选：D. 18．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，， ，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则直线OA与OB的斜率之积为，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，不妨取，则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故B正确； 对于C，结合A可得，， 由，得，解得，所以，故C错误； 对于D，， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． ( 题型0 7 )抛物线中三角形面积问题 19．已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有， 由两点间距离公式，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）把代入方程，可得， 设，， 联立方程组，消去y可得， 由，解得， 又知，， 所以 ， 由到直线l的距离为， 所以， 即，得， 解得或，经检验均满足， 所以的值为或 20．已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 21．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. ( 题型0 8 )抛物线中的直线过定点问题 22．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【详解】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 23．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 24．已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得，所以的方程为． （2）因为是上的一点，所以，解得，故． 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，，． 因为，所以，即即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为． 1．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 2．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 3．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 4．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 5．已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 【答案】 【详解】的准线方程为：， 当时，， 解得，故交点为. 6．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 【答案】2 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为，由抛物线定义可得点到直线的距离为， 即，解得. 7．若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9， 所以，解得. 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 9．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【答案】(1)，准线的方程为； (2) 【详解】（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 10．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 1．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 2．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 3．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    4．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 5．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 6．如图所示，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，，则曲线和的方程分别为________， ________． 【答案】 【详解】设椭圆方程为，、， 则，即． 方法一：设，则，两式相减得． 由抛物线的定义可知，联立两式解得或， ，， 因为为钝角，则，所以，故，， 由，得．所以曲线的方程为，曲线的方程为； 方法二：如图所示，过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线， 过点作于点，作轴于点． 由抛物线的定义得， 所以， 所以，则，所以，， 设点，由抛物线的定义可得，解得， 所以曲线的方程为，曲线的方程为． 7．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 8．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 9．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）略 10．已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，定点 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 因为直线经过该抛物线的焦点， 所以，即，故抛物线的方程为. （2）已知直线与抛物线交于两点，设， 联立，消去得， 则，， 已知直线在轴上方，则， 当线段在直线上方时，记直线分别与交于点， 由三角形面积公式，有，， 所以， 解得（负值舍去）. （3）已知为线段中点，则， 由（2）知， 则，， 以为圆心且过点的圆为， 整理得， 令，解得， 即当时，以为圆心且过点的圆过定点. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 抛物线 ( 题型0 1 )利用抛物线定义求顶点轨迹 1．A 2．C 3．（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． ( 题型0 2 )抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 4．D 5． 6． ( 题型0 3 )求抛物线轨迹方程 7．D 8．（1）因为点到直线的距离与它到点的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为； （2）①， 因为直线与交于点， 所以， 因此的取值范围为； ②设， 在中，令，得，即 ， 由①可得，， 即， 因此. 9．（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心. 由得，化简得， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. 法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即， 又，所以， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. (2)显然直线的斜率存在，设直线的方程为，    联立得， 则， 由题意得，，同理， 因为， 所以，即， 所以直线的方程为，因此直线过定点. ( 题型0 4 )根据抛物线的对称性求相关参数 10．D 11．或 12．D ( 题型0 5 )求抛物线切线方程 13．（1）因为点在上，且，由抛物线定义可得， 解得，所以抛物线的方程为． （2）由抛物线，可得，设点，可得， 所以切线方程为，整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 由可得，所以的方程为， 由可得，所以的方程为． 联立和的方程有，解得， 则，因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，得，， 所以点或． 14．（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 15．（1）已知在抛物线上， 代入可得，解得， 故抛物线标准方程为，焦点为， 因为椭圆与抛物线共焦点，所以椭圆半焦距，即， 又在椭圆上，代入可得 ， 化简可得，联立，解得， 所以椭圆标准方程为. （2） ， 设过点与抛物线相切的切线斜率为，则切线方程为， 即， 代入抛物线方程，可得 ， 化简可得 ， ，解得， 因此切线方程为，即， 切线方程与椭圆方程联立可得，消得， 化简可得 ，解得，， 将代入可得，即， 令切线方程，则， 所以. ( 题型0 6 )利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 16．1 17．D 18．ABD ( 题型0 7 )抛物线中三角形面积问题 19．（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有， 由两点间距离公式，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）把代入方程，可得， 设，， 联立方程组，消去y可得， 由，解得， 又知，， 所以 ， 由到直线l的距离为， 所以， 即，得， 解得或，经检验均满足， 所以的值为或 20．C 21．（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. ( 题型0 8 )抛物线中的直线过定点问题 22．（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 23．（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 24．（1）由抛物线的定义可得，解得，所以的方程为． （2）因为是上的一点，所以，解得，故． 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，，． 因为，所以，即即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为． 1．B 2．A 3．B 4．A 5． 6．2 7．6 8．（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 9．（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 10．（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 1．A 2．B 3．B 4．A 5．A 6． 7． 8．（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 9．（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： (2)， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 10．（1）抛物线的焦点坐标为， 因为直线经过该抛物线的焦点， 所以，即，故抛物线的方程为. （2）已知直线与抛物线交于两点，设， 联立，消去得， 则，， 已知直线在轴上方，则， 当线段在直线上方时，记直线分别与交于点， 由三角形面积公式，有，， 所以， 解得（负值舍去）. （3）已知为线段中点，则， 由（2）知， 则，， 以为圆心且过点的圆为， 整理得， 令，解得， 即当时，以为圆心且过点的圆过定点. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 抛物线 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用抛物线定义求顶点轨迹 题型02抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型03 求抛物线轨迹方程 题型04 根据抛物线的对称性求相关参数 题型05 求抛物线切线方程 题型06利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 题型07 抛物线中三角形面积问题 题型08 抛物线中的直线过定点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )利用抛物线定义求顶点轨迹 1．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． ( 题型0 2 )抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 4．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 6．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ ( 题型0 3 )求抛物线轨迹方程 7．设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 8．在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 9．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. ( 题型0 4 )根据抛物线的对称性求相关参数 10．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 11．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 12．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )求抛物线切线方程 13．已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 14．若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 15．已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． ( 题型0 6 )利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 16．已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 17．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（   ） A．2 B． C． D． 18．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 ( 题型0 7 )抛物线中三角形面积问题 19．已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 20．已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． ( 题型0 8 )抛物线中的直线过定点问题 22．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 23．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 24．已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． 1．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 6．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 7．若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 9．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 10．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 1．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 3．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 4．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，，则曲线和的方程分别为________， ________． 7．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 8．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 9．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 10．已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $