3.3.1　抛物线的标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进式设计，从基础概念到跨知识综合，构建“概念理解-能力提升-素养创新”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|抛物线标准方程、焦点、准线|单一知识点直接应用，如焦点坐标求解（第1题）| |B级|定义应用、最值问题、几何关系|多知识点综合，如抛物线定义与距离最小值（第11题）| |C级|抛物线与双曲线综合|跨知识创新，如向量数量积最小值（第16题）|

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 A级　必备知识基础练 1.抛物线y2=－4x的焦点坐标是(　　) A．(1，0) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(0，1) 2.顶点在坐标原点，准线方程为y=1的抛物线的标准方程是(　　) A．x2=－2y B．x2=－4y C．x2=2y D．x2=4y 3.(多选题)对抛物线y=4x2，下列描述正确的是(　　) A．焦点坐标为(0，1) B．焦点坐标为 C．准线方程为y=－ D．准线方程为y=－1 4.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为(　　) A．　　B． C．　　D．4 5.若抛物线x2=16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0=　　　　． 6.如果点M(5，3)到抛物线x2=ay的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是　　　　． 7.已知动点M(x，y)的坐标满足=|x＋2|，则动点M的轨迹方程为　　． 8.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的某一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m． (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程； (2)若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米． 9.已知动点M与点F(2，0)的距离与其到直线x=－2的距离相等． (1)求动点M的轨迹方程； (2)求点M与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标． B级　关键能力提升练 10.(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足的坐标为(2，1)． 其中满足抛物线方程为y2=10x的是(　　) A．①　　 B．② C．③　　 D．④ 11.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F到其准线的距离为4，M是抛物线C上一点．若A(2，3)，则|MF|＋|MA|的最小值为(　　) A．8　　 B．6 C．5　　 D．4 12.某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4 m的圆形水池来规划喷泉景观．设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2 m的喷水管(水管半径忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为 m处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为(　　) A． m　　 B． m C． m　　 D． m 13.已知抛物线E：x2=4y，圆C：x2＋(y－3)2=1，P为E上一点，Q为C上一点，则PQ的最小值为(　　) A．5　　 B．2－1 C．2　　 D．3 14.已知抛物线C：y2=x的准线为l，点A的坐标为(1，0)，点P在抛物线上，点P到直线l的距离为d，则|PA|－d的最大值为　　　　． 15.已知点M为抛物线C：y2=2px(p＞0)上一点，若点M到两定点A(p，p)，F的距离之和最小，则点M的坐标为　　　　　． C级　学科素养创新练 16.已知抛物线y=x2与双曲线－x2=1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，求•的最小值． 答案： 1.B　解析　由y2=－4x得2p=－4，∴p=－2，故焦点坐标为(－1，0)，故选B． 2.B　3.BC 4.C　解析　根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=． 5.2　解析　抛物线x2=16y的准线方程为y=－4，由抛物线的定义知，抛物线x2=16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4=3y0，解得y0=2. 6.x2=12y或x2=－36y　解析　当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y=－，点M(5，3)到准线的距离为3＋=6，解得a=12，所以抛物线方程为x2=12y； 当a＜0时，抛物线开口向下，准线方程为y=－，点M(5，3)到准线的距离为|3＋|=6，解得a=－36或a=12(舍去)，所以抛物线方程为x2=－36y． 所以抛物线的方程为x2=12y或x2=－36y． 7.y2=8x　解析　设F(2，0)，直线l：x=－2，则动点M到点F的距离为，动点M到直线l：x=－2的距离为|x＋2|，又因为=|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2，0)为焦点，x=－2为准线的抛物线，则动点M的轨迹方程为y2=8x． 8.解　(1)根据题意可设该抛物线的方程为x2=－2py(p＞0)，结合图象，可得点C的坐标为(5，－5)． 因为点C(5，－5)在抛物线上，所以52=－2p×(－5)，解得－2p=－5，所以该抛物线的方程为x2=－5y． (2)设车辆高为h m， 过点B作x轴的垂线交抛物线于点D，则DB=h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2=－5y，解得h=4.05，所以通过隧道的车辆限制高度为4.05 m． 9.解　(1)由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x=－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x=－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2=8x． (2)设M(，m)，由两点间的距离公式得|MA|===， 当m2=16，即m=±4时，|MA|min=4，即当M的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4． 10.BD　解析　抛物线y2=10x的焦点在x轴上，②正确，①不正确；设M(1，y0)是抛物线y2=10x上一点，则MF=1＋=1＋=≠6，所以③不正确；由于抛物线y2=10x的焦点为(，0)，当过该焦点的直线斜率存在时，设该直线方程为y=k(x－)，由原点向该直线作垂线，若垂足坐标为(2，1)，则k=－2，此时满足条件的直线存在，所以④正确．故选BD． 11.D　解析　由题意，得p=4. 如图，设M，A在准线l：x=－2上的射影分别为M1，A1，则|MA|＋|MF|=|MA|＋|MM1|≥|AA1|=2＋2=4，当且仅当A1，M，A共线时取得等号．所以所求最小值是4. 12.C　解析　取一截面建系如图，设抛物线方程为x2=－2py(p＞0)，记最大高度为h．依题意，知A(－1.5，2－h)，B(2.5，－h)在抛物线上， 故 解得h= m． 13.B　解析　由题意知C(0，3)，半径r=1，设P(x0，y0)，则=4y0， 所以PC===， 故当y0=1时，PCmin=2， 所以PQmin=PCmin－r=2－1. 14.　解析　抛物线C：y2=x的焦点F(，0)，依题意，d=|PF|，则|PA|－d=|PA|－|PF|≤|AF|=，当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，所以|PA|－d的最大值为． 15.(，p)　解析　如图，过点M作抛物线准线的垂线，垂足为B． 由抛物线的定义，知点M到焦点F(，0)的距离与点M到准线的距离相等，即MF=MB， 所以MF＋MA=MB＋MA． 易知当A，B，M三点共线时，MB＋MA取得最小值，所以(MF＋MA)min=AB=，此时点M的坐标为(，p)． 16.解　抛物线y=x2，即x2=8y的焦点为F(0，2)． 所以a2=22－12=3， 故双曲线的方程为－x2=1. 设P(x，y)，因为点P在x轴上方， 故由双曲线的性质可得y≥，=(x，y)，=(x，y－2)， •=x2＋y(y－2)=x2＋y2－2y=＋y2－2y－1=y2－2y－1=(y2－y)－1=(y－)2－． 因为y=＜，故函数f(y)=(y－)2－在[，＋∞)上单调递增，当y=时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1=3－2．所以•的最小值为3－2． 学科网（北京）股份有限公司 $