3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） （分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学抛物线第2课时同步练，分层设计从基础性质应用到综合探究，覆盖对称性、焦点弦等8类核心题型，适配新授课知识巩固与逻辑推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义与标准方程|题型05直接考查由焦点/准线写方程，强化概念理解| |能力提升|几何性质综合应用|题型03面积问题、题型04最值问题，需结合对称性与距离公式，培养运算能力| |综合拓展|跨情境探究|附加题如玻璃球与抛物面问题，融合空间观念与模型意识，提升创新思维|

分层作业 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 目 录 2 题型01 抛物线的对称性的应用 2 题型02与抛物线焦点弦有关的几何性质 3 题型03抛物线中的三角形或四边形面积问题 5 题型04抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 8 题型05 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 11 题型06抛物线中的参数范围问题 14 题型07求抛物线的切线方程 17 题型08求直线与抛物线相交所得弦的弦长 21 26 26 27 题型01 抛物线的对称性的应用题型01 1.（2026·河北邢台·二模）已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 2.（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 3.（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 题型02与抛物线焦点弦有关的几何性质题型02 4.（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 5.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 6.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 题型03抛物线中的三角形或四边形面积问题题型03 7.（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 8.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 9.（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型04抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值题型04 10.（2026高三下·全国·专题练习）已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（    ）． A．5 B．2 C．3 D．6 11.（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 12.（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选题）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 题型05 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程题型05 13.（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选题）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 14.（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 15.（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选题）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 题型06抛物线中的参数范围问题题型06 16.（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07求抛物线的切线方程题型07 19.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 20.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 21.（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选题）已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（     ） A．抛物线的准线方程是 B．的最小值是8 C．若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D．抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 题型08求直线与抛物线相交所得弦的弦长题型08 22.（26-27高三上·贵州·开学考试）（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于，（）两点，记线段的中点为，直线的斜率为，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为（，） B．若，则 C．若直线的倾斜角为，且，则 D．当时，的面积为 23.（25-26高二下·贵州毕节·期末）（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 24.（26-27高三上·福建莆田·开学考试）（多选题）已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则（    ） A． B． C．若弦的中点到的距离为，则的斜率为 D．设交于点，则 1.（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 3.（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 4.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1.（2025高二上·安徽·竞赛）已知抛物线的焦点为F，P，Q，R为抛物线上的三个动点，若的重心为，且的三条中线长的和为2025，则_________． 2.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 3.（2026高三·全国·专题练习）设；是抛物线上的两点，直线l是AB的垂直平分线．当直线l的斜率为时，则直线l在y轴上截距的取值范围是_______． 4.（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与交于，两点，其中在上，且，若，则的离心率为__________． 1.（2027高二·全国·专题练习）抛物线上有两点，，则中点的轨迹方程为______． 2.2026·山东日照·模拟预测）设抛物线：（）的焦点为，过作斜率为（）的直线与交于，两点，与的准线交于点.若（为坐标原点），，则外接圆的方程为________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 目 录 2 题型01 抛物线的对称性的应用 2 题型02与抛物线焦点弦有关的几何性质 3 题型03抛物线中的三角形或四边形面积问题 5 题型04抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 8 题型05 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 11 题型06抛物线中的参数范围问题 14 题型07求抛物线的切线方程 17 题型08求直线与抛物线相交所得弦的弦长 21 26 26 27 题型01 抛物线的对称性的应用题型01 1.（2026·河北邢台·二模）已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】由题意得圆，则圆心，半径为，其中为的焦点. 设与圆的公共点为，则.由题知上满足条件的点有且只有一个， 由抛物线C和圆F均关于x轴对称，故两曲线公共点在x轴上，即为原点， 则与原点重合，所以，即，解得. 2.（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 3.（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 题型02与抛物线焦点弦有关的几何性质题型02 4.（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点， ∵，由与相似得：， ∵，∴. 5.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【答案】4 【详解】抛物线 是标准抛物线，，得 ，因此焦点 ，准线 ，准线与轴交点 ， 设过的直线为 ，， 联立直线与抛物线方程： ，， 由韦达定理得：，， 因为在以为直径的圆上，故 ，即 ，， 代入得： ，将 代入化简， 结合韦达定理得，即 ，即 ， 当 时，直线为，代入抛物线得， 故 ，（也可由抛物线焦点弦公式 ）. 6.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 【答案】4 【详解】抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为， 所以所在的直线方程为：，联立消去整理得：， 由韦达定理得：，， 点到直线：的距离为：， 所以的面积为：. 题型03抛物线中的三角形或四边形面积问题题型03 7.（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 8.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】A 【详解】设在处的切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 则在点处的切线方程为. 由题意可知：直线的斜率不为0， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，即，可得，， 则，整理可得， 又因为在点，处的切线方程分别为，， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 9.（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 题型04抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值题型04 10.（2026高三下·全国·专题练习）已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（    ）． A．5 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】等轴双曲线中，所以， 所以双曲线的方程为，即， 设，， 则切点弦的方程为，即， ，可得， 所以， 又，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，即， 所以， ， 二次函数的对称轴为，当时单调递减， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最小值为6. 11.（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 12.（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选题）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 题型05 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程题型05 13.（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选题）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 【答案】BCD 【详解】对A，由题意，所以抛物线方程为，A错； 对B，由抛物线方程得其焦点为，准线为直线，如图，过作于点，则，所以，所以当三点共线时，取得最小值为点到准线的距离4，B正确； 对C，由得，， 所以，， 直线被抛物线截得的弦长为： ，当且仅当时，，C正确； 对D，由以上推导知，直线的方程为， 由得，，所以，的最小值是1,D正确. 14.（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 【答案】ABD 【详解】由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为，所以C错误； 又由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为， 可得，所以A正确； 联立方程组，解得或， 所以抛物线和有两个公共点，交点坐标分别为，所以B正确； 由且抛物线准线方程为，可得点到的准线的距离为，所以D正确. 15.（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选题）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 【答案】BCD 【详解】对A，由题意，所以抛物线方程为，A错； 对B，由抛物线方程得其焦点为，准线为直线，如图，过作于点，则，所以，所以当三点共线时，取得最小值为点到准线的距离4，B正确； 对C，由得，， 所以，， 直线被抛物线截得的弦长为： ，当且仅当时，，C正确； 对D，由以上推导知，直线的方程为， 由得，，所以，的最小值是1,D正确. 题型06抛物线中的参数范围问题题型06 16.（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 17.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 18.（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 题型07求抛物线的切线方程题型07 19.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 20.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】A 【详解】设在处的切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 则在点处的切线方程为. 由题意可知：直线的斜率不为0， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，即，可得，， 则，整理可得， 又因为在点，处的切线方程分别为，， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 21.（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选题）已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（     ） A．抛物线的准线方程是 B．的最小值是8 C．若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D．抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 【答案】ABD 【详解】 A：由，得，焦点为，准线方程为，故A正确； B：由抛物线定义，而为抛物线的焦点弦， 根据抛物线的性质，焦点弦中通径的长度最短，即， 当且仅当直线垂直于轴时为通径长，则最小值为8，故B正确； C：直线倾斜角为，其方程为，代入，得， 设，则， ， 则的面积为，故C错误； D：若，则点处的切线方程为，点处的切线方程为， 其中且均不为0，，，联立两切线方程， 消去得，则交点的横坐标①， 因为直线过焦点，则，联立，则， 所以，代入①得，故两切线的交点恒在定直线（即抛物线准线）上，故D正确. 题型08求直线与抛物线相交所得弦的弦长题型08 22.（26-27高三上·贵州·开学考试）（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于，（）两点，记线段的中点为，直线的斜率为，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为（，） B．若，则 C．若直线的倾斜角为，且，则 D．当时，的面积为 【答案】ABD 【详解】设过点的直线方程为，其中 联立，消去可得:， 由韦达定理可得：， 设线段的中点， 所以, 所以，化简得：， 因为，则， 由，解得：， 所以点的轨迹方程为（，），故A正确； 对于B，由于， 解得：，所以，故B正确； 对于C，由于， 由于，所以为锐角， 故，或， 当时，，则， 所以， 当时，，则， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由于，当时，，此时直线方程为：， 所以点到直线得距离， 由于， 所以，的面积为，故D正确. 23.（25-26高二下·贵州毕节·期末）（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 24.（26-27高三上·福建莆田·开学考试）（多选题）已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则（    ） A． B． C．若弦的中点到的距离为，则的斜率为 D．设交于点，则 【答案】ABD 【详解】对于A，由准线方程为，可得，故A正确； 对于B，由选项A可得，由题设可得直线，斜率均存在且不为0， 则设，因，则. 将两直线与抛物线联立，可得. 设，由韦达定理可得： ， 又由抛物线定义可得， 从而， 当且仅当两直线倾斜角分别为时取等号； 对于C，设中点为，结合选项B可得， 则到的距离为，从而的斜率为； 对于D，将与联立可得，又因， 则， 注意到 ，则，又易得， 由射影定理，可得， 则， 又由射影定理可得，则. 【点睛】关键点睛：本题涉及直线与抛物线位置关系，抛物线定义，基本不等式，平面几何等知识点.对于抛物线综合问题，常利用抛物线定义，此外在抛物线中存在大量结论，同学们也可选择性积累. 1.（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】切线长、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 2.（23-24高三上·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【知识点】抛物线的范围、判断抛物线的开口方向 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 3.（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、过圆外一点的圆的切线方程、抛物线的范围 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论． 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 4.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线的范围、求实际问题中的抛物线方程 【分析】根据题意可得，圆与抛物线相切于点，圆与抛物线相切，恰有两个切点，分别联立方程组运算可得的取值范围. 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 5.（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由方程研究曲线的性质、抛物线定义的理解、抛物线的对称性的应用、直线与抛物线相交求直线方程 【详解】由题意知，当时，曲线，即， 其焦点为； 当时，曲线，即， 其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以. 设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以.    6.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以， 所以. 又. 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 1.（2025高二上·安徽·竞赛）已知抛物线的焦点为F，P，Q，R为抛物线上的三个动点，若的重心为，且的三条中线长的和为2025，则_________． 【答案】450 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据已知条件得到焦点坐标和准线方程，利用重心的性质转化问题，利用抛物线的定义建立方程，利用重心坐标公式求解，最后算出答案. 【详解】重心到顶点的距离等于对应中线长的，， ，所以准线方程为，焦点坐标. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， ， 即，由的重心为可知， 焦点坐标，则， 所以，故． 2.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 【答案】 【知识点】求抛物线的对称轴 【分析】由垂直关系求得抛物线对称轴所在直线方程，再求得对称轴与准线的交点，进而可求解. 【详解】准线的斜率为， 因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​， 可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点， 由中点坐标公式得： ，​， 因此顶点坐标为. 3.（2026高三·全国·专题练习）设；是抛物线上的两点，直线l是AB的垂直平分线．当直线l的斜率为时，则直线l在y轴上截距的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设出弦的中点坐标及直线的方程，利用点差法求出中点横坐标并表示出纵坐标，再利用中点在抛物线内列出不等式求出范围. 【详解】设直线在轴上的截距为，依题意，直线的方程为， 由在上，得，两式相减得， 设弦的中点为，由直线是的垂直平分线，得 因此，，又弦的中点在抛物线内， ，解得，所以直线在轴上截距的取值范围为. 4.（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与交于，两点，其中在上，且，若，则的离心率为__________． 【答案】/ 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线及椭圆的定义求解即可． 【详解】由抛物线的定义知，则， 所以抛物线的标准方程为， 所以，，椭圆的左焦点为， 所以直线的方程为， 联立抛物线的方程，解得， 由椭圆及抛物线的定义知，解得， 又，则，所以椭圆的离心率为． 1.（2027高二·全国·专题练习）抛物线上有两点，，则中点的轨迹方程为______． 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】解法一：设，，的中点为．并令，，利用中点关系以及距离公式化简即可求解；解法二：设抛物线上两点横坐标为与，可得以横坐标为的中点对应的弦，其斜率恒为，且弦长满足，结合中点纵坐标满足化简即可求解. 【详解】解法一：（设点法与中点参数法） 设，，的中点为．则，． 令，，则，． 则． ，． 所以． 即代回，即得为中点的轨迹方程； 解法二：（用导数视角理解“局部斜率”与弦长结构） 抛物线上两点横坐标为与．对应弦的斜率为． 以横坐标为x的中点对应的弦，其斜率恒为．这与导数完全一致． 也是说，对于二次函数，任意一条以横坐标x为“对称中心”的弦，其斜率等于抛物线在x处切线的斜率． 由于弦的横向半长为，弦的横向全长为；弦的斜率为， 所以弦长满足．因此 中点纵坐标仍然为，所以 2.2026·山东日照·模拟预测）设抛物线：（）的焦点为，过作斜率为（）的直线与交于，两点，与的准线交于点.若（为坐标原点），，则外接圆的方程为________. 【答案】/ 【知识点】数量积的坐标表示、求过已知三点的圆的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示式求出，然后利用弦长求出，最后利用的三个顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】由题知，设，两点的坐标分别为，， 直线的斜率为（），设直线的方程为， 联立方程，消去整理得， 则，，， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 抛物线的准线方程为，所以点坐标为， 则的三个顶点为，，， 设外接圆的方程为， 则代入三点有，解得，，， 所以外接圆的方程为，即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $