3.2 双曲线（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 3.2 双曲线 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用双曲线定义求方程 题型02利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型03 求双曲线标准方程 题型04 求双曲线轨迹方程 题型05 求共焦点的双曲线方程 题型06根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型07 等轴双曲线 题型08 已知方程求双曲线的渐近线 题型09 求双曲线中三角形的面积问题 题型10 双曲线中存在定点满足某条件问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )利用双曲线定义求方程 1．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 2．已知圆，圆，直线经过点，且与圆交于两点，． (1)求的方程； (2)若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点的距离的最小值． 3．已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. ( 题型0 2 )利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 4．经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 6．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )求双曲线标准方程 7．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 8．（多选）当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 9．（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 ( 题型0 4 )求双曲线轨迹方程 10．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 11．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 ( 题型0 5 )求共焦点的双曲线方程 13．（1）双曲线经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 14．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 15．与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 16．若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 17．已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 ( 题型0 7 )等轴双曲线 19．（多选）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 20．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程. (2)设直线，的斜率分别为，，证明. 21．已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 8 )已知方程求双曲线的渐近线 22．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 24．已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________． ( 题型0 9 )求双曲线中三角形的面积问题 25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的2倍，则（    ） A． B． C． D． 26．已知A、F分别是双曲线（常数）的右顶点和右焦点．记过一、三象限的渐近线为． (1)设，求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程． 27．（多选）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 ( 题型 10 )双曲线中存在定点满足某条件问题 28．已知双曲线的左､右焦点为､，虚轴长为，离心率为，过双曲线的左焦点作直线交该双曲线的左支于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 29．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 30．已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； 1．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 6．若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 7．已知双曲线：，则双曲线的离心率为__________；双曲线的渐近线方程为__________． 8．（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 9．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． 10．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 2．已知双曲线: 的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 4．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 6．已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 7．与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 8．已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于、两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 9．已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 10．双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2双曲线 A组 巩固过关 题型01 利用双曲线定义求方程 1.(1)ME-ME=2=2a<EE=27, 根据双曲线的定义可知点M的轨迹为双曲线的右支， 焦点为F(-V17,0)F(N17,0),故2c=27,实轴长2a=2,所以b2=c2-a2=16, 赦点M的轨迹方程为-6=1x≥)， 16 (2②)因为幡圆方程为C:兰+ +6京-=1(a>b>0. re= a22…a22' b21 所以 4.1 ,解得a2=6, a+ 21 b2=3 x2.y2 所以椭圆的标准方程为6+3 =1 2.(1)圆C:(x+2)+y2=1的圆心坐标为C(-2,0),半径为=1， 当斜率不存在时，直线I为x=0(即y轴)，此时圆心C到直线l的距离d=2>=1, 直线与圆C无交点，舍去 当直线l的斜率存在时，设直线I的方程为y=a+4,即：-y+4=0, 此时圆心c到直线，的距离为d-26-0+4_4-2为 Vk2+1Vk2+1 又1AB=22-d,所以2W-d=21 5,即- 5 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-2k 两边同时平方得1-d=】 =1-(4-26} 15 Vk2+1 k2+125 整理得：94-40k+39=0即（9以-13-3列=0，解得最= =9或k=3 匠以1的方程为y=。x+4或，=3x+4,即13x-9y+36=0或3x-v+4-0 (2)圆D:(c-2}+y2=1的圆心坐标为D(2,0),半径为n=1, 设动圆E的半径为R,由题意，得EC=R+1,ED=R-. 若R<1,则ECI+EDF2,而CD=4,不满足，舍去 因此必有R>1,则ED上R-1 所以EC-ED=2, 所以动点E的轨迹是以C,D为焦点的双曲线的右支，此时c=2,a=1,b=VC2-a=√3 所以E的轨迹方程为？- 3=1(x>0)】 设E(a小则有-子=1，所以财=1 3, 所以PE=Vm+(n-4=Vm2+n2-8n+16= -8m+17= 73 由二次函数的图象与性质可知，当n=3时，y=3m-3+5有最小值，最小值为5， 4 所以PE1mm=V5,此时E(2,3)】 3.(1)由双曲线的定义及PF-PF=4<6=FF引， 可得点P的轨迹C是焦点在x轴上的双曲线， 2/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 设其标准方程为。存1（a>0'6>0), 2a=4 则a+b=c2,解得 (c=3 a=2 b=15 所以C的方程为若号山： (2)设M=m,M=n,由双曲线的定义得m-川=4， 因为M⊥ME,所以m2+n2=FE=36, 所以aMRE的面积为2mn= 1(m2+n）-(m-m_36-16-5. 4 题型02 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 4.(1)由题意得直线AB的方程为y=2(x+2), 代入双商线方程2-号-1可得2+16c419-0A=16-4×19>0 设4(x,）,B(,),则+为=-16，x=19, 即AB的长为V5V(x+x)-4xx=30 (2)由双曲线的定义得45-4=BF-BF=2a=2, 则△EAB的周长为AF+BF+AE+|BE=4a+2(AE+|BFD=4a+2AB =4+2×30=64 5.设A,FB,AB与内切圆的切点分别为E,F,G,令AEHAG非m, BG BF=n,FF=FE =t(m,n,t>0) 则AE+|FB-AB=(m+t+n+0-(m+m)=2t=2a×2,得1=2a, ∴4-4G=2a,|BF-BG=2a,由双曲线定义得A-4=BE-BE=2a, 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则点G与点B重合， 又TGHTE1, 则(-e+号7Er=m-Erf-k+e+号-4a,即4-45 c 7 又6w=2如=分 :直线G7的方程为=2x-V). 6.C 题型n3 求双曲线标准方程 x2 y2 7.(1)因为双曲线的焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为。一？ =1(a>0,b>0). 由题意知c=2,所以ad2+b2=4.①： 2232 因为点(2,3)在双曲线上，所以存示1.② 由02解得。=1'公-3所以所求双曲线的标准方程为r-兰 =1 3 (2)设双曲线的方程为x2+少2=1(mn<0), ms、1 75 则，9m+28n=1，解得 1’ 72m+49n=1 n= 25 y2 x2 所以所求双曲线的标准方程为25751， 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.BCD 9.ABD 颗型04 求双曲线轨迹方程 10. 因为动圆M与圆C:(x+5+y=1外切，所以MC=r+1, 因为动圆M与圆C:(x-3+y2=1内切，所以MC=r-1(>), 所以MC-MC=2, 根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支，且2a=2,2c=CC=2V3, 所以a=1,c=V3,则2=c2-a2=3-1=2, 所以圆心M的轨迹方程8为-号=1x≥). M C22374衣 11.D 12.D 题型05 求共焦点的双曲线方程 x2 y2 13.1)设双曲线C的标准方程为16-k4+k1（4<k<16), 将点(32,2)的坐标代入方程，解得k=4或k=-14(舍去)， 2y=1 ·双曲线的标准方程为2一8 (②)若椭圆的焦点在v轴上，设方程为一+左=(a>b>0)。 b=3 则 c6,又 ,解得 e= a3b2=a2-c2 a=3v5 y2,x2 故椭圆方程为27十9 =1 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2.y2 若椭圆的焦点在x轴上，设方程为。京+尔=1(a>b>0), a=3 则 cV6,所以 e=- c=V6b2=a2-c2=3 y2 即椭圆方程为9+3=1： 一+ =l 故所求椭圆的标准方程为2+。=1或，+3 279 14.(1)因为a=25,且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为20尔=16>0)。 2522 将点4-5,2)的坐标代入双曲线的方程得20京=1，解得6=16' x2 y2 因此，双曲线的标准方程为2016 =1: （②在精四号+苦=1中，c-6v945 所以椭圆的焦点坐标为F(-V5,0),F(5,0). x2 y2 设双曲线标准方程为京存=l,(a>0,b>0), 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以a2+b2=c2=5, 24 点P八-2,2)代入双曲线方程，可得子存-1， [24 =1 联立 a2 b2 ,解得 a2+b2=5 a2=1b2=4 所以双曲线标准方程为，￥-上 =1 4 15.C 题型n6 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 16.A 17.D 18.D 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 等轴双曲线 19 BCD c v2 20.(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知二= =2,2a+2c=42+),解得a=2√2’c=2 又a2=b2+c2,因此b=2 x2y2 故椭圆的标准方程为8+4 =1. x2 y2 由题意设等轴双曲线的标准方程为 亦=lm>0 2y=1 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2'因此双曲线的标准方程为44 ②E质：设PK,w小则-2，与2 因为点P在双曲线x2-y2=4上，所以6-%=4。 因此kk2= 》=，即kk= x0+2x0-2x-4 21.C 题型08 已知方程求双曲线的渐近线 22.D 23.ACD 24. 西丽 题型0g 求双曲线中三角形的面积问题 25.A 26. (1)当1=1时，双曲线Y:x2-y2=1,a=b=1, C a2+b2 所以双曲线y的离心率e= a va =反，渐近线方程：y=±x （②当A-2时双线7号苦1，a26=4F=2 所以：y=F.o设ee>0则P生2 所以生2-8-2，甲+2--8副20+2)=8 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以1=1，即1,1) (3)当=1时，双曲线7：x2-y2=1,a=b=1,所以A(1,0), 由题意可知直线AM的斜率存在且不为O, 设直线AM的方程为x=y+1,则直线AN的方程为x=一元y+l, = Γ22-1 所以x=y+1,解得x=1或，-2元’ -22-1-22）: x2-y2-1 y=0 y=- M 22-1’22-1 -22-1 >0 22-1 由在第一象限，则 -2 ，解得 ->0 M 22-1 0<2<1 1 x= 1- x=y+1,解得 (x=y y=1-元 则N - " AM-AN AM ANyM x 4CH-AD AC AD AC AD yc yp -222 22-1 1-2 |2.2-4 1 1-22+1 即22+21-1=0，则2=-1±√2， 又0<元<1，故1=V2-1, 即直线M的方程为x=(V2-y+1,整理得AM:x-(2-y-1=0 27.BD 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型10 双曲线中存在定点满足某条件问题 28.(1)由题可知，2b=4V2,故b=22, b2 +8=, 又因为离心率e=+a+a 解得a2=8, 故双曲线E的方程为88=1. (2)不存在，理由如下： 由题可知，c=Va2+b=v8+8=4,故E(4,0), 易知直线I的斜率不为0，故可设直线：x=my-4,A(x,y),B(2,y2). x=my-4 联立直线，与双曲线E'{2-y-8=0:得(m2-1y2-8my+8=0 △=64m2-32(m2-1)=32(m2+1)>0, 8m 8 由韦达定理，可得y+2= m-,m- 若点M在以AB为直径的圆上，则MA⊥MB,即MA·MB=0, MA·MB=(x+2)(x2+2)+y2=(my-2)my2-2)+yy2 (+Dyy:-2m(yy+4=(2msm m2-1m2-1 =牛=4，即M.福0可得M与MB不垂直， m2-1 故不存在直线！，使得点M在以AB为直径的圆上. 29.(1)利用点M到直线，与直线！的距离之积等于4建立方程，化简即可得到结果， (2)假设存在点C,联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点C坐标满足的关系式，利 用点C在双曲线上即可得到结果. (1)因为动点Mx,)到直线：y=V5x的距离为 -,动点MK直线影：y=一c的距笑为 2 3x+y 2 -子--3 2 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为y<V3x,所以3x2-y2>0,所以3x2-y2=3, 所以，的方程为”一号1 19 使得 A+GB+GC-0 理由如下： 「y=kx+2 由13x2-y2=3得，6-k)x2-4-7=0' 由△=16k2+28(3-K3)>0得，k2<7且2≠3. 设以为C化%则写+53装西=3，故月+男=+)4= 4k -7 3-2+4. 由题意得，( a=(Gy争.0=G⅓争GC=G%争 设存在点C(xo,)满足GA+GB+GC=0, x+x2+x0=0 则 44 4 3+3+%3=0 所以=3%=4-0+为)= 4k 4k2 图为点c产-，所以装j-气j- 化简得19g-6代+27-0：解得-号或=3（合）， 193 19 3-k2= √193 所以存在C 44 使得 GA+GB+GC=0 10/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 30。(1)设双曲线方程为京~户1，设右焦点坐标为F(c,0),则渐近线方程为y=±名x, b b a 故 到 的距离为 =b=V3 .b .b2 F(c,0)y=±2x 又离心率等于2，故后=2，又。=d心+，解得。=4'd2=1 a 放双通线方程为-号=1， (②)由(1)得F(2,0),当过点F的直线1斜率不为0时，设为x=2+少， 联立x=2+与-亏=1得32+-y=3, 整理可得(32-1)y2+12y+9=0. [32-1≠0 由直线，与双曲线交于AB两点，得公=14r-36-)0:解得1≠±5 3 -12t 9 设A(x,),B(x,2),则%+为=3-，%=3-， 所以x+5=4+40+乃)=4+12r4 32-132-1 4B=++y)-4y2=+ -12)2 36 V312-1 312-1 =+ry442-36(3r-可 6+612 32-1 32-1 -2-6t AB3+32 故以，为直径的圆的圆心为 AB 312-1’32-1 半径为232-1 拟oM为+广++广- 由对称性可知，⊙M过的定点应在x轴上，故在⊙M中，令y=0, 32-5 x=-1 -312-1 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故o 与安有0（供二网】 当直线1斜率为0时，直线I为y=0,此时A, B的坐标分别为（±1,0）， 则⊙M方程为x2+y2=1,⊙M经过点(-l,0), 综上，⊙M恒过某个定点，此定点的坐标为(-1,0)： A B组 能力进阶 1.B 2.C 3.B 4.C 6.18 255 y=±3x 8.(1)设点M(x,y),所以MF=Vx-+y,M到直线1：x=4的距离为4-， 由题意得 平--少r- 商以-P少-6-网.理w苦号-1 x2,y2 所以点M的轨迹方程为4+3=1： 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设P(x,y),M(,%), x=名3 2 因为为 的中点，所以 即∫x6=2x-3, y= P MB 2 %=2y 又因为点M在曲线x+y2=1上，所以号+6=1， 所以(2x-3)2+4y2=1 即点p的轨选方程为2r-+4=也即(-+y-: (3)设M(x,y),x≠±2. ka =y-0 ,aws上0 x-V2’kaMKBM=1: 少、y x中2万=，整星得2-了-2：即号号-e列 x上 故点M的轨迹方程为2之=≠±W2). (4)设P(x,),点A(1,),则由PA=V2PO, 得x-2+0y-=2x√x2+y,化简可得(x+)+(y+1)=4, 故动点P的轨迹的方程为(x+)2+(y+)}=4. 9.(1)椭圆的焦点坐标为(4,0)，（-4,0)，所以c=4. x2 y2 设双曲线方程为。存=1(a>0,b>0). 因为e=。=2,所以a=2 a 所以b2=c2-a2=12」 x2 y2 所以双曲线c的标准方程为421， x2 y2 (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为42-0，即y=士v5x 10.(1)由题意得： 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b1, a=1 -2（3} =1. 、a2 b2 又c2=a2+b2=2,可得c=V2, ∴2c=2V2,则双曲线C的焦距为2√2 (2)2=1,b2=1,双曲线C的方程为x2-y2=1, c=V2,右焦点坐标为(V2,0), ~设直线的斜率为kk=tam2=-5 3 :直线1的方程为：y=-5(x-V2), y=-5(x-) 联立2-y2=1 整理得 2x2-62x+7=0 因△=(6V2)-4×2×7=16>0 设4，州.B5,为小则5+5=35.号 AB=V1+k2V(x+x}-4xx=1+3x18-14=4. C组 思维拔高 1.A 2.C 3.D 4.D 6 2 25 3,o 7. y2 x2 =1 63 8。（1)自双面线方程为r-艺1，可得其右顾点为L0y, 14/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且其渐近线方程为y=±片=士v2x, 根据对称性，右顶点到两渐近线的距离相等， 不妨求(，0)到y=V2x的距离， 则y=√2x化为一般式为√2x-y=0, V2-0l _v6 所以。到 的距离为 3, (1,0)y=V2x 2+- 6 即下的右顶点到一条渐近线的距离为3 (2)因为点P在第一象限且P∈T, 且P、E(-1,0)、F(2,0)为一个等腰三角形的三个顶点， 则根据草图分析，满足条件的点P有两种， 分别为EP=EF以及EF=PF两种， 设点P坐标为(x,y), 2 或 Vx+1+y2=V(x-2}2+y N(-1-2}+0=Vx-2+y2 7 x= 3 解得1 (舍去)，或 x-2 45, 3 7 综上，点p的横坐标为3 (3)直线MN过定点，且定点坐标为(-3,0). 由题知，A,0),显然过点A的直线斜率存在且不为0， 15/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 股过点4的直线内，=-，测过4与共垂自的直线为=。+公 k 令1与双曲线交点为M(:,h),'与双曲线交点为N(x,2), [y=-k 则联立方程 x2_y 21 k2+2xk2+2 解得(-2）x2-2kx+k2+2=0,则1xx=2-2=2-2, K2+24k】 所以%==“2即号) 将6换成女即回得到 2k2+14k 1-2k2’2k2-1: 4k4k -4k(k2+1） 所以h-y=2k2-1k2-2(2k2-12-2) 2k2+1k2+24k2-1(k2+1 且-x=1-22-2(22--21 所以直线斜率kw=二= x2-xk2-1: 所以淡告与别 整理可得yx+3), 当x=-3时，y=0 所以直线MN过定点，且定点坐标为(-3,0). x2 y2 9.()已知双曲线c:存61(a>0)的渐近线方程为y=士2x =2,解得a=3 可得a ,￡=1，则c=+6-3+6=3” (2)由(1)知，双曲线C:3-6 所以右焦点F(3,0),设A(,),B(,), (i)因直线1的斜率为2，则其方程为y=2(x-3),即y=2x-6, 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-1 联立36，消去整理得： y=2x-6 y x2-12x+21=0 由韦达定理，x+x2=12,xx2=21, 1AB=V1+K2V(x+x}-4xx2=V1+4V122-4×21=105: (iⅱ)由题可知直线I的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+3, x2 y2 =1 联立36，消去整理得： x=my+3 y (2m2-1)y2+12my+12=0 则△=144m2-48(2m2-)=48(m2+1）>0 由韦达定理，h+乃=-，12m 12 2m2-42m-1: 因x=my+3,x3=my2+3, 则xx2=(my+3)my2+3)=m2yy2+3m(y+y2)+9 12m2 /-12m）+9=-6m2-9 2m2-1 +3m× 2m2-1 2m2-1, 4 因为直线0A,OB的斜率之积为5， 12 4=2m2-L=-4 所以66-95，化简得 ，解得或 2m2-1 2=1 m=1m=-1 所以直线l的方程为x+y-3=0或x-y-3=0. be 10.(1)因为右焦点 到渐近线 ,b的距离d= =b,故 62 F(c,0) y=士-x a b=1 又e=c6 a=2,且c2=a+6,解得a=2'2=1'c2=3 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 则曲线C的标准方程为2-y=1, 设P(mm),A(x,y),B(x), 先证该双曲线在点P处的切线方程为mx-2y=2, 证明过程如下： [mx-2y=2 联立少=1，整理有 (2n2-m2)y2+4my+2-m2=01 由 2-n=l,则2m-m≠0：△=16m-4(2n-m2-m）=0, 故直线与双曲线相切，证毕； [mx-2ny=2, 联立后y-0我e2-mrt4+2-0则 为方程的解， 收兰2，商少%战度B的中点 18/18 分层作业 3.2 双曲线 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用双曲线定义求方程 题型02利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型03 求双曲线标准方程 题型04 求双曲线轨迹方程 题型05 求共焦点的双曲线方程 题型06根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型07 等轴双曲线 题型08 已知方程求双曲线的渐近线 题型09 求双曲线中三角形的面积问题 题型10 双曲线中存在定点满足某条件问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )利用双曲线定义求方程 1．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）， 根据双曲线的定义可知点的轨迹为双曲线的右支， 焦点为，故，实轴长，所以， 故点的轨迹方程为； （2）因为椭圆方程为. ,， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 2．已知圆，圆，直线经过点，且与圆交于两点，． (1)求的方程； (2)若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点的距离的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为. 当斜率不存在时，直线为（即轴），此时圆心到直线的距离， 直线与圆无交点，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 此时圆心到直线的距离为， 又，所以，即， 两边同时平方得， 整理得，，即，解得或， 所以的方程为或，即或. （2）圆的圆心坐标为，半径为. 设动圆的半径为，由题意，得，. 若，则，而，不满足，舍去. 因此必有，则. 所以， 所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，此时，， 所以的轨迹方程为． 设，则有，所以， 所以， 由二次函数的图象与性质可知，当时，有最小值，最小值为5， 所以，此时． 3．已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. ( 题型0 2 )利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 4．经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【答案】(1)30 (2)64 【详解】（1）由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 （2）由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【答案】 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令， ，， 则，得， ，，由双曲线定义得， 则点G与点重合， 又， 则，即. 又，， 直线GT的方程为， ， . 6．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. ( 题型0 3 )求双曲线标准方程 7．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为， 则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 8．（多选）当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 【答案】BCD 【详解】对于A，当为第一象限角时，取，此时， 即曲线方程为，此时曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以A不正确； 对于B，当为第二象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以B正确； 对于C，当的终边在轴的非负半轴上时，可得 此时曲线方程为，即，可得方程表示两条平行线，所以C正确； 对于D，当为第四象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以D正确. 9．（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. ( 题型0 4 )求双曲线轨迹方程 10．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 11．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 12．已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. ( 题型0 5 )求共焦点的双曲线方程 13．（1）双曲线经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）设双曲线C的标准方程为（）， 将点的坐标代入方程，解得或（舍去）， ∴双曲线的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为； 若椭圆的焦点在x轴上，设方程为， 则，所以，， 即椭圆方程为； 故所求椭圆的标准方程为或. 14．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 15．与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. ( 题型0 6 )根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 16．若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 17．已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，由双曲线的对称性， 不妨设在第一象限，此时，， 所以， 不妨设直线的方程为，，令，解得， 不妨设直线的方程为，令，解得， 所以，， 不妨设，的外接圆的半径分别为， 由正弦定理得，， 所以，当且仅当，时，等号成立， 所以． 故选：D． 18．直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． ( 题型0 7 )等轴双曲线 19．（多选）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 【答案】BCD 【详解】对于A，若是椭圆，则，所以实数的取值范围是， 故A错误； 对于B，若是双曲线，则，则两点在轴上，故B正确； 对于C，若，则曲线是两点在轴上的椭圆， 且，所以，， 则周长为，故C正确； 对于D，若，则曲线是两点在轴上的双曲线， 且，即，，则的实轴和虚轴长度相等，故D正确. 20．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程. (2)设直线，的斜率分别为，，证明. 【答案】(1)；； (2)证明：设，则，. 因为点P在双曲线上，所以. 因此，即 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知，，解得，. 又，因此. 故椭圆的标准方程为. 由题意设等轴双曲线的标准方程为， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以，因此双曲线的标准方程为. （2）略 21．已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得的渐近线方程为，得（为坐标原点）， 由，得，则， 所以. 故选：C ( 题型0 8 )已知方程求双曲线的渐近线 22．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 23．（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 24．已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________． 【答案】/ 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，而， 则， 因为的实轴长为6，所以，即，则， 所以的离心率为. ( 题型0 9 )求双曲线中三角形的面积问题 25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，所以，， 由题可得点到直线的距离为点到直线距离的2倍， 所以，即， 两边平方得，因为， 所以，即， 解得（舍去）或. 26．已知A、F分别是双曲线（常数）的右顶点和右焦点．记过一、三象限的渐近线为． (1)设，求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程． 【答案】(1)，渐近线方程： (2) (3) 【详解】（1）当时，双曲线，， 所以双曲线的离心率，渐近线方程： （2）当时，双曲线，，， 所以，设，则， 所以，即，即， 所以，即. （3）当时，双曲线，，所以， 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，则直线的方程为， 所以，解得或， ， 由在第一象限，则，解得， ，解得，即， 则，即， ，即， ， ， 即，则， 又，故， 即直线的方程为，整理得. 27．（多选）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即.    ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. ( 题型 10 )双曲线中存在定点满足某条件问题 28．已知双曲线的左､右焦点为､，虚轴长为，离心率为，过双曲线的左焦点作直线交该双曲线的左支于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由如下： 由题可知，，故， 易知直线的斜率不为，故可设直线，. 联立直线与双曲线，，得， ， 由韦达定理，可得，， 若点在以为直径的圆上，则，即， ，即，可得与不垂直， 故不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【详解】（1）由题可知，，故， 又因为离心率， 解得， 故双曲线的方程为. （2）略 29．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使得. 【详解】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. （1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足， 则， 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 30．已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； 【答案】(1) (2)由（1）得，当过点的直线斜率不为0时，设为， 联立与得， 整理可得， 由直线与双曲线交于、两点，得，解得， 设，，则，， 所以， 则， 又 ， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以 方程为， 由对称性可知， 过的定点应在轴上，故在 中，令， 得，解得或， 故 与轴交点为，， 当直线斜率为0时，直线为，此时，的坐标分别为， 则 方程为， 经过点， 综上， 恒过某个定点，此定点的坐标为； 【详解】（1）设双曲线方程为，设右焦点坐标为，则渐近线方程为 ， 故到 的距离为， 又离心率等于2，故，又，解得 ，． 故双曲线方程为； （2）略 1．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线的离心率为2，得 ，解得， 则双曲线的渐近线方程为，即. 2．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 3．已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线：的右焦点为， 渐近线为， 则点到直线的距离为． 点到直线的距离为． 所以到的两条渐近线的距离之和为. 4．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线 可化为 所以 ，，两条渐近线为 直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，因此两条渐近线的夹角为 5．与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 【答案】 【详解】由椭圆方程，可得其焦点在轴上， 且其半焦距为， 设所求双曲线方程为， 则，解得， 则该双曲线方程为. 6．若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 【答案】18 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，因此该双曲线的实半轴长平方，虚半轴长平方，且， 又双曲线的焦距为10，由焦距定义得，解得半焦距， 根据双曲线的基本性质，将、、代入得： ，即， 解得，符合的要求, 7．已知双曲线：，则双曲线的离心率为__________；双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】/ 【详解】由题可得焦点在y轴上且，则， 故双曲线的离心率为，因为焦点在y轴上， 所以渐近线方程为. 8．（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 【答案】（1）（2）（3）（4）． 【详解】（1）设点，所以，到直线：的距离为， 由题意得，即， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为； （2）设，， 因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以， 所以． 即点的轨迹方程为，也即； （3）设，． ，，， ，整理得，即． 故点的轨迹方程为． （4）设，点，则由， 得，化简可得， 故动点的轨迹的方程为． 9．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，，所以． 设双曲线方程为． 因为，所以． 所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）知双曲线的渐近线方程为，即. 10．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 2．已知双曲线: 的左右顶点为，左右焦点为，则以下结论正确的有（    ） ① 若 为双曲线 上一点，且 ，则 的面积为 ； ② 设直线 与双曲线 交于 M,N两点，与 的两条渐近线交于 P,Q两点，则 ； ③ 设 为双曲线 上异于 的一点，若直线 的斜率的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 ； ④ 直线 与双曲线 交于 M,N 两点，则线段MN 的中点为 . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】在双曲线 中， ， 对于①：在双曲线的焦点三角形 中，由余弦定理及双曲线的定义得 ，可得 ， 所以 ，故①正确； 对于②，不妨设 ， 当 时表示双曲线，当 时表示该双曲线的两条渐近线. 设直线 ，其与 的交点为 ， 联立 ，可得 ， 应满足 且 ．由韦达定理可知 ，都与 无关． 所以线段 的中点与线段 的中点重合，不妨设为 . 由 可知 ，故②正确； 对于③，设 ，且 ，则 ， 所以若 的斜率范围为 ，则 的斜率的范围为 ，故③正确； 对于④，联立 ，消去 可得 ， 故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，④错误． 3．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【详解】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 4．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 5．已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【详解】由双曲线的对称性不妨设双曲线方程为， 可得虚轴的一个端点，，， 因为，可得，两侧平方可得， 可得，所以，所以. 6．已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【答案】 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 7．与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 8．已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于、两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，且定点坐标为. 由题知，，显然过点的直线斜率存在且不为， 设过点的直线为，则过与其垂直的直线为， 令与双曲线交点为，与双曲线交点为， 则联立方程， 解得，则，， 所以，即， 将换成，即可得到， 所以， 且， 所以直线斜率， 所以直线方程为， 整理可得， 当时，， 所以直线过定点，且定点坐标为. 【详解】（1）由双曲线方程为，可得其右顶点为， 且其渐近线方程为， 根据对称性，右顶点到两渐近线的距离相等， 不妨求到的距离， 则化为一般式为， 所以到的距离为， 即的右顶点到一条渐近线的距离为. （2）因为点在第一象限且， 且、、为一个等腰三角形的三个顶点， 则根据草图分析，满足条件的点有两种， 分别为以及两种， 设点坐标为， 则或， 解得（舍去），或， 综上，点的横坐标为. （3）略 9．已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）（ii）或 【详解】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 10．双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【答案】(1) (2)设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）略 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $