3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学双曲线几何性质同步练，通过8类题型构建“概念理解-公式应用-综合求解”三阶分层路径，适配新授课知识巩固，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|双曲线定义、顶点坐标等单一概念|以定义辨析题（如题型01）强化抽象能力，夯实几何直观| |技能应用|a,b,c关系、渐近线方程等基本量运算|通过焦点坐标计算（题型05）、渐近线方程求解（题型03）提升运算能力| |综合拓展|参数范围、轨迹方程等跨知识点应用|结合焦点三角形内角关系（题型01第2题）考查推理意识，实现知识迁移|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 3.2.2 双曲线的简单几何性质 目录 A组 巩固过关 题型01双曲线定义的理解.… 题型02根据a,b,c齐次式关系求渐线方程， 题型03已知方程求双曲线的新线 题型04根据方程表示双曲线求参数的范围！ 题型05求双曲线的焦点坐标焦距… 题型06根据双曲线的斩线求标准方程… 题型07根据双曲线过的点求标准方程。 题型08求双曲线的]顶点坐标… B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/9 LT ST Et 乙T tt OL 6 L S 乙 (阳：L) 卷系一母并丁 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01 题型01双曲线定义的理解 1.(23-24高二上辽宁大连·阶段检测)关于圆锥曲线的命题正确的是() ①设A，,B是两个定点，k为非零常数，若 P-P=k,则P的轨迹是双曲线： ②过定圆c上一定点A作圆的张AB:O为原点，若O丽-O1+O丽)，则动点p的轨迹是椭圆， ③方程2x2-5x+2=0的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率： x2 y2 ④双曲线25)1与椭圆35+少=1有相同的焦点： A.①②③ B.①③ C.②③④ D.③④ x2 y2 2(24-25高二上湖南株洲期末)已知双曲线。厅=1(a>0,b>0)的离心率小于2，其左、右焦点分别 ,,点0是双线右支上一点，若220，且熊点三角形 为 △QF的最大内角与最小内角之和为 2 3，则双曲线的渐近线方程为() V2 1 B.y=v2x D.y=±2x B2026河南新乡概预测设0为原点，FE为双由线C:为（0>0：b<0附两个焦店 点p在C上且活足Om-,Qm☑FP-号，则该双商线的新近线方程为(） A.V2x±y=0B.x±2y=0 c.V5r±y=0 D.x±V5y=0 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 题型02根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 3mx2-y2=3 4.(25-26高三下广西南宁·阶段检测)己知双曲线 的一个焦点坐标是N5,0) 则该双曲线的 渐近线方程为() A少3 C.y6 2 3 5(25:26高二下浙江开学考试)若双曲线的。少=1的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（) A.x±2y=0 2x±y=0 C.x+3y=0 V3x±y=0 D 6(2526高三下安徽合肥阶段检测)已知双曲线C:号茶 C:a京=1(a>0,b>0)的离心率为、5，则该双曲线的 渐近线方程为()· A.y=±V2x B,y=±V3x c y=tx DY=+2x 题型03 题型03已知方程求双曲线的渐近线 7(2627高三上北京西城开学考试)双曲线C:二-是 :a方=1a>0,b>0)的一条渐近线倾斜角为亏”，则双 曲线C的离心率为() A.2 6 2v5 C.3 D.3 &(2627有上相建得州开学专)已加双曲线C:号茶=1a>a办>0的一呆浙近线过点(2）州C 的离心率为() 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 5 A.2 B.2 C.2 D.5 x2 y2 9.(26-27高三上北京开学考试)已知双曲线。云-4 1(a>0)的渐近线的方程为y=±专x,则n的值为 () A.2 B.3 C.4 D.9 颗型04 题型04根据方程表示双曲线求参数的范围 x2 y2 10.(2026广东肇庆二模)双曲线x2-y=1与双曲线1+k1亡k=1的（） A.项点相同 B.焦点相同 C.虚轴长相等 D.离心率相等 11.(25-26高三上：湖北开学考试)设 P心K小是双重线-广=L的动点，定点40，队-20，则 PAPB 的最小值为() A.-3 B.3 C.12 D.-1 x2y2 12.(2026北京大兴三模)双曲线k++一=1与双曲线x2-y=1的() A.顶点相同 B.焦点相同 C.虚轴长相等 D.离心率相等 题型05 题型05求双曲线的焦点坐标焦距 1B.(25-26高三下河北开学考试)已知双曲线C:-的左有焦点分别为5，B,则F() A.1 B.2 c v2 D.2V2 14.(2026-浙江金华·三模)双曲线4y=1的焦点到渐近线的距离为() 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.3 C.2 D.1 15.(25-26高二下·湖北随州期末)已知椭圆4+m 父+上-10<m<4)和双曲线 x2 -y2=1(n>0)的焦点相同， 则m+n=() A.-5 B.-3 C.3 D.5 颗型06 题型06根据双曲线的渐近线求标准方程 x2 y2 16.(25-26高二下云南德宏：期未)已知双曲线。~存=1的一条渐近线方程为y2,则其离心率为 () V10 峪 A.2 B.5 C.2 D.2W2 x2 v2 17.(25-26高二下广西南宁期末)已知双曲线C:。左=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为V5x-5y=0, 则C的离心率为() 2W10 15 √10 2√6 A.5 B.3 C.5 D.3 x2 y 2 18.(25-26高二下陕西汉中期末)若双曲线)方=1b>0)的渐近线方程为V=±号，则6的值为 () A.2 B.3 C.4 D.6 题型07 题型07根据双曲线过的点求标准方程 19.(2026湖南长沙三模)若以直线3x±2y=0为渐近线的双曲线经过点 2,32) 则该双曲线的方程为 () A. x2 y2 =1 1 49 B.94 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c6苦 0.y2x2 941 x2 y2 z6态二下快西商洛阶段双践0：。为>0，h>0)过站0为 则其渐近线方程为() A.y=+3v2x B.y=±2V3x C.=t 3+ 6 21(2627商三上淘南长沙开学考试)已如双自线c过点么瓜-小，且与双鱼线后若-1有相同的离心 率，则双曲线C的标准方程为一 题型08 题型08求双曲线的顶点坐标 2.(2425高二上山西太原期末)双曲线2- 一4=1的顶点坐标为() A.(0,-2),(0,2)B.(-1,0),(1,0) c.（5,o）.(5,0）D.(o,-5).(0,5 23.(25-26高二上·宁夏中卫阶段检测)双曲线- 一4=1的顶点坐标为() A.(0,-2).(0,2) B.（-1,0),(1,0) c.（5,o(5,0) D.(05),(0,5) 24.(2026·北京西城二模)双曲线3的右顶点到其渐近线的距离为() A.1 B.2 C D. √2 2 2 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 x y x2,y2 1.(2026高三全国专题练习)已知双曲线22=1的准线经过椭圆4+？=16>0)的焦点，则b等于 () A.3 D. 2526高二下广东潮州期末)双曲线C:。。广>0，b>0的一条渐近线倾斜角为6，则双曲线 的离心率为() 6 2W3 A.2 B.5 C.3 D.3 x2 y2 3(25-26高二下新疆乌鲁木齐：期末)双曲线)41的离心率为() √3 5 3 A.3 B.3 C.2 y2 4（25:26高二下安微安庆期末)已知双曲线C:4=1】 ,则双曲线C的离心率为() 3w5 √5 A.5 B.5 C.2 D.2 2 5(25-:26高二下贵州黔南期末)已知双曲线C:。4=1(a>0)的渐近线方程为)y=±号x,则。的值为 () 16 A.25 B.5 C.5 D.25 x2 y2 6(25-26高二下安徽滁州：期末)已知双曲线。4=1(a>0)的一条渐近线与直线4x+y-4=0垂直，则 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a的值为() 1 A.2 B.1 C.8 D.16 C组 思维拔高 L(2026重庆模拟预)若双曲线C。片=Q>0,6>0)的 条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则C 的离心率为() 5 5 A.4 B.5 C.2 D.V5 2(2026湖北十最俊拟预)已知双自线C号示=a>06>0的条新近线斜车为2，则c的高心车 为() A V2 83 D.2V5 3(2026重庆模拟预测)已知双曲线E:- 一京=1的一条渐近线的斜率为、5，则双曲线ε的离心率为( A.2 8.2v5 C.3 D.4 4(2026~重庆沙坪坝：模拟预测)己知双曲线C:示京=1(a>0,b>0)的虚轴长是实轴长的2倍，且焦 点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为() x A4=1 B. r=1 24 c.x2-y=1 2y-1 4 D.42 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 口，(2026河南三模)已知双曲线C:-广口的浙近线方程为少=士分，则C的右焦点到C的两条渐近级 4m 距离之和为() A.1 B.2 C.4 D.5 6陕西栒林模拟预测)若双曲线mr2+y=1的一条渐近线方程为=3x,则， 1 1 A.-9 B.-3 c.-3 D.9 919 分层作业 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） 目 录 2 题型01 双曲线定义的理解 2 题型02根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 4 题型03已知方程求双曲线的渐近线 5 题型04根据方程表示双曲线求参数的范围 7 题型05求双曲线的焦点坐标焦距 9 题型06根据双曲线的渐近线求标准方程 10 题型07根据双曲线过的点求标准方程 11 题型08求双曲线的顶点坐标 12 13 15 17 题型01 双曲线定义的理解 题型01 1.（23-24高二上·辽宁大连·阶段检测）关于圆锥曲线的命题正确的是（    ） ①设，是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线； ②过定圆上一定点A作圆的弦，为原点，若，则动点的轨迹是椭圆； ③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线与椭圆有相同的焦点. A．①②③ B．①③ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【详解】①若，则的轨迹不是双曲线，错； ②由， 即点P为AB的中点，而是定圆上的弦，则，则动点的轨迹是以为直径的圆，错； ③，故（可为椭圆离心率）或（可为双曲线离心率），对； ④对于，，且焦点在x轴上； 对于，，且焦点在x轴上； 所以双曲线与椭圆有相同的焦点，对. 故选：D 2.（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 3.（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 题型02根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程题型02 4.（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将转化为标准形式， 显然，由，所以，解得. 所以双曲线标准方程为. 所以该双曲线的渐近线方程为. 5.（25-26高二下·浙江·开学考试）若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线方程为 ，可得 ， 由题意焦距 ，得 ， 根据双曲线性质 ，代入得 ，解得 ，即 ， 焦点在轴的双曲线渐近线方程为 ，整理得 . 6.（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的离心率，得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 题型03已知方程求双曲线的渐近线题型03 7.（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为， 所以，即. 所以双曲线的离心率. 8.（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线方程可知一条渐近线方程为， 代入点可得，即， 所以双曲线的离心率为. 9.（26-27高三上·北京·开学考试）已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线方程为. 由题意知，解得. 题型04根据方程表示双曲线求参数的范围题型04 10.（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 11.（25-26高三上·湖北·开学考试）设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 12.（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 题型05求双曲线的焦点坐标焦距题型05 13.（25-26高三下·河北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，. 所以，. 所以. 14.（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 15.（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 题型06根据双曲线的渐近线求标准方程题型06 16.（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 17.（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 18.（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 题型07根据双曲线过的点求标准方程题型07 19.（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 20.（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． 21.（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【详解】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或， 因为双曲线过点，所以，（舍去）， 所以双曲线的方程为，即． 故答案为：． 题型08求双曲线的顶点坐标题型08 22.（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 23.（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 24.（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 1.（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的准线经过椭圆的焦点，则b等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求双曲线的准线 【详解】对于，可得，准线方程为， 因为其准线经过椭圆的焦点， 所以，，. 2.（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 3.（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】可知，所以，则离心率为. 4.（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】使用双曲线的离心率计算公式求解. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为：. 5.（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以，解得. 6.（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数、已知方程求双曲线的渐近线 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以. 1.（2026·重庆·模拟预测）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由直线可得其斜率. 因双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其斜率. 因双曲线的渐近线方程为，故， 则的离心率为. 2.（2026·湖北十堰·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线渐近线斜率得到的值，再结合双曲线中的关系计算离心率. 【详解】对于焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为. 由题意可知一条渐近线斜率为，因此，即. 根据双曲线参数的基本关系，将代入得： ， 即. 由离心率定义，代入得 3.（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用焦点在x轴上的双曲线渐近线斜率得到，再结合双曲线的关系和离心率公式计算得到离心率. 【详解】对于焦点在轴上的双曲线，它的渐近线方程为， 由题意得， 所以. 4.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】由题意得，，渐近线方程， 焦点到的距离为，则， 则此双曲线的方程为 1.（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则C的右焦点到C的两条渐近线距离之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据题意先求出双曲线方程，然后求出右焦点坐标，利用点到直线的距离公式分别计算右焦点到两条渐近线的距离，然后求和即可. 【详解】由题意，. 双曲线的渐近线方程为，，，. ，，双曲线的右焦点坐标为. 右焦点到渐近线的距离. 右焦点到渐近线的距离. 右焦点到双曲线的两条渐近线距离之和为. 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】利用双曲线的渐近线方程计算即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 所以，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $