3.2 双曲线 3.2.1 双曲线的标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，覆盖双曲线标准方程、几何性质及实际应用，梯度合理，助力知识从概念理解到综合运用的进阶，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|焦点坐标、定义应用、方程条件|选择题为主，直接考查核心概念，如第1题焦点坐标、第2题定义| |中档|几何性质、轨迹方程、综合计算|含多选题（第6题）、填空题（第7-8题），结合三角形面积等几何情境| |提升|参数范围、实际应用、创新题型|解答题（第9-10题）、跨情境题（第11题篮球模型、第16题监测轨迹），体现模型观念|

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 1.双曲线-=1的焦点坐标是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(±,0) B.(0,±) C.(±5,0) D.(0,±5) 2.若双曲线E:-=1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF1=5,则PF2= (　 ) A.11 B.8 C.1或11 D.2或8 3.[2025·江苏丹阳中学高二月考] 已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为 (　 ) A.-1<k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>1或k<-1 4.[2025·江苏徐州高二期中] 以椭圆+=1长轴的两个端点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 5.设F1,F2分别是双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,若△ABF1为正三角形,则△ABF1的面积为 (　 ) A.4 B.4 C.3 D.3 6.(多选题)[2025·湖南湘潭一中高二月考] 设m,n为实数,已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,则下列说法正确的是 (　 ) A.yP= B.n=2 C.m=1 D.左焦点为(-,0) 7.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知动圆P过点N(-2,0),且与圆M:(x-2)2+y2=8外切,则动圆P的圆心P(x,y)的轨迹方程为　　　　　　　　.  8.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长是　　　　.  9.(13分)分别求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为(0,-6),(0,6),且过点A(-5,6); (2)经过点M,N,且焦点在坐标轴上; (3)与双曲线-=1有相同的焦点,且过点(3,2). 10.(13分)[2025·浙江绍兴上虞中学高二期中] 曲线C:-=1(m≠-3且m≠1). (1)若曲线C表示双曲线,求m的取值范围; (2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标. 11.[2025·广东梅州中学高二质检] 从某个角度观察篮球(如图①),可以得到一个对称的平面图形,如图②所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分,在图②中,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,AB=BC=CD=2,则双曲线的方程为 (　 ) ① ② A.x2-=1 B.2x2-y2=1 C.x2-=1 D.x2-=1 12.[2025·江苏如东中学高二质检] 事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题,结合上述观点,可得方程-=4的解是(　 ) A. B. C. D. 13.[2025·河北廊坊一中高二质检] 已知P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)上异于两个顶点A1,A2的任意一点,直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,写出满足焦距小于8且3<k1k2<4的C的一个标准方程:　　　　　　.  14.[2025·江苏常州中学高二质检] 已知双曲线-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则PQ+PF1的最小值为　　　　.  15.[2025·江苏金陵中学高二调研] 费马原理是几何光学中的一条重要原理,在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如,点P为双曲线(F1,F2为焦点)上一点,点P处的切线平分∠F1PF2.已知双曲线C:-=1,O为坐标原点,l是双曲线C在点P处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则OM=　　　　.  16.(15分)如图,某野生保护区监测中心设置在点O处,正西、正东、正北处分别有1个监测点A,B,C,且OA=OB=OC=30 km,一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,3个监测点均收到求救信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s(注:信号每秒传播V0 km). (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程; (2)若C点信号失灵,现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证有救援希望,扫描半径r至少是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 1.C　[解析] 由-=1,可得焦点在x轴上,a=4,b=3,∴c==5,故双曲线-=1的焦点坐标是(±5,0).故选C. 2.A　[解析] 由双曲线标准方程得a=3,由双曲线定义得|PF1-PF2|=2a=6,即|PF2-5|=6,解得PF2=-1(舍去)或PF2=11,故选A. 3.A　[解析] 由题意得解得即-1<k<1.故选A. 4.C　[解析] 椭圆+=1长轴的两个端点为(5,0),(-5,0),焦点为(4,0),(-4,0),所以双曲线的焦点为(5,0),(-5,0),顶点为(4,0),(-4,0),则双曲线的焦点在x轴上,且c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为-=1.故选C. 5.A　[解析] 设AF2=t,∵△ABF1为正三角形,∴AF1=2t,F1F2=t,又由双曲线C:x2-=1得a=1,∴根据双曲线定义得AF1-AF2=t=2,∴AF1=4,即正三角形ABF1的边长为4,故△ABF1的面积为×42×sin 60°=4.故选A. 6.BCD　[解析] 根据题意可知0<m<4,n>0,yP>0,且可得故A错误,B,C正确;c==,所以左焦点为(-,0),故D正确.故选BCD. 7.x2-y2=2(x≤-)　[解析] 定圆M的圆心为M(2,0),与N(-2,0)关于原点对称,设动圆P的半径为r,则有PN=r,因为圆P与圆M:(x-2)2+y2=8外切,所以PM=2+r,即PM-PN=2<MN=4,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的左支,则a=,c=2,b2=c2-a2=2,所以动圆P的圆心P(x,y)的轨迹方程为-=1(x≤-),即x2-y2=2(x≤-). 8.16　[解析] 双曲线的标准方程为x2-=1,所以a=1,c=3,F1F2=6,因为△PF1F2是等腰三角形,不妨设P在双曲线的右支上,则PF1=F1F2=6,所以PF2=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16. 9.解:(1)由已知得c=6,且双曲线的焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以2a=|-|=|13-5|=8, 则a=4,b2=c2-a2=62-42=20, 所以双曲线的标准方程是-=1. (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.因为点M,N在双曲线上,所以解得 故双曲线的标准方程为-=1. (3)设双曲线的方程为-=1(-4<λ<16), 因为双曲线过点(3,2), 所以-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去), 所以双曲线的标准方程为-=1. 10.解:(1)C:-=1表示双曲线,则(3+m)(1-m)>0,解得-3<m<1,故m的取值范围是-3<m<1. (2)由m=0,得曲线C:-y2=1为双曲线, 设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1, 因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0,可得s=, 故点P的横坐标为. 11.A　[解析] 依题意,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为BC=2,所以a=1,显然圆O的半径为3,又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,所以双曲线与圆O在第一象限内的交点为,于是-=1,解得b2=,所以双曲线的方程为x2-=1.故选A. 12.C　[解析] 由-=4可得-=4,即-=4,表示点(x,1)到定点(-3,0)和(3,0)的距离之差等于4,由双曲线的定义可知,点(x,1)在以(-3,0)和(3,0)为焦点,实轴长2a=4的双曲线的右支上,所以b2=c2-a2=5,所以双曲线方程为-=1,令y=1可得x=±,因为x>0,所以x=,即方程-=4的解是x=,故选C. 13.-=1(答案不唯一)　[解析] 设P(x0,y0),A1(-a,0),则A2(a,0),k1k2=·===,所以取b2=7,c2=9,则a2=2,所以满足条件的双曲线的一个标准方程是-=1(答案不唯一). 14.5+2　[解析] 由双曲线方程知a=,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),如图,连接PF2,QF2,由双曲线定义知PF1-PF2=2a=2,∴PQ+PF1=PQ+PF2+2≥QF2+2(当且仅当P在线段QF2上时取等号),又QF2==5,∴(PQ+PF1)min=5+2. 15.2　[解析] 如图,连接PF2并延长PF2,交F1M于点N,连接PF1,因为点M是∠F1PF2的平分线上的一点,且F1M⊥MP,所以点M为F1N的中点,所以PN=PF1,又点O为F1F2的中点,且PF1-PF2=2a=4,所以OM=F2N=(PN-PF2)=(PN-PF1+4)=2. 16.解:(1)设观察员可能出现的位置为点P(x,y),由题意,得PB-PA=×V0=40<AB=60, 故点P的轨迹为双曲线的左支, 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则2a=40,2c=60, 所以b2=c2-a2=500,故点P的轨迹方程为-=1(x≤-20). (2)设点P轨迹上一点为M(x,y)(x≤-20),则MC==, 又-=1,所以x2=y2+400, 所以MC==≥20, 当且仅当y=时,MC取得最小值20,故扫描半径r至少是20 km. 学科网（北京）股份有限公司 $