3.1 椭圆 3.1.1 椭圆的标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦椭圆的标准方程，分层设计基础-中档-提升三级梯度，知识覆盖从定义应用到综合创新，培养运算推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆定义、标准方程|直接应用概念，如第1题用定义求方程，巩固核心公式| |中档|位置关系、条件判断|综合公式应用，如第3题直线与椭圆位置关系，衔接课堂例题| |提升|最值、新情境、综合证明|发展推理与创新，如第12题“果圆”情境，融合几何直观与符号运算|

第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 1.已知椭圆C上任意一点P(x,y)都满足关系式+=4,则椭圆C的标准方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 2.若椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为6,则P到右焦点的距离为 (　 ) A.5 B.6 C.4 D.12 3.已知椭圆+=1,直线l:x+my-m=0(m∈R),则直线l与椭圆的位置关系是 (　 ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 4.[2025·江苏新海中学高二质检] “1<k<5”是“方程+=1表示椭圆”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.过点(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 6.(多选题)[2025·山东济宁一中高二质检] 已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是(　 ) A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上 C.若m=n>0,则C是圆,其半径为 D.若m=0,n>0,则C是两条直线 7.[2025·江苏泰州中学高二月考] 已知焦点在y轴上的椭圆+=1(m>0)的焦距为2,则实数m的值为　　　　.  8.若直线mx+y=0(m∈R)与椭圆+=1交于A,B两点,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为　　　　.  9.(13分)根据下列条件分别求椭圆的标准方程: (1)焦点在x轴上,焦距为4,且椭圆过点(0,2); (2)焦点在坐标轴上,且椭圆过点M和N(,1). 10.(15分)若椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则ON等于 (　 ) A.2 B.4 C.8 D. 11.[2025·江苏海门中学高二质检] 已知点P为椭圆C:+=1上的动点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,则PF1·PF2的最大值为(　 ) A.2 B.3 C.2 D.4 12.[2025·江苏徐州一中高二期中] 我们把由半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,O是坐标原点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为 (　 ) A.,1 B. ,1 C. 5,3 D. 5,4 13.已知椭圆C:+y2=1的左焦点为F,点M在椭圆C上,点N在圆E:x2+y2-4y+7=0上,则MN+MF的最小值为　　　　.  14.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),且经过点B(0,1). (1)求椭圆C的方程; (2)若椭圆C上的点P满足PF1⊥PF2,求点P的坐标. 15.已知点P在椭圆+=1(a>b>0)上,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若·=-2,且△PF1F2的面积为1,则a2的最小值为　　　　.  16.(15分)已知点P是椭圆+=1上的一点,点F1,F2分别是椭圆的上、下焦点,△F1PF2有一个内角为,求△F1PF2的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 1.B　[解析] +=4的几何意义为点P到点(1,0),(-1,0)的距离之和为4,故易知椭圆C的焦点在x轴上,其焦点坐标为(1,0),(-1,0),且2a=4,故a=2,c=1,所以b2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.故选B. 2.C　[解析] 由a2=25,得a=5,所以2a=10,根据椭圆的定义知,点P到右焦点的距离为10-6=4.故选C. 3.C　[解析] 由题意知,直线l:x+my-m=0(m∈R)恒过点(0,1),因为+<1,所以点(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆相交.故选C. 4.B　[解析] 若方程表示椭圆,则解得1<k<5且k≠3,故“1<k<5”是“方程+=1表示椭圆”的必要且不充分条件.故选B. 5.A　[解析] 由+=1知,椭圆的焦点为(,0),(-,0),即c=.设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),则+=1,a2-b2=5,解得b2=10,a2=15,故所求椭圆方程为+=1.故选A. 6.AD　[解析] 对于A,B,mx2+ny2=1可化为+=1,因为m>n>0,所以0<<,则曲线C为焦点在y轴上的椭圆,故A正确,B错误;对于C,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,此时曲线C为圆心在原点,半径为的圆,故C不正确;对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,即y=±,此时曲线C为平行于x轴的两条直线,故D正确.故选AD. 7.　[解析] 因为椭圆的焦点在y轴上,所以m2<4,根据题意可得4-m2=1且m>0,可得m=. 8.20　[解析] 设椭圆的两个焦点为F1,F2,由题可得a=5,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为AF1+F1B+BF2+F2A=4a=20. 9.解:(1)由题意知2c=4,∴c=2,又椭圆的焦点在x轴上, ∴可设该椭圆的方程为+=1(a>b>0). ∵椭圆过点(0,2),∴b=2, ∵c2=a2-b2,∴a2=8,∴椭圆的标准方程为+=1. (2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1,m>0,n>0, 则解得 所以椭圆的标准方程为+=1. 10.B　[解析] 设椭圆的另一个焦点为F2,连接MF2,∵MF1=2,且MF1+MF2=10,∴MF2=10-MF1=8,又O为F1F2的中点,∴ON=MF2=4.故选B. 11.D　[解析] 由椭圆C:+=1,可得a2=4,所以a=2,由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=4,所以PF1·PF2≤==4,当且仅当PF1=PF2=2时,等号成立,即PF1·PF2的最大值为4.故选D. 12.A　[解析] ∵OF2==,OF0=c=,∴b=1, ∴a2=b2+c2=1+=,则a=, 故选A. 13.3　[解析] 由x2+y2-4y+7=0,得x2+(y-2)2=1,则圆E的圆心为E(0,2),半径r=1.因为椭圆C:+y2=1,所以a=3,b=1,c=2,可得F(-2,0),则FE==4,可得MF+MN≥EF-r=4-1=3,当且仅当E,N,M,F四点共线,且M,N在E,F之间时取等号,所以MF+MN的最小值为3. 14.解:(1)∵椭圆C的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),∴c=. 又∵椭圆C经过点B(0,1), ∴b=1,则a2=b2+c2=4, 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)设点P(x0,y0),∵PF1⊥PF2, ∴·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=0,即+=3, 由解得 当x0=时,y0=±, 当x0=-时,y0=±,∴点P的坐标为或或或. 15.2　[解析] 不妨设m=PF1,n=PF2(m>0,n>0),θ=∠F1PF2,则·=mncos θ=-2,=mnsin θ=1,两式相除可得tan θ=-,所以tan θ=-1,又θ∈(0,π),所以θ=,可得mn=2(m>0,n>0).由椭圆的定义,得2a=m+n≥2(当且仅当m=n时等号成立),所以4a2≥4mn=8,所以a2≥2,则a2的最小值为2. 16.解:由题可知,a2=45,b2=9, ∴a=3,b=3,c==6, ∴PF1+PF2=6, ∴(PF1+PF2)2=180①. 当∠F1PF2=时,P+P-2PF1·PF2cos=F1=122=144②,①-②得PF1·PF2=36, ∴=PF1·PF2sin=×36×=9. 当∠PF1F2=时,由余弦定理可得cos∠PF1F2===-, ∴PF1=,此时=PF1·F1F2sin=. 当∠PF2F1=时,同理可得=.综上所述,△F1PF2的面积为或9. 学科网（北京）股份有限公司 $