5.3 导数在研究函数中的应用（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 5.3 导数在研究函数中的应用 ( 题型0 1 )用导数判断或证明已知函数的单调性 1．(1)由解析式知：，得证； （2）①，故在定义域上单调递增， 由，可知，所以； ②由①知，又a，b为正实数， 所以， 当且仅当，即，时取得等号，所以的最小值为3． 2．（1）由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以． 因为，所以，所以， 所以函数的值域为． （2）由题意知，. 因为， 所以是偶函数， 当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得． 故实数的取值范围是． 3．（1）因为，所以，   则，   又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 即． (2)由（1）可知， 则，， 所以， 设，，则，   当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减． ( 题型0 2 )利用导数求函数的单调区间 4．（1）由得, ，得. 所以曲线在点处的切线方程为， 即; （2）的定义域为. 由（1）知，令，得， 令，得，且， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为，. (3)证明：设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 当时，（当且仅当时，等号成立）. 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以（两个等号不能同时成立），所以, 所以对任意，都有. 5．（1）函数的定义域为． 因为， 令，可得，因为恒成立， 所以，即解得或， 因此可知函数的单调增区间为， 令，可得，解得． 因此函数的单调减区间为． （2）函数的定义域为． 因为， 当时， 在区间，，则此时函数在上单调递减； 在区间，，则此时函数在上单调递增； 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， ，恒成立，函数在为增函数. 综上可知，当时，函数的减区间为，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间. 6．（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． ( 题型0 3 )由函数的单调区间求参数 7．（1）依题意，， 令，则， 令，，则， 故在上单调递增；故； 经检验，当时，，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为； （2）依题意，， 令，其中； 若，即时，恒成立， 所以，在上单调递增； 若，则或，令，解得，， 其中，； 若，则，此时，， 所以，在上单调递增； 若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 8．（1）当时，， 所以 令，解得或 令，解得 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． （2）因为函数在上单调递增，所以． 即对任意恒成立， 因为， 又，所以对任意恒成立． 设，， 则 即，解得． 9．C ( 题型0 4 )求已知函数的极值 10．A 11．AC 12．（1）定义域为，， 当时，或，， 单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为， 令，即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. ( 题型0 5 )已知极值、极值点求参数 13．（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为， 整理得. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. 14．（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为：， 整理得：. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. （3）由（2）知当时， 的极小值为， 的极大值为， 当时，；当时，. 所以当即时，有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，所以有一个零点. 综上所述， 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 15．（1）函数的定义域为， 又， 因为函数在处的切线垂直于轴， 所以， 解得. （2）令，因为， 所以，即， 因为函数存在两个极值点， 所以，解得或， 又，所以 所以实数的取值范围为， 经检验，当时满足题意，故实数的取值范围为. ( 题型0 6 )由导数求函数的最值 16．（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，故． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为， 无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 17． 18． 1 ( 题型0 7 )利用导数证明不等式 19．（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以当时，在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增. （2）（i）由，得，令函数， 由（1）得函数在内单调递增，在内单调递减， 又，当时，，且当时，， 则当时，方程有两个不同的根， 所以的取值范围是. （ii）证明：不妨设，由（i）知，且， 当时，；当时，， 设， 设函数， 求导得， 函数在内单调递增，则，即， 于是，由，得， 而在内单调递减， 则，所以. 20．（1）由，得， 因为函数的极值点为，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，满足题意，即． (2)令，， 则， 因为函数、在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． 21．（1）当，，求导：.，. 切线方程为：，即. （2）由得出 ，函数和同过点，即和恒交于.有一个零点即有一个解，即和除外无交点，画出函数图象. 结合图象可知若保证直线和只有一个交点，直线可从（不包括）处旋转到，此时斜率a的范围是；另外和相切时符合题意，（1）已算出处的斜率为1，所以a的范围是. (3)根据（2）的结论可知两个零点分别为和，由得出，证明等价于证明，整理得,即.令，，构造函数，求导得：， ，当时，，在单调递减，，在单调递增， ，即，成立. ( 题型0 8 )利用导数研究不等式恒成立问题 22． 23．（1）当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . （2），， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则 ， 令 ，则， 所以 在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 24． ( 题型0 9 )利用导数研究不函数的零点 25．C 26．CD 27．ABD ( 题型 10 )利用导数研究方程的根 28．（1）∵，∴ ∴曲线在点处的斜率为：； 由切线方程为得，斜率，解得. 由，代入切线方程 得， 解得 所以. （2）函数的定义域为 令，即， 设 ∴， 令解得或，令解得， ∴在上单调递增；在上单调递减； ∴的极大值为,的极小值为. 要使有三个根，需且, 即,解得 ∴的取值范围为. （3）只有一个极值即有且仅有一个根或者虽有多个根但是仅有一个为极值点. 即等价于. 设，则 令解得或； ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴的极大值为，的极小值为. ∴当或时仅有一个实数根； 当或时，有两个实数根（其中一个为重根且非极值点），故仅有一个极值点. 综上， 或. ∴的取值范围为 29．BCD 30．(1)函数定义域为 . 求导得. 令 ，得 . 当 时，，函数单调递增；当 时，，函数单调递减. 因此 在 处取得唯一极大值，无极小值，所以极值点唯一. 令 ，得 ，因 ，故 ，解得 . 且函数在 上递增且，在 上递减且 ，故零点唯一为 . 综上，存在唯一的极值点和唯一的零点. (2)极值点为 ，零点为. 直线 的方程为. 令. 求导得，所以 在 上单调递减. 又，故 在上先增后减，其最小值在区间端点取得. 而，因此在 内恒有 ， 即，所以 的图象总在直线 的上方. (3)由题意，方程 有两个不等实根， 结合（1）和函数图象可知 ，且. 由（2）可知，在 上有. 取 ，得，整理得①. 由于时，，故， 因为在 上单调递增，而 ，所以②. 由①②得，故不等式成立. 1．D 2．A 3．B 4． 5． 6． 7． 8．（1）当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； （2）. 当时，对任意都有， 故，在上单调递增. 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 9．（1）求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． （2）由，可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 10．（1）当时，，， ∴，故， ∴曲线在处的切线方程为，即． （2）， 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，则， 由基本初等函数的单调性知，在上单调递增， 又，故由可得， 故的取值范围是． 1．B 2．B 3．C 4．C 5． 6． 7． 8．（1）函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． (3)证明：由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 9．（1）由函数的定义域为，， 则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减；在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值． （2）（ⅰ）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令函数，，则， 所以函数在上单调递减， 而，， 则存在，使得，即， 因此当时，， 所以正整数的最大值为． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当时，，恒成立， 即对恒成立，取，， 则， 因此 ． 10．（1）由题，则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； （2）时，， 则， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值为，有极大值为， 所以当时，若存在实数、、满足， 则实数的取值范围为； （3）当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 导数在研究函数中的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 用导数判断或证明已知函数的单调性 题型02利用导数求函数的单调区间 题型03 由函数的单调区间求参数 题型04 求已知函数的极值 题型05 已知极值、极值点求参数 题型06 由导数求函数的最值 题型07 利用导数证明不等式 题型08 利用导数研究不等式恒成立问题 题型09 利用导数研究不函数的零点 题型10 利用导数研究方程的根 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )用导数判断或证明已知函数的单调性 1．定义在R上的函数 (1)证明：，都有; (2)若正实数，满足 ①求，的关系式； ②求的最小值. 【答案】(1)由解析式知：，得证； (2)①；②3 【详解】（1）略 （2）①，故在定义域上单调递增， 由，可知，所以； ②由①知，又a，b为正实数， 所以， 当且仅当，即，时取得等号，所以的最小值为3． 2．已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)，值域为 (2) 【详解】（1）由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以． 因为，所以，所以， 所以函数的值域为． （2）由题意知，. 因为， 所以是偶函数， 当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得． 故实数的取值范围是． 3．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)证明：在上单调递减． 【答案】(1) (2)由（1）可知， 则，， 所以， 设，，则，   当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减． 【详解】（1）因为，所以，   则，   又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 即． （2）略 ( 题型0 2 )利用导数求函数的单调区间 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：对任意，都有. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为；单调递减区间为， (3)证明：设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 当时，（当且仅当时，等号成立）. 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以（两个等号不能同时成立），所以, 所以对任意，都有. 【详解】（1）由得, ，得. 所以曲线在点处的切线方程为， 即; （2）的定义域为. 由（1）知，令，得， 令，得，且， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为，. （3）略 5．求下列函数的单调区间． (1)； (2)． 【答案】(1)增区间为，单调减区间为． (2)当时，函数的减区间为，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间. 【详解】（1）函数的定义域为． 因为， 令，可得，因为恒成立， 所以，即解得或， 因此可知函数的单调增区间为， 令，可得，解得． 因此函数的单调减区间为． （2）函数的定义域为． 因为， 当时， 在区间，，则此时函数在上单调递减； 在区间，，则此时函数在上单调递增； 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， ，恒成立，函数在为增函数. 综上可知，当时，函数的减区间为，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间. 6．已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或； (2)当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． ( 题型0 3 )由函数的单调区间求参数 7．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增 当时，在，上单调递增，在上单调递减 【详解】（1）依题意，， 令，则， 令，，则， 故在上单调递增；故； 经检验，当时，，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为； （2）依题意，， 令，其中； 若，即时，恒成立， 所以，在上单调递增； 若，则或，令，解得，， 其中，； 若，则，此时，， 所以，在上单调递增； 若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 8．已知函数为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间 (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）当时，， 所以 令，解得或 令，解得 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． （2）因为函数在上单调递增，所以． 即对任意恒成立， 因为， 又，所以对任意恒成立． 设，， 则 即，解得． 9．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为在上单调递减，所以对一切恒成立，即对一切恒成立. 当时，，故 ． 反之，当时，对一切恒成立，满足 在上单调递减. 所以实数的取值范围为. ( 题型0 4 )求已知函数的极值 10．已知实数，满足，，且，则的最小值为（     ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 因为，，所以，即， 则， 设，， 则， 令，即，化简可得， 解得或（舍去）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 所以的最小值为. 11．（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．，使得为增函数 C．，使得点为曲线的对称中心 D．当时，过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】AC 【详解】， 求导得，令，得， 又因为， 所以有两个不等的实根， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以有两个极值点，不存在，使得为增函数，故A正确，B错误； 若曲线关于点对称，则对恒成立， 又， ， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以，解得， 所以当时，使得点为曲线的对称中心，故C正确； 当时，，求导得， 设切点为，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 又切线过点，所以， 整理得. 令，求导得， 令，得，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数有极大值，极小值， 又当时，，当时，； 所以与轴有唯一交点，所以有唯一解， 所以方程有唯一解， 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有一条，故D错误. 12．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. (2) 【详解】（1）定义域为，， 当时，或，， 单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为， 令，即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. ( 题型0 5 )已知极值、极值点求参数 13．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为， 整理得. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. 14．已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为：， 整理得：. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. （3）由（2）知当时， 的极小值为， 的极大值为， 当时，；当时，. 所以当即时，有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，所以有一个零点. 综上所述， 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 15．已知函数． (1)若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； (2)若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 因为函数在处的切线垂直于轴， 所以， 解得. （2）令，因为， 所以，即， 因为函数存在两个极值点， 所以，解得或， 又，所以 所以实数的取值范围为， 经检验，当时满足题意，故实数的取值范围为. ( 题型0 6 )由导数求函数的最值 16．已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【答案】(1) (2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 【详解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，故． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为， 无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 17．已知，且，，则的最大值是__________． 【答案】 【详解】设，则， 当时，，故，所以在上单调递增， 则，因为，所以， ， 故，即恒成立； 当时，， 若，则恒成立； 若，令， 则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使，可得， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以，解得， 此时，所以，从而， 因此的最大值为. 18．已知函数，，若，则的最小值为______________；若在上单调递减，则的取值范围为______________. 【答案】 1 【详解】对于①：若，则，，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值； 对于②，，， 若在单调递减，则在恒成立， 即在恒成立，令，则， 因为在单调递增， 所以， 所以，即的取值范围为. ( 题型0 7 )利用导数证明不等式 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递减，在内单调递增. (2)（i） （ii）证明：不妨设，由（i）知，且， 当时，；当时，， 设， 设函数， 求导得， 函数在内单调递增，则，即， 于是，由，得， 而在内单调递减， 则，所以. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以当时，在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增. （2）（i）由，得，令函数， 由（1）得函数在内单调递增，在内单调递减， 又，当时，，且当时，， 则当时，方程有两个不同的根， 所以的取值范围是. （ii）略 20．已知函数，（为自然对数的底数，），函数的极值点为． (1)求的值； (2)证明：对，． 【答案】(1) (2)令，， 则， 因为函数、在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． 【详解】（1）由，得， 因为函数的极值点为，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，满足题意，即． （2）略 21．已知函数（）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若有唯一零点，求的取值范围； (3)若存在两个不同且均不大于1的零点，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)根据（2）的结论可知两个零点分别为和，由得出，证明等价于证明，整理得,即.令，，构造函数，求导得：， ，当时，，在单调递减，，在单调递增， ，即，成立. 【详解】（1）当，，求导：.，. 切线方程为：，即. （2）由得出 ，函数和同过点，即和恒交于.有一个零点即有一个解，即和除外无交点，画出函数图象. 结合图象可知若保证直线和只有一个交点，直线可从（不包括）处旋转到，此时斜率a的范围是；另外和相切时符合题意，（1）已算出处的斜率为1，所以a的范围是. （3）略. ( 题型0 8 )利用导数研究不等式恒成立问题 22．已知函数，．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】，当，即时，，在上单调递增，所以由有解， 而，故， 又，所以； 当，即时，，在上单调递减，所以由有解，得，故， 又，所以； 当，即时，使， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以， 令，，则， 所以在上单调递增，故， 所以，即有解． 综上，实数的取值范围为． 23．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. (3) 【详解】（1）当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . （2），， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则 ， 令 ，则， 所以 在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 24．已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由求导得， 因函数在上存在减区间，则在上有解区间，即在上能成立. 设，则，则函数在上单调递增， 故，即，故可得， 即实数的取值范围为. ( 题型0 9 )利用导数研究不函数的零点 25．设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为0 B．若，则的极值点也是其零点 C．可能存在两个不同的零点 D．可能存在三个不同的零点 【答案】C 【详解】， 令，则， 因为，若，则， 则在上单调递减，则； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增； 则， 当时，，则； 因为，所以当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，即时，的最小值不为，故A错误； 若，则，得， 若，则，此时存在两个不同的值使得， 此时存在两个不同的零点； 若或，则或，此时存在一个值使得， 此时存在一个零点； 若，则，此时不存在值使得，此时无零点； 故C正确，D错误； ， 若，因为，所以是的极值点， 但，故的极值点不一定是其零点，故B错误. 26．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．对于，在上无零点 C．对于，在上无零点 D．对于，在上有且只有一个零点 【答案】CD 【详解】，且，时，时； 选项A：当时，，在上单调递增，无极值点，A错误； 选项B：当时，的零点为和，在上单调递增，在上单调递减，极大值，取时，，结合时，，可知上有两个零点，B错误； 选项C：当时，，当，，在上单调递增，且，所以当时，故在上无零点，C正确； 选项D：当时，，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，则，又时， 所以在上没有零点，在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个零点； 综上，对于，在上有且只有一个零点，D正确. 27．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当，时，函数仅有一个零点 B．，，都存在极值点 C．若恒成立，则 D．当时，若在上单调递增，则 【答案】ABD 【详解】对于A，当，时，， 由得或，解得， 故函数仅有一个零点，A正确. 对于B，， 当时，；当时，， 所以在上一定有变号零点，所以一定存在极值点，B正确. 对于C，由得与同号. 令，解得；令，解得. 因为与均单调递增，所以，即. 所以，当且仅当时，等号成立，C错误. 对于D，当时，，， 若在上单调递增，则在上恒成立， 所以. 因为在上单调递增， 所以，即，D正确. ( 题型 10 )利用导数研究方程的根 28．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为, 求； (2)若有三个零点，求的取值范围； (3)若只有一个极值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵，∴ ∴曲线在点处的斜率为：； 由切线方程为得，斜率，解得. 由，代入切线方程 得， 解得 所以. （2）函数的定义域为 令，即， 设 ∴， 令解得或，令解得， ∴在上单调递增；在上单调递减； ∴的极大值为,的极小值为. 要使有三个根，需且, 即,解得 ∴的取值范围为. （3）只有一个极值即有且仅有一个根或者虽有多个根但是仅有一个为极值点. 即等价于. 设，则 令解得或； ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴的极大值为，的极小值为. ∴当或时仅有一个实数根； 当或时，有两个实数根（其中一个为重根且非极值点），故仅有一个极值点. 综上， 或. ∴的取值范围为 29．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 【答案】BCD 【详解】对A选项，对函数求导可得，令，得，又，故曲线在处的切线方程为，即,故A选项错误. 对B选项，令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当，取得最大值， 当时，，，故， 故函数的值域是，所以B选项正确. 对C选项，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小， 设点，则，整理得， 令，则，故单调递增，代入，得， 因此唯一解，此时，点P到直线距离为.故C选项正确. 对D选项，设过点的切线切点为，切线斜率为，切线方程为， 将点代入切线方程，整理得，令， 若过点至少可以作曲线的两条切线，则函数和函数至少有两个交点. 对求导得，令得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，在处取得极小值，在处取得极大值， 所以的大致图象如图所示： 由图象可知，当时，函数和函数至少有两个交点， 此时过点至少可以作曲线的两条切线.故D选项正确. 30．已知函数. (1)证明：存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设的极值点和零点所对应的点分别为，，求证：当时，的图象总在直线的上方； (3)若关于的方程（a为实数）有两个不相等的实数根，，且，求证：. 【答案】(1)函数定义域为 . 求导得. 令 ，得 . 当 时，，函数单调递增；当 时，，函数单调递减. 因此 在 处取得唯一极大值，无极小值，所以极值点唯一. 令 ，得 ，因 ，故 ，解得 . 且函数在 上递增且，在 上递减且 ，故零点唯一为 . 综上，存在唯一的极值点和唯一的零点. (2)极值点为 ，零点为. 直线 的方程为. 令. 求导得，所以 在 上单调递减. 又，故 在上先增后减，其最小值在区间端点取得. 而，因此在 内恒有 ， 即，所以 的图象总在直线 的上方. (3)由题意，方程 有两个不等实根， 结合（1）和函数图象可知 ，且. 由（2）可知，在 上有. 取 ，得，整理得①. 由于时，，故， 因为在 上单调递增，而 ，所以②. 由①②得，故不等式成立. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上有2个零点 C．在上是增函数 D．的最大值为 【答案】D 【详解】对于A，，不是的周期，A错误； 对于B，由，得，解得或， 而，则或或，即在上有3个零点，B错误； 对于D，当时，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上为单调递减， 而，，则函数在上的最大值为， ，是的周期， 因此函数的最大值为，D正确； 对于C，由选项D，得函数在上单调递增，在上为单调递减，C错误. 2．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数的定义域为R， 求导得， 当时，，故在R上单调递增，无极值， 当时，，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极小值，即函数在处取得极小值的充要条件是， 所以“”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件. 3．已知函数在上的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，所以， 令，由，则，所以解得：， ①当，即时，此时， 又，函数在上单调递增，所以，所以， 所以当时，，即此时函数在上单调递增， 所以，即， 又，所以； ②当，即时，由， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以， 即时，， 则， 令，解得：， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调减， 所以； 因为，所以， 综上所述，的最大值为. 4．若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【详解】对函数求导，得 ， 令，得 ，或； 令，得 ，. 所以，， ， 令，得 ，或 令，得 ， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 又，故的根为， 所以的根为或， 如图所示， 所以若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为. 5．若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】求导：， ， ，则， ， 解不等式得： ， ， 所以. 6．已知函数与具有相同的单调递减区间，则实数__________． 【答案】 【详解】函数的定义域为 ， ， 令，即 ，，， 所以的单调递减区间是， 函数的定义域为， 因为恒成立，所以等价于， 已知与有相同的单调递减区间， 则当时，在恒成立，不符合题意，故， 此时，， 即的单调递减区间为 ， 因为两个函数的单调递减区间相同，所以，解得. 7．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 注：类似的问题，我们认为函数的单调递增区间为． 【答案】 【详解】函数定义域，对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 8．已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； （2）. 当时，对任意都有， 故，在上单调递增. 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． (2) 【详解】（1）求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． （2）由，可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 10．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， ∴，故， ∴曲线在处的切线方程为，即． （2）， 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，则， 由基本初等函数的单调性知，在上单调递增， 又，故由可得， 故的取值范围是． 1．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，因为，所以，即. 又因为为锐角三角形，所以由. 得解得 于是 令，由，得 因此设 求导： 所以在上单调递增. 当时， 当时，所以 2．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 由，得，等价于①或②. 由②得，即，所以. 因为对任意，恒有，所以不等式不成立，因此不等式组无解. 由①得，即（）. 令，则，令，解得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以当时，函数有最大值. 要使恒成立，所以. 再令，则，令，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，函数的最小值. 要使恒成立，所以. 综上所述，的取值范围为. 3．已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，，则函数转化为，， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，最大值为，当时，最小值为0， 故，则， 当，时等号成立， 所以的最小值为：. 4．若存在使得，则称是函数的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，由， 因为，，所以方程有解， 即函数存在“好点”； 对B，由， 因为，所以方程有两个不相等的实根， 即函数有两个“好点”； 对C，由， 因为，，所以方程无解， 即函数无“好点”； 对D，由， 设，，因为在上连续，且， 所以在上单调递增，又，， 所以只在内有一个零点. 即函数只有1个“好点”，位于区间内. 5．已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 6．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为， 由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递增，则，可得， 所以实数的取值范围是. 7．若在上是减函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为在上是减函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 设，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以， 因为在上恒成立，所以. 8．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； (3)设，证明：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)最小值为，最大值为 (3)证明：由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． （3）略 9．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)（ⅰ）若在上恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：，． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当时，，恒成立， 即对恒成立，取，， 则， 因此 ． 【详解】（1）由函数的定义域为，， 则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减；在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值． （2）（ⅰ）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令函数，，则， 所以函数在上单调递减， 而，， 则存在，使得，即， 因此当时，， 所以正整数的最大值为． （ⅱ）略 10．已知函数，． (1)求的最值； (2)当时，若存在实数，，满足，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)函数有最小值，无最大值； (2)实数的取值范围为； (3)实数的取值范围为. 【详解】（1）由题，则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； （2）时，， 则， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值为，有极大值为， 所以当时，若存在实数、、满足， 则实数的取值范围为； （3）当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 导数在研究函数中的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 用导数判断或证明已知函数的单调性 题型02利用导数求函数的单调区间 题型03 由函数的单调区间求参数 题型04 求已知函数的极值 题型05 已知极值、极值点求参数 题型06 由导数求函数的最值 题型07 利用导数证明不等式 题型08 利用导数研究不等式恒成立问题 题型09 利用导数研究不函数的零点 题型10 利用导数研究方程的根 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )用导数判断或证明已知函数的单调性 1．定义在R上的函数 (1)证明：，都有; (2)若正实数，满足 ①求，的关系式； ②求的最小值. 2．已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 3．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)证明：在上单调递减． ( 题型0 2 )利用导数求函数的单调区间 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：对任意，都有. 5．求下列函数的单调区间． (1)； (2)． 6．已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． ( 题型0 3 )由函数的单调区间求参数 7．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 8．已知函数为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间 (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 9．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )求已知函数的极值 10．已知实数，满足，，且，则的最小值为（     ） A．6 B． C． D． 11．（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．，使得为增函数 C．，使得点为曲线的对称中心 D．当时，过点且与曲线相切的直线恰有两条 12．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. ( 题型0 5 )已知极值、极值点求参数 13．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 14．已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 15．已知函数． (1)若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； (2)若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围． ( 题型0 6 )由导数求函数的最值 16．已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 17．已知，且，，则的最大值是__________． 18．已知函数，，若，则的最小值为______________；若在上单调递减，则的取值范围为______________. ( 题型0 7 )利用导数证明不等式 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 20．已知函数，（为自然对数的底数，），函数的极值点为． (1)求的值； (2)证明：对，． 21．已知函数（）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若有唯一零点，求的取值范围； (3)若存在两个不同且均不大于1的零点，，证明：． ( 题型0 8 )利用导数研究不等式恒成立问题 22．已知函数，．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________． 23．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 24．已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. ( 题型0 9 )利用导数研究不函数的零点 25．设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为0 B．若，则的极值点也是其零点 C．可能存在两个不同的零点 D．可能存在三个不同的零点 26．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．对于，在上无零点 C．对于，在上无零点 D．对于，在上有且只有一个零点 27．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当，时，函数仅有一个零点 B．，，都存在极值点 C．若恒成立，则 D．当时，若在上单调递增，则 ( 题型 10 )利用导数研究方程的根 28．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为, 求； (2)若有三个零点，求的取值范围； (3)若只有一个极值，求的取值范围. 29．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 30．已知函数. (1)证明：存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设的极值点和零点所对应的点分别为，，求证：当时，的图象总在直线的上方； (3)若关于的方程（a为实数）有两个不相等的实数根，，且，求证：. 1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上有2个零点 C．在上是增函数 D．的最大值为 2．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数在上的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为______． 5．若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 6．已知函数与具有相同的单调递减区间，则实数__________． 7．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 注：类似的问题，我们认为函数的单调递增区间为． 8．已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 10．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. 1．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．若存在使得，则称是函数的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 6．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 7．若在上是减函数，则的取值范围是__________. 8．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； (3)设，证明：. 9．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)（ⅰ）若在上恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：，． 10．已知函数，． (1)求的最值； (2)当时，若存在实数，，满足，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $