5.3导数的应用 （三）利用导数研究函数的最值、利用导数研究二次函数及利用导数解决实际问题（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

5.3导数的应用 （三）利用导数研究函数的最值、利用导数研究二次函数及利用导数解决实际问题 基础达标题 题型01函数最值与极值的关系辨析 题型02由导数求函数的最值(不含参) 题型03利润最大问题 题型04成本最小问题 题型05面积、体积最大问题 题型06用料最省问题 能力提升题 题型07已知函数最值求参数 题型08函数单调性、极值与最值的综合应用 题型09利用导数证明不等式 题型10利用导数研究不等式恒成立问题 题型11利用导数研究能成立问题 题型12利用导数研究函数的零点 题型13利用导数研究双变量问题 题型01函数最值与极值的关系辨析 1．函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 【答案】C 【解析】由函数的最值与极值的概念可知在上一定存在最大值． 故选：C． 2．下列结论中，正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值． B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值． C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得． D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值． 【答案】D 【解析】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误； 函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误； 若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确.故选：D. 3．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【解析】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误，故选D. 题型02由导数求函数的最值(不含参) 4．函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】定义域为，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故. 5．函数的最小值为 . 【答案】/ 【解析】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 6．已知函数，则的最大值为 【答案】 【解析】函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值. 7．函数 的最大值为 ． 【答案】 【解析】，则， 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 故当时，取极大值也是最大值，故最大值为 题型03利润最大问题 8．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 【答案】0.047 【解析】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 9．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 . 【答案】 【解析】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以当时，函数取得最大值， 即当半径为时，利润最大； 10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为元，销量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：，则该商品利润的最大值为 元． 【答案】23000 【解析】该商品利润， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时有最大值， 为元. 题型04成本最小问题 11．如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距 公里，可使铺设水管的总费用最省. 【答案】20 【解析】设，则，，,, 所以总费用 ，令，得， 当，，函数单调递减，当，，函数单调递增， 所以当时，总费用取得最小值，此时公里. 12．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ． 【答案】 【解析】由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）； 表示较短池壁长，，解得：， 池壁的总维修费用表达式为， ， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低. 13．如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为 h. 【答案】/ 【解析】设，其中，根据题意，，，， 则，， 设从到所需时间为， 则，其中， 则， 由可得， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 题型05面积、体积最大问题 14．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 ． 【答案】 【解析】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为， 则，即， 所以无盖方盒的容积为，， 则， 令，解得或； 令，解得． 因为函数的定义域为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，所以， 即该方盒容积最大为. 15．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为.若要使方盒的容积V最大，则边长为 . 【答案】/ 【解析】由，则，， 令，解得，令，解得， 故在单调递增，在单调递减， 所以在处取得最大值，故. 16．在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 【答案】18 【解析】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 题型06用料最省问题 17．用铁皮围成一个容积为8的有盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为 ．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计） 【答案】24 【解析】设该正四棱柱形水箱底面边长为m，则高为m，设需用铁皮的面积为， 则， 由，得， 当时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当m时，函数取得最小值，最小值为24， 即需用铁皮的面积至少为． 18．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为 ． 【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为，由体积得高为， 则圆柱的表面积为， ， 令，得，单调递减，令得，单调递增． 所以在时取得最小值，要使得用料最省，底面半径为. 19．制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，设圆柱的高为，底面圆的半径为， 因为圆柱形容器的容积为，可得，则， 圆柱形容器的表面积为， 可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，也为的最小值.故选：C. 题型07已知函数最值求参数 20．若曲线在处有最值，则实数的值为     【答案】1 【解析】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 21．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 22．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 23．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，， 故要使在区间上的最小值为，则. 24．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 题型08函数单调性、极值与最值的综合应用 25．已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 26．研究函数的单调性、极值和值域． 【解】对函数求得，由得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故为的极大值，，， 所以的值域为． 27．已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【解】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 28．已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 【解】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 题型09利用导数证明不等式 29．已知函数．若，证明：当时，． 【解】因为，， 则要证，只需证， 令，则， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 所以函数在上单调递增， 所以，得证． 30．证明：，，. 【解】不等式， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 而当时，，则，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，，则， 所以原不等式成立. 31．求证：当时，． 【解】法一：令，则， 令，则， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，则， 则当时，； 令，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，故， 即当时，， 故，即. 法二：令，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递增，则，即； 令，则， 故在上单调递增，故，即； 故，故在上单调递增， 故，即有. 32．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 题型10利用导数研究不等式恒成立问题 33．已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 34．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1． (1)求的表达式； (2)若恒成立，求a的值． 【解】（1）由，得， 则切线的斜率，所以． （2）令． 因为恒成立，所以，在上恒成立， 因为，又的图象在定义域上是连续不间断的，所以是的一个极大值点，则， 又，所以，得， 下证当时，对任意恒成立， 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即， 而，所以当时． 综上，若恒成立，则． 35．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 【解】（1）当时，，, 则函数在单调递减 即． （2） ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得 综上所述：． 36．已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 【解】（1）方法一：存在使得成立， 即存在使得成立 设，， 令，， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， ， 方法二：，， ①当时，，函数在上单调递增，因为， 所以总存在使得成立 ②当时，令解得；令解得， 故此时函数在上单调递增，在上单调递减， 因为存在使得成立， ， 综上所述，； （2）由（1）可知，当时，在恒成立， 所以函数在恒成立， 方法一：问题转化为在恒成立， 设，，， 设，当，， 在单调递增， 当，， 故，在单调递增， 根据洛必达法则，， ， ； 方法二：设，， ①当时， 在恒成立，在单调递增， ，即在恒成立， ②当时， 由，解得，在单调递增， 由，解得，在单调递减， ， 即在不能恒成立，舍去； 综上所述，. 题型11利用导数研究能成立问题 37．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 38．已知函数. (1)当时，记函数的图像在处的切线与坐标轴围成的图形的面积为，求的最小值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【解】（1）因为）， 所以，所以2，又， 所以函数在处的切线方程为， 令，得，令，得， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时 ，所以的最小值为4. （2）因为在上有解， 即在上有解， 等价于在上有解，所以. 设， 则. 令，得或， 列表如下： 0 1 2 3 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因为，，所以在上的最小值为，所以. 39．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，使成立，求的取值范围． 【解】（1）当时，，对求导得. 则， 又，所以切点为，     所以切线方程为，即. （2）对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 ， 又，所以舍去，所以. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. 40．已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【解】（1）， ， ，且， 在处的切线方程为：. （2）令，得或， 当和时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减， 为函数的极大值点，极大值为； 为函数的极小值点，极小值为. （3）根据题意关于的不等式在上有解， 即在上有解， 设，，，， 由于，在上单调递增，， 在上单调递减，， 则，解得， 实数的取值范围为. 题型12利用导数研究函数的零点 41．当时，讨论函数的零点个数． 【解】因为，当时，在上单调递增，故函数至多有一个零点． ，当时，有，故， 所以取，， 所以使有唯一零点. 即函数零点个数为1. 42．已知函数． (1)若，求单调区间与最值； (2)讨论导函数的零点个数情况； 【解】（1）当时，，求导得. 令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 的最小值为，无最大值. （2），其零点个数等价于方程的解的个数. 令（），求导得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 的最大值为；当时，；当时，. 当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. 43．给定函数 (1)判断函数的单调性，并求的极值. (2)若有两个解，求的取值范围. 【解】（1）因为， 所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 在处，函数取得极小值，. 无极大值. （2）当时，； 当时，； 当时，. 作函数草图如下： 所以有两个解，可得. 即所求的取值范围为： 44．已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 【解】（1）当时，， 则，即切点为， 因为，所以切线斜率， 所以所求切线方程为，即， 所以的图象在处的切线方程为； （2）由题意，知有解，即有解， 整理得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 当时，；当时，， 所以的值域为， 即，即， 所以的取值范围是． 45．已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 【解】（1）， 因为，， 所以，因此， 所以当时，函数在上单调递减， 于是由，证毕； （2）当时，，， 当时，，所以函数在时，单调递增， 当时，，，显然， 因此，所以函数在时，单调递减， 所以当时，函数有最小值； （3）当时，， 所以此时该函数是实数集上的减函数，而， 所以此时函数有唯一零点； ， 设， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，且， 函数的图象和直线的图象如下图所示： 显然当时，直线和函数的图象有唯一交点； 函数在处的切线斜率为， 因此当时，直线和函数的图象有唯一交点； 因此当时，直线和函数的图象有两个交点， 当时，直线和函数的图象有两个交点， 综上所述：当时，函数有两个零点， 当时，函数有一个零点. 题型13利用导数研究双变量问题 46．若，为函数的两个零点，且，求证：． 【解】证明 ：由， 由，得； 由，得，则在上单调递减，在上单调递增， 故，① 由于，由指数均值不等式得，则，② 由①②得． 47．已知函数．若有两个零点，且，证明：． 【解】若有两个零点，则，得． ，令，则，故，则，， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， ，则在上单调递增，，即， 故. 48．已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【解】（1）， （1）当时，，，的减区间是． （2）当时，，的减区间是． （3）当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2），，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 49．已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【解】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 50．已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【解】（1）为增函数，则恒成立， 设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 故当，即恒成立， 所以当为增函数，的取值范围为. （2），，，由（1）知当， 即时，有两个极值点， 故，设，则， 设， 则， 故在上单调递增，所以， 所以，又， 故， 所以， 又在上单调递减， 故， 所以. 1．若函数，且恒成立，则实数 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以恒成立等价于恒成立， 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，，所以； 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 2．已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】已知，， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在时，在递减，递增，最小值为. 因为仅存在一个正整数，使，则这个正整数只能是， 因此需满足，代入得 解得. 3．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 又时，，又时，， 要使函数有3个零点，则，解得， 所以实数的取值范围是． 4．已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】原命题等价于， 当时，， 故在上单调递增，即， 则，即在上恒成立，即， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则函数在的最大值为， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 5．已知函数对任意有成立，则k的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，函数对有成立， 当时，取时，可得，所以不符合题意，舍去； 当时，令， 则， 令，可得或， （1）当时，则，则在上恒成立， 因此在单调减，从而对任意，总有， 即对任意，都有成立，所以符合题意； （2）当时，，对于，因此在内单调递增，所以当时，，即， 所以不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围是，即实数的最小值为． 6．已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】原不等式等价于，记， 注意到，这说明只要时，则当时也有. 故下只考虑时的情况，要使， 只需在恒成立， 令，. 因为，故，经验证，满足题意. 故选：D 7．已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，正四棱柱体积最大时，其上底面正方形外接圆是平行于圆锥底面的截面圆， 因此正四棱柱的下底面中心是圆锥的下底面圆心，作出过正四棱柱下底面对角线的圆锥的轴截面， 该轴截面截正四棱柱得其对角面，如图，设正四棱柱的底面边长为，则，    由，得，而，则，， 因此该正四棱柱体积，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则当时，，所以正四棱柱体积最大值为. 故选：A 8．已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为，所以切线的斜率为， 即有，解得， 所以切线的斜率为，所以.故选：B. 9．已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 10．已知函数. (1)讨论的单调区间和极值. (2)若，不等式的解集为，求的取值范围. 【解】（1）函数的定义域为， ， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，无极值. （ⅱ）当时，令，得， 令，得. 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， ， 综上，当时，在上单调递增，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值. （2）的定义域为， 在恒成立， ，由（1）知在单调递减，在单调递增， ，所以即. ①当时，不等式不成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又， 等价于， ；综上，的取值范围是. 11．已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 【解】（1）因为，且是极值点， 所以，即，得，此时， 由得；得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值点， 综上，； （2）原命题的否定为，，， 假设其为真命题，则，解得， 下面证明：时，在恒成立， 因为， 令，则， 由得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即证. 所以当命题，使得为真命题时，， 故a的取值范围为 12．已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【解】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； （2）设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因为， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 13．已知函数． (1)若在处取得极值，求； (2)若当时，，求的取值范围． 【解】（1）由题意得． 因为在处取得极值， 所以，解得， 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． （2）， 若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． 若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以， 由，可得，解得． 综上，的取值范围是． 14．已知函数． (1)若，求的单调区间． (2)若有两个不同的零点．求的取值范围. 【解】（1）当时，函数定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由，得， 令，求导得， 令， 求导得，函数在上单调递增， 又，函数在上有唯一零点， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 作出函数的大致图象如下： 函数有两个不同的零点， 当且仅当直线与函数的图象有两个交点，此时， 所以的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3导数的应用 （三）利用导数研究函数的最值、利用导数研究二次函数及利用导数解决实际问题 基础达标题 题型01函数最值与极值的关系辨析 题型02由导数求函数的最值(不含参) 题型03利润最大问题 题型04成本最小问题 题型05面积、体积最大问题 题型06用料最省问题 能力提升题 题型07已知函数最值求参数 题型08函数单调性、极值与最值的综合应用 题型09利用导数证明不等式 题型10利用导数研究不等式恒成立问题 题型11利用导数研究能成立问题 题型12利用导数研究函数的零点 题型13利用导数研究双变量问题 题型01函数最值与极值的关系辨析 1．函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 2．下列结论中，正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值． B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值． C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得． D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值． 3．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 题型02由导数求函数的最值(不含参) 4．函数的最小值为 ． 5．函数的最小值为 . 6．已知函数，则的最大值为 7．函数 的最大值为 ． 题型03利润最大问题 8．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 9．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 . 10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为元，销量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：，则该商品利润的最大值为 元． 题型04成本最小问题 11．如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距 公里，可使铺设水管的总费用最省. 12．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ． 13．如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为 h. 题型05面积、体积最大问题 14．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 ． 15．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为.若要使方盒的容积V最大，则边长为 . 16．在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 题型06用料最省问题 17．用铁皮围成一个容积为8的有盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为 ．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计） 18．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为 ． 19．制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（    ） A． B． C． D． 题型07已知函数最值求参数 20．若曲线在处有最值，则实数的值为     21．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 22．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 23．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 24．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型08函数单调性、极值与最值的综合应用 25．已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 26．研究函数的单调性、极值和值域． 27．已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 28．已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 题型09利用导数证明不等式 29．已知函数．若，证明：当时，． 30．证明：，，. 31．求证：当时，． 32．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 题型10利用导数研究不等式恒成立问题 33．已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 34．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1． (1)求的表达式； (2)若恒成立，求a的值． 35．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 36．已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 题型11利用导数研究能成立问题 37．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 38．已知函数. (1)当时，记函数的图像在处的切线与坐标轴围成的图形的面积为，求的最小值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 39．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，使成立，求的取值范围． 40．已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 题型12利用导数研究函数的零点 41．当时，讨论函数的零点个数． 42．已知函数． (1)若，求单调区间与最值； (2)讨论导函数的零点个数情况； 43．给定函数 (1)判断函数的单调性，并求的极值. (2)若有两个解，求的取值范围. 44．已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 45．已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 题型13利用导数研究双变量问题 46．若，为函数的两个零点，且，求证：． 47．已知函数．若有两个零点，且，证明：． 48．已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 49．已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 50．已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 1．若函数，且恒成立，则实数 . 2．已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为 . 3．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 4．已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为 ． 5．已知函数对任意有成立，则k的最小值为 ． 6．已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 10．已知函数. (1)讨论的单调区间和极值. (2)若，不等式的解集为，求的取值范围. 11．已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 12．已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 13．已知函数． (1)若在处取得极值，求； (2)若当时，，求的取值范围． 14．已知函数． (1)若，求的单调区间． (2)若有两个不同的零点．求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $