5.3.3 最大值与最小值-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

5.3.3最大值与最小值 白题 基础过关 限时：45min 题组1函数最值的概念 7.(2025·湖南长沙长郡中学高二期末)已知函 1.可导函数在闭区间取得最大值必在( A.极值点 B.导数为0的点 数x)=了+a2-3x(a∈R)在x=-3处取 C.极值点或区间端点D.区间端点 得极值， 2.已知函数y=f(x)定义域为(-1,2)，且在该区 (1)求实数a的值； 间上连续，在(-1,2)上函数y=f(x)有唯一的 (2)求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值 极大值(1)，则下列说法正确的是( A.函数f(x)有最大值f(1) B.函数f(x)有最大值，但不一定是f1) C.函数f(x)的最小值也可能是f(1) D.函数f代x)不一定有最大值 题组2利用导数求函数的最大（小）值 3.函数f(x)=2x+sinx在区间[0，π]上的 A.最小值为0，最大值为π+1 B.最小值为0，最大值为2π 题组3已知函数的最大（小）值求参数 C.最小值为π+1，最大值为2π 8.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数)， D.最小值为0，最大值为2 在区间[-2,2]上有最大值20，那么此函数在 4.已知函数f(x)=x2+alnx的图象在x=1处的 区间[-2,2]上的最小值为 () 切线经过坐标原点，则f(x)的最小值为 A.-37 B.-7 ( C.-5 D.-11 11 1+in 2 1 A. 22h2 B. 4 9.已知函数f(x)=mlnx+的最小值为-m, 11. 222 则m= C. D.1 1 5. (2025·江苏连云港高二期末)已知奇函数 A.e B.1 e 0 C.e D.e2 f(x)= 则函数h(x)的最小值为 10.（多选)已知函数f(x)=ax4-4ax3+b,x∈[1， h(x),x<0, 4]f(x)的最大值为3，最小值为-6，则a+b 的值可能为 () A.1-e B.1+e 19 10 C.e-1 D.-1-e A. B.- 3 6.(2025·湖南邵阳高二期末)函数f(x)=xe 10 C. 的最小值为 3 D.19 3 选择性必修第一册·SJ黑白题120 L若函数)-在区间片…]上的最小值 16.(2025·江苏南京高二期末)在8cm×5cm 的长方形铁片的四角切去边长相等的小正 为2e,则a的取值范围是 方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成 12.若函数f(x)=(x-a)·√x在区间[1,9]上的 一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大 最小值为g,则a的值为 值为 cm3. 13.（2025·安徽六安高二期末)已知函数 f(x)=x35是 (1)若f(x)在区间[0,4]上单调递增，求实 重难聚焦 数a的取值范围； 题组5 函数最值的综合应用 2 (2)若f代x)在区间[0,4]上的最小值为-了， 17.若存在xe[日e],使得不等式2n+ 求实数a的值， x2-mx+3≥0成立，则实数m的最大值为 A.1+3e-2 3 B.e++2 e C.4 18.(2025·江苏泰州高二 知函数f(x)=-e-1+x+ 任意x∈[e,+∞)，f(x 数入的取值范围为 19.（2025·江苏南京高二期末)已知函数 f(x)=lnx-ax,a∈R. (1)讨论y=f(x)的单调性； 题组4导数在解决实际问题中的应用 (2)当a>0时，求证f()s1-) 14.一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v 的关系为w(u)= 1000 -(18≤v≤30)，要使 m-8 燃料费最低，则u= ( A.18 B.20 C.25 D.30 15.（2025·山西太原高二期末)已知某商品成 本C与销量g的函数解析式为C=100+2q, 单价p与销量g的函数解析式为p=100 6,则当利润最大时，9 第5章黑白题121 黑题 应用提优 限时：60min 已知函数fx)=2sinx+sin2x,xe[0,7],则 7.函数x)=22-inx,若x)在(0，)上有 f(x)的最大值为 最小值，则实数a的取值范围是 ( 33 A.(0,+∞) B.(0,1) A.2 B. 2 C.(-∞，0) D.(-1,0) C.√2+1 D.3 8.(2025·重庆九龙坡区高三月考)“曲线y=e 1 恒在直线y=x+b的上方”的一个充分不必要 2.(2025·重庆南开中学高二期末)若函数 条件是 （) f(x)=x3+x2-ax+b在x=-1处取得极大值0， A.b<1 B.1<b<e 则f(x)在[-1,3]的值域为 ( C.-e<b<0 D.b>e A.[-2,1] B.[0,32] 0-期 9.（多选)已知函数f(x)= () 品 A.当0<x<1时，f(x)<1 3.直线y=m分别与直线y=x、曲线y=4x-lnx B.当0<x<1时，f(x)>1 C.当x>1时，f(x)<1 交于点A,B,则1ABI的最小值为 D.当x>1时，f(x)>1 A. B.1+ln 3 10.（2025·广东深圳高二期末)已知函数 C.1+In 3 logax D.2+ln 3 f(x)= 2 (a>0且a≠1)存在最小值 4.已知函数y=(x+a)e的最小值为-1，则实数 M(a),当a变化时，M(a)有 () A.最大值 a= B.最小值 A.-1 B.0 C.1 D.2 C.既有最大值，又有最小值 5.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时， D.以上说法都不正确 x)=血ar(o>2),当xe(-2,0)时 11. 已知泳池深度为2m,其容积为2500m3,如 的最小值为1，则a的值等于 果池底每平方米的维修费用为150元.设入 水处的较短池壁长度为xm,且据估计较短 A. 4 B.1 3 的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例 C.2 D.1 系数为252(k>0),较长的池壁总维修费用满 6.(2025·湖南长沙一中高二期末)已知某正三 定代数式20 ,则当泳池的总维修费用最 棱柱的外接球的表面积为8π，则该正三棱柱 低时x的值为 的体积的最大值为 ( 12. 已知函数f(x)=x3-3x+a(a≠0)，且y=f(x) A.42 B.32 在区间(-3，m)上的最大值为3，无最小值， C.22 D.√2 则a·m的取值范围是 选择性必修第一册·SJ黑白题122 13.(2025·江苏盐城高二期末)已知a∈R,设16.(2025·安徽阜阳高二期末)已知函数 2-(3a-3)x+1,<1若关于x 函数f(x)=x-anx,≥1， R(x)=xln x-a(x-1)2-x+1,aeR. 的不等式f(x)≥f(2a-1)在R上恒成立，则 (1)证明：直线y=0与曲线y=f代(x)相切； a= (2)若函数f(x)在(1，+0)上存在最大值， 14.(2025·浙江丽水高二期末)已知函数 求a的取值范围. f(x)=x2+(1-2a)x-alnx(aER). (1)当a=1时，求函数f(x)的单调递减 区间； (2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 压轴挑战∥ (2025·江苏常州高三月考)已知函数 f(x)=e*taxe (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切 15.(2025·江苏连云港高二期末)已知函数 线方程； f(x)=(m-x)e,m∈R. (2)若a≥2，x≥1，求证：f(x)>3cosx; (1)若m=2,求f(x)在区间[-2,2]上的最 (3)当a≥4时，令g(x)=e[号+1-之)]，曲 大值和最小值； (2)设g(x)=f(x),求证：g(x)恰有2个极 线y=g(x)的图象在x=m,x=n(m<n)处切 值点； 线的斜率相同，记g(m)+g(n)的最小值 为h(a),求h(a)的最小值. (3)若Hxe[-3,2],不等式ke≥x+2恒成 立，求k的最小值. 进阶突破拔高练P16 第5章黑白题1239 压轴挑战 解：(1)当a=0时，f(x)=(x+1)ln(x+1)-x+1,则f'(x)=ln(x+1)+1 1=ln(x+1),由f'(x)=ln(x+1)>0,可得x>0,由f'(x)=ln(x+1)<0,可 得-1<x<0,因此f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为 (-1,0) (2)f'(x)=ln(x+1)-2ae+2a,注意到f'(0)=0,记g(x)=f'(x),则 g'()+12e-1-2ae(tD x+1 ①当a≤0时，g'(x)≥0恒成立，g(x)在(-1，+∞)上单调递增，即f(x) 在(-1，+∞)上单调递增，又f(0)=0,所以f(x)在(-1,0)上单调递减， 在(0，+∞)上单调递增，此时0为f代x)的极小值点，舍去； ②当a>0时，记h(x)=1-2ae*(x+1),则h'(x)=-2ae*(x+2)<0,所以 h(x)单调递减. I.若(0)=1-2a=0,即a=2,所以当x∈(-1,0)时，h(x)>0,即 g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(0，x1)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x) 单调递减， 所以g(x)≤g(0)=0,即f'(x)≤0，故f(x)在(-1，+∞)上单调递减，此 时f八x)没有极值点，与题意矛盾，舍去； Ⅱ若4(0=1-2a>0,即0a<2则h>0a(2）-1-2a 云（云小-六0放存在e(0,h云）位帮 1 0,所以当x∈(0，x1)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增，即f'(x) 单调递增，当x∈(x1,+∞)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减，即 ∫'(x)单调递减， 又f(0)=0,所以当x∈(-1,0)时，f"(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0， x1)时，f'(x)>0,(x)单调递增，此时0为f(x)的极小值点，与题意矛 盾，舍去； Ⅲ.若A(0)=1-2a<0,即a>2,又h(-1)=1>0,故存在∈(-1,0)， 使得h(x2)=0,所以当xe(-1,x2)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调 递增，即f(x)单调递增，当xe(2,+o)时，h(x)<0,即g(x)<0,g(x) 单调递减，即(x)单调递减， 又f'(0)=0,所以当x∈(x2,0)时，∫'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈ (0,+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，此时0为f(x)的极大值点，符合 题意 综上所述，满足条件的实数a的取值范围为（合，+m） 5.3.3最大值与最小值 白题基础过关 1.C解析：函数在闭区间上的最值有可能在闭区间的端点处取，有可 能在函数的极值点处取，而导函数为0的点不一定是极值点，例如 y=x3.故选C. 2.D解析：函数y=f代x)定义域为(-1,2)，是开区间，则当x趋近于-1 或2时，若f代x)趋于正无穷大，此时函数f(x)没有最大值，故AB错 误，D正确； 因为函数y=f(x)有唯一的极大值f(1),所以在x=1附近，函数值小 于f(1),所以函数f(x)的最小值不可能是f(1),故C错误 故选D. 3.B解析：f'(x)=2+cosx>0,所以f代x)在区间[0，π]上单调递增，因 此f八x)的最小值为f(0)=0,最大值为f代π)=2π.故选B. 4.C解析：函数f(x)=x2+alnx,则f1)=12+aln1=1,且f'(x)=2x+ 4,所以r(1)=2+a,所以f(1)=)0=1=2+,解得a=-1,所 1-0 以)=-h(0)f)=2x,令f(到≥0，即2x1≥0， 解得≥经，令了(e)<0,即20，解得0c<号所以函数在区 √2 同(6，号)上单调递流，在区同[臣+一）上单酒透城，所以 参考答案 fw停)-（停}广-h号名b咨名+宁h2数 选C. 5.C解析：由<0可知-0，所以《-)=1+二又因为)是奇函 数，所以-)=f)1+,即可得<0时)=-1，即 h(x)=-1-e,x<0,则h'(x)=*+1)e】 ,令h()=0可得x=-1, 所以当x∈(-∞，-1)时，h'(x)<0,即h(x)在(-∞，-1)上单调递 减，当x∈（-1,0)时，h'(x)>0,即h(x)在(-1,0)上单调递增，即 h()在=-1处取得极小值，也是最小值，(-1)=-1-eD -1se-1. 故选C. 6.。解折：)的定义坡为R,f(=6+o=(x+1)e,当 xe(-o,-1)时f'(x)<0,当x∈(-1，+∞)时，f'(x)>0,∴f(x)在 (-,-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，.f(x)min= 八-1)=e1=1故答案为 e e .解：(1)函数到=子2+ar2-3,求导得r(e)=42x-3,由) 在x=-3处取得极值，得f'(-3)=0,即9-6a-3=0,解得a=1,此时 f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1),当x<-3时，f'(x)>0,当-3<x<1 时f'(x)<0,即函数f(x)在x=-3处取得极值，所以a=1. (2)由(1)知)=号+2-3()=(x+3)(x-0,e[-3,3], 当-3<x<1时，f'(x)<0:当1<x≤3时，f'(x)>0,函数f(x)在[-3,1] 上单调递减，在[1,3]上单调递增f(-3)=f(3)=9,所以函数f(x) 在区间[-3,3]上的最大值为9 8.B解析：由题意，函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,xe[-2,2],可得 f'(x)=-3x2+6x+9,令f'(x)=0,即-3x2+6x+9=0,解得x=-1或3 (舍去).当-2<x<-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当-1<x<2时， f'(x)>0,f代x)单调递增，所以当x=-1时取最小值，而f(2)=22+a> f(-2)=2+a,即最大值为22+a=20,所以a=-2,所以此函数在区间 [-2,2]上的最小值为f代-1)=-5-2=-7.故选B. 9D解折迪归咖利(e)?子-，当m≤0时。 X 则f(x)<0,函数f代x)在(0，+∞)上为减函数，函数无最小值，不符 合题意；当m>0时，当0<x<1时，f(x)<0,函数f(x)单调递减，当 m 时(x)>0,函数fx)单调递增，=上时，函数f代)有最小 m m 值mh十+m=-m,解得m=e2故选D 10.AC解析：由题意可得∫'(x)=4ax2(x-3),1≤x≤4，当a=0时，则 f(x)=b,显然不符合题意，舍去；当a>0时，令'(x)>0,则3<x≤4， ∫'(x)<0,则1≤x<3,故f八x)在[1,3)上单调递减，在(3,4]上单调 递增，且f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,即f(1)<f4),故 {化-6解得3则a+6=号：当<0时，令f(到>0，则 b=3, (b=3, 1≤x<3,令∫'(x)<0,则3<x≤4，故f(x)在(3,4]上单调递减， 在[1,3)上单调递增，且f3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,即 09这收学 b=-6, a69或号枚选AC 1.[分n）解析：由九)：安得r()=产②，所以函数 x2 九)在（子，2）上单调递诚，在（合，+）上单调递增，且 黑白题087 是[分+）放答案为[+） 12冬解标：由题可知)=(x-o）·店在区间[1,9]上的最小值 为日，设G=te[1,3],则x=已，则原题转化为函数g0)=(- a）在区间[1,3]上的最小值为名，则g()=32-a,当a≤0 时，g'(t)=32-a≥0恒成立，则g(t)在区间[1,3]上单调递增，则 g1)=日解得a=日（合去）：当e>0时，令g(e)=3-a=0,解 得=√日或=√月（会去）者，√日≤1，即0a≤3时，8g0 在区间1,3]上单调递增，则g)=令，解得a=冬，符合题意；者 √号≥3，即a≥27时，8()在区间1,3]上单调道减，则8(3)- 日解得a织（合去）若1k,√写<3，即30<27时，g0在区 间[√写]上单调递减，在区间[√后，3]小上单调递指，则 :(√日)g无正数解综上所述，a的值为？故答案为 13解：①)由题意雨数f)的定义城为[0，+))=了号- 三a）,因为八)在区间[0,41上单调递地，所以 f'(x)≥0在[0,4]上恒成立，只需a≤xmn=0,即实数a的取值范围 是(-0,0]. (2)令f"(x)=0,得x=0或x=a,①当a≤0时，f'(x)≥0恒成立， )在[0,41上单润透增，所以W()=0)=0≠-子，不符合题 意，舍去； ②当0<a<4时，x∈[0，a),f'(x)≤0；x∈[a,4],f'(x)≥0，所以 f(x)在[0，a)上单调递减，在[a,4]上单调递增，所以f(x)min= o=子=子解得a=1: ③当a≥4时，f'(x)≤0恒成立，f(x)在[0,4]上单调递减，所以 f(=4)=32。号解得a=84,含去：综上所述， a=1. 14.A解折：m(e)=200(-8)-100_100(-16),当18≤ (v-8)2 (v-8)2 u≤30时，0'()>0，所以o()在[18,30]上单调递增，所以当v=18 时，w()取得最小值.故选A. 15.14解折：设利篇为y,则y=四-0=(10石）-(10+2) 1 69+98g-10.因为y=292+98,令y=0,解得g=14,负值舍 去，所以当0<q<14时，y>0,函数单调递增，当q>14时，y'<0,函数 单调递减.故当g=14时，利润取得极大值，也是最大值.故利润最大 时，9=14.故答案为14. 16.18解析：设小正方形的边长为xcm,依题意，箱子容积V(x)= (8-2x>0, (8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x,由{5-2x>0,解得0<x<2.5,所 (x>0, 以V(x)的定义域为(0,2.5).则V'(x)=12x2-52x+40=4(3x- 10)(x-1),所以在区间(0,1)上，V"(x)>0,V(x)单调递增，在区间 (1,2.5)上，(x)<0,V(x)单调递减，所以当x=1时，V(x)取到最 大值，且最大值为V(1)=18cm3.故答案为18. 选择性必修第一册·SJ 重难聚焦 17.A解析：由存在x [日小，使得不等式2咖r-t9z0收 立，得m≤2nx+3在e[ 3 则y.,做e[日时，了≤0，此时函数单测送 x2 减，xe(1,e]时，y>0,此时函数单调递增，故当=时，y=3+ 2.当=e时，=2e+x(3e+-2-(2+et2）-2e e 42>0,放函数y=2hnx+r+3的最大值是3和+】-2，即m≤30+ e -2故选A e 18.厂-e2+2+1,+m）解析：根据题意，)=-e1+x+2,因为 e x≥e,所以由-e1+2≤恒成立，即A≥e+2+1恒成立， xx 设8()=-+21(x≥0，则g-0e x2 2s 。(1-)-2<0在[e,+)上恒成立，所以函数g(x)在[e,+0)上 x2 单用孩所以g国6o-子1所以43子 1,即实数入的取值范围是[-e2+2+1,+0 .故答案为 e [-e24+1,*m） 19.(1)解：函数fx)=血x-ax中，x>0,求导得f'(x)=1 -a,当a≤0 时()>0到在0，+a)上单调通增：当a>0时，e(0,）】 时(>0，xe(日+m时()<0,函数)在(0，)上 单调递增，在 日，+）上单调递减，所以当a≤0时，函数) 在(0，+)上单洞递增；当0>0时，函数)在(0，。）上单调选 增，在（日，+）上单润递减 (2)证明：由(1)知，当e>0时，/(=（合）=h1,设 g(x)=n-+1,0,求导得g()=1-1,当0<<1时，g()>0, 当x>1时，g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在 (1,+∞）上单调递减，g(x)≤g(1)=0,因此nx-x+1≤0台lnx≤ x-1snx-1≤x-2,则n人-1≤】-2，所以fx)≤-2 a a 黑题应用提优 1.B解析：f'(x)=2c0sx+2cos2x=2(2c0s2x+c0sx-1)=2(cosx+ D(2s-0,由于e[0,受]则am≥0，令r(e)0,即es 解得0x<T、 1 f()0,即c宁解得g<号，因此到) 1 在(0，号)上单调递增，在（行）上单调递减，故r() 2.C解析：因为函数f(x)=x3+x2-ax+b在x=-1处取得极大值0，所 以f(x)=3x2+2x-a,即(-1)=3x(-1)2-2-a=0, V(-1)=(-1)3+(-1)2+a+6=0→ 黑白题088 =1,所以f(x)=2+2-x-1,f(x)=3x2+2x-1,令f'(x)归 b=-1. 3x2+2x-1=0,解得x1=-1或x2=3,当x变化时，f(x),f”(x)在 [-1,3]的变化情况如表所示， 1 1 x 1,3 3 f'(x) 0 0 + f八x) 0 极小值 32 27 32 根据上表可知，f代x)在[-1,3]上的值域为 [器，2]故选c 四方法总结 求函数f代x)在闭区间[a,b]上的最值或值域的方法： ①求出f(x)在区间(a,b)上的极值（若极值存在）； ②比较极值与端点值f代a)(b)的大小关系，其中最大的为最大值， 最小的为最小值 3.B解析：由题意可知，直线y=m与直线y=x的交点A(m,m),直线 y=m与曲线y=4x-lnx交点B(xo,m),满足m=4x0-lnx(xo>0), ABI=Io-ml=I%o-(4xo-In o)I=IIn o-3x01=13x-In %1, 设)=3-h,o0,则斯(e到=3，由r(到>0，得写( 0,得0e<所以)在(0，写）小上单调递谈，在（行+m)上 单测适增，则)（兮）3x写h号=1+恤3，即18=1# ln3.故选B 4.A解析：y'=(x+a+1)e,当xe(-o,-a-1)时，y'<0,函数单调递 减，当x∈(-a-1,+∞)时，y'>0,函数单调递增.故当x=-a-1时函数 取得极小值，也是最小值-ea-1.故-ea-1=-1,所以a=-1.故选A 5.D解析：由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为-1.令f'(x)= =0,得女，当0。时(e>0:当时(0 1 ∴s到f(合)-ha-1=-1解得a=1放选D 6.C解析：设外接球的半径为R,则4rR2=8π，解得R=√2.设正三棱 柱的底面三角形的边长为x,则该三角形的外接圆的半径为，，故 鞋的离为2-（信厂2写所以三的件 3 积V(x)= 3,由24 4x2×2入23=2·√/24￥6 3>0,解得 0cc6,令到=2-号，则斯r(=-22(-2)(+2)函数到 在(0,2)上单调递增，在(2,6)上单调递减，所以函数f(x)在x=2 时取得最大值，因为V(x)m=V(2)=22,所以该正三棱柱的体积 的最大值为22.故选C. 7.A解析：由题意，函数x)=号2-sinx,可得∫(x)=a-cs,若 a<0,当xe(0,受)时，可得∫(x)<0✉)在(0，号)上单递 减，此时数)在(0,7）上没有最小值，不符合题意，若a>0, 令f'(x)=0,即ax-cosx=0,即y=aax与y=cosx的交点，画出函数 y=ax与y=cosx的图象，如图所示，结合图象，可得存在x∈ (0,受）使得r(o)=0,当后(0，)时()<0)单调递 设，当xe(,受)时"()>0)单调递增，此时函数)在 参考答案 (0,受）上有最小值，符合题意综上可得，实数a的取值范图是 (0,+∞).故选A. =dx =cOS x 四重难点拨 (1)当函数f(x)在开区间(a,b)上存在最小值时需要满足： ①f(x)存在极小值； ②f(x)的极小值中的最小值满足小于或等于端点值f(a)和f(b) (2)当函数f八x)在开区间(a,b)上存在最大值时需要满足： ①fx)存在极大值； ②f(x)的极大值中的最小值满足大于或等于端点值f(a)和f(b). 8.C解析：由曲线y=e*恒在直线y=x+b上方，可得e*>x+b,设 fx)=e-x-b,则f(x)>0恒成立，因为f(x)=e-1,所以f"(x)在R 上单调递增，且当x=0时f'(x)=0,故当xe(-∞，0)时，f'(x)<0, f(x)单调递减，当xe(0,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以当 x=0时f(x)取得极小值即最小值f0)=e°-0-b=1-b,令1-b>0,得 b<1.所以“曲线y=e*恒在直线y=x+b的上方”的充要条件是b<1, 故A错误：对B:1<b<e是b<1的既不充分也不必要条件，故B错误； 对C:由-e<b<0可推出b<1,但反之不成立，故C正确；对D:b>e是 b<1的既不充分也不必要条件，故D错误：故选C. 9.BC解析：由题意得-1血+1，令函数g(x)=1n-+1,则 x-1 g()=1当xe(0,1)时，g(x)>0,g()单调递增；当xe (1,+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，故g(x)m=g(1)=0,即g )≤0，当x=1时取等号，故当0<x<1时，加0，即)>1： 当1时，血+1<0，即f代)<1.故选BC x-1 A解析f)=呢-na,定义拔为(0，+0，切归 lna·xa-l-a…lna·x-1,lnx_1-alnx (lna·xa)2 na…,令f()=0,得x=e, 因为a>0,所以当xe(0,ea)时，1-alnx>0,当xe(ea,+o)时， 1-alnx<0.当a>1时，lna>0,故当x∈(0，ea)时，f'(x)>0,f(x)在 (0,ea)上单调递增，当xE(ea,+o)时，f'(x)<0,f(x)在 (ea,+0)上单调递减，此时f(x)不存在最小值，所以0<a<1.当0< a<1时，na<0,故当xe(0,ea)时，f'(x)<0,fx)在(0，ea)上单 调递减，当xe(ea,+o)时f'(x)>0,f(x)在(ea,+o)上单调递 增x)在x=e处取得最小值，即M(a)=代e)=l血ei 1 na·(ea)a ro-令wo-0海 a=,当ae(0,）时，Mr(e)>0,M(o)在(o,)上单调递 增，当ae(日1)时，w(o)<0,M(e)在（日，1）上单调道波， 所以M。)在。=。处取得最大值，最大值为M(日） e 1.Ine =-1,无最小值故选A. 1 e· e .25解析：由题意知，池底面积为25001250(m2),则池底维修费 用为1250x150=18750(元).x表示较短池壁长，0<r<2500, 2x 黑白题089 解得0<x<25,2,池壁的总维修费用解析式为x)=2x 25+ 2500k=8x+2500k（0<x<252),÷r'(x)=8张-50004 25 x3 8%x-12500t,令f(x)=0,解得x=25当xe(0,25)时f'(x)< 25x3 0,当x∈(25,252)时，f'(x)>0,∴.f(x)在(0,25)上单调递减，在 (25,25√2)上单调递增，∴，当x=25时，f(x)取得最小值，即此时泳 池的总维修费用最低.故答案为25. 12.（-1,2]解析：由题意知，f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f'(x)<0曰-1<x<1,f'(x)>0→x<-1或x>1,所以函数f(x)在(-1， 1)上单调递减，在(-0，-1)，(1，+∞)上单调递增，则f(x)的极大 值为f(-1)=2+a,极小值为f(1)=a-2,且f(-3)=a-18,又f代x)在 (-3,m)上的最大值为3，无最小值，所以f代-1)=2+a=3,解得a= 1,所以f代x)=x3-3x+1,令x3-3x+1=3,解得x=-1或x=2,所以 -1<m≤2，所以am∈(-1,2].故答案为(-1,2]. 13.±1解析：由f(x)≥f代2a-1)在R上恒成立，即f(x)在x=2a-1上 取得最小值，对于y=x2-3(a-1)x+1,图象开口向上且对称轴为直 (a-1),若2a-1<1,即a<1时，=号(a-1)<0,在 线x3 3 -e,2(a-1)上y=x2-3(a-1)x+1单调递减，在 (3（a-0.1)上y=-3a-1+1单调递增，此时(a-)=2a 1,故a=-1,则最小值f(2a-1)=f(-3)=-8,而y=x+lnx在 [1,+o0)上单调递增，故y=x+lnx≥1+ln1=1>-8,所以a=-1满足 题设；若2a-1=1,即a=1时，在(-0,1)上y=x2+1≥1，在 [山，+0)上y=x-1n,则y=1-≥0，即y=x-1nx单调递增，所以 y=x-nx=1-n1≥1，所以a=1满足题设；若2a-1>1,即a>1时， 代)最小值在y=x-anx上取得，由于y=1-。=,在[1，a)上 y'<0,即y=x-alnx单调递减，在[a,+∞)上y'>0,即y=x-alnx单 调递增，所以f(x)最小值在x=a处取得，此时2a-1=a→a=1,与前 提矛盾；综上，a=±1.故答案为±1. 14.解：(1)当a=1时，J(x)=x2-x-lnx,该函数的定义域为(0，+∞)， /()=2x-11-2x+1)(x-,由(<0得0<<1，所以函 数f(x)的单调递减区间为(0,1). (2/(x=2x+(1-2a）-&_221-2a）)x-a.（2x+1）(x-a）,其 中1≤x≤2，当a≤1时，对任意的x∈[1,2]，f'(x)≥0，f(x)在 [1,2]上单调递增，此时/(x)min=f(1)=2-2a;当a≥2时，对任意 的x∈[1,2]，f'(x)≤0，f(x)在[1,2]上单调递减，此时f(x)min= f(2)=4+2(1-2a)-aln2=6-4a-aln2;当1<a<2时，令f'(x)=0, 可得x=a,列表如下： [1,a a (a,2] f'(x) 0 米 f(x) 极小值 所以函数f(x)在[1，a)上单调递减，在(a,2]上单调递增，此时， f(x)min=a2+a(1-2a)-aln a=a-a2-alna. 2-2a,a≤1， 综上所述f(x)mi={a-a2-alna,l<a<2, 6-4a-aln2,a≥2. 15.(1)解：由函数f(x)=(2-x)e*,可得f'(x)=（1-x)e,令f'(x)=0, 可得x=1,则x,f'(x),(x)的关系如下表： -2 (-2,1) 1 (1,2) 2 f'(x) + 0 f)-2)=己 极大值f(1)=e f(2)=0 综上可得，函数f(x)mr=f1)=ef(x)min=f(2)=0. (2)证明：由函数g(x)=f(x)=(mx-x2)e,可得g(x)=(mx 选择性必修第一册·SJ x2+m-2x)e*=-[x2-(m-2)x-m]e2,因为△=(m-2)2+4m=m2+4> 0,所以方程x2-(m-2)x-m=0有两个不同的实数根，设为x1,x2 且1<2，则列表如下： x (-0,x1) (x1,x2) 光2 (x2,+0) g'(x) 0 + 0 g(x) 极小值 极大值 综上可得，函数g(x)恰有2个极值点， (3)解：因为e>0,所以Vx[-3,2],不等式≥+2恒成立，设 e h(x)=+ ,可得h'()=e-(+2)e-- ,x,h'(x),h(x)的关系 如下表： x (-3,-1) -1 (-1,2) 2 h'(x) + 0 h(-3)= 极大值 4 h(x) h(2)= -e3 h(-1)=e e2 -3)=-e3,a(-1)=c,A(2)=4所以6≥A倒m=6(-1)= 所以实数k的最小值为e. 16.(1)证明：由题意f'(x)=1+lnx-a(x-1)-1=lnx-a(x-1),所以 f'(1)=n1-a(1-1)=0. 又因为f(1)=0,所以曲线y=f代x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y=0,所以直线y=0与曲线y=f(x)相切. (2)解：由(1)得f'(x)=nx-a(x-1),x>1,令g(x)=f'(x),则 1 g(x)=a. ①当a≤0时，g'(x)>0,g(x)在(1，+0)上单调递增，所以g(x)> g(1)=0,所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，无最大值，不符合 题意； ②当a≥1时，g'(x)= -a<1-a≤0，g(x)在(1，+o)上单调递减， 所以g(x)<g(1)=0,所以fx)在(1，+∞)上单调递减，无最大值， 不符合题意； ③当0<a<1时，由g(x)=-a=0,可得x=上>1，当xe (,)）时，6()>0,8()在(，。)上单调道增，当xe (日+)时0在（日 上单调递减， 因为=0,所以s(日)>0，即r(日）0 又r(日）=-2加a-日a,令a(a)=-2ha+,则k(a) a2-2a+1(a-1)2 >0,所以h'(a)>0,h(a)单调递增 a 因为h(1)=0,所以h(a)<0,即f' 1 <0,所以存在xo∈ (合是)度得r=0,当e1,6)时了到>0，当：e (x0,+∞)时，∫'(x)<0,所以f(x)在(1,0)上单调递增，在 (x0,+∞)上单调递减，f(x)在(1，+∞)上存在最大值f(x0),符合 题意综上，a的取值范围为(0,1). 压轴挑战 (1)解：当a=1时，f(x)=e+xe*,f(0)=1,f'(x)=e+e*-xe, f(0)=2,∴y=fx)在x=0处的切线方程为y=2x+1. (2)证明：当a≥2，x≥1时，f八x)=e*+axe≥e*+2xe， 令h(x)=c+2e,则'(x)=c+(2-2x)e*=（c)2+(2-2) e 令p(x)=e-x-1,则p'(x)=e-1,当x>0时，p'(x)>0,p(x)单调递 增，当x<0时，p'(x)<0,p(x)单调递减，∴.p(x)≥p(0)=0,即e≥x+ 黑白题090 1,又x≥1，所以(e)2≥(x+1)2即(e)2-2x≥x2+1>0,.(e*)2+ (2-2x)>2,即h'(x)>0,∴.h(x)=e+2xe*在[1，+∞)上单调递增， ∴)≥A()≥A(1)=e+2>3≥3cs 1e- a h>0,当e(-,0)u(h号，+)时，g()<0,当xe (0,h号）时g)>0,故g()在(-.0)和(n受+m)上单调 递减，在(0，血？)上单调递增。 由题意g(m)g(a)得-e产+(+1）e-=-e2+(受+1)。 Ξ即2产-e2+(2+1）e-e)=0,即-(e+e)e-e)+(经 1(em-e)=0,又m≠n,em+e=g+1,g(m)+g(n)= 2 (经+1)）en-受(m*n) ）月 由e+e=2+1≥2。e,又m<n,则0<em"< i记=emne 则o=g(m*a)(+1）+ 2ht,P'()=1-,当e（0,)时，F(e)<0,F(e)单调递减，当 t sn 时，F'(t)>0,F(t)单调递增， a≥4时，h'(a)= .h(a)单调递增，则h(a)min=h(4) 13-21n2 专题探究08 含参函数单调性分类讨论 黑题 专题强化 1.解：(1)当a=0时fx)=,x (x+1)2x头-1)，则0)=0，因为r() 所以r(0)=1,所以尚线y=)在(00)处的切线方程 为y=x (2)函数的定义域为(-0，-1)U(-1,+如)片(x)=-[-(2a+1)] (x+1)3 令f'(x)=0,解得x=2a+1. 当1即1时-0所以通数 1 f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(-1，+∞)，无单调递增区间； 当2a+1<-1,即a<-1时，令f'(x)<0,则x∈(-o,2a+1)U (-1,+o),令f'(x)>0,则x∈(2a+1,-1),函数f(x)的单调递减区 间为(-∞，2a+1),(-1,+∞)，单调递增区间为(2a+1,-1); 当2a+1>-1,即a>-1时，令f'(x)<0,则xe(-∞，-1)U (2a+1,+∞)，令f'(x)>0,则xe(-1,2a+1),函数f(x)的单调递减 区间为(-∞，-1)，(2a+1,+∞)，单调递增区间为(-1,2a+1). 综上所述，当a=-1时，函数f(x)的单调递诚区间为(-∞，-1)， (-1,+∞)，无单调递增区间； 参考答案 当a<-1时，函数f代x)的单调递减区间为(-∞，2a+1),(-1,+), 单调递增区间为(2a+1,-1): 当a>-1时，函数fx)的单调递减区间为(-∞，-1)，(2a+1,+∞)， 单调递增区间为(-1,2a+1). 2.解：(1)函数f(x)=x2+aln(x+1)的定义域为{xlx>-1},求导得 了()=2x+1=2+2x+0,令f1()=0,可得22+2x+a=0,因为函 x+1 数f代x)有两个不同的极值点，所以2x2+2x+a=0有两个大于-1的不 2 2X2>-1, 等实根，所 2X(-1)2+2x-1)+a>0.解得0a<号所以a的取值 4=22-4×2a>0, 范围为0,）】 (2)g(x)=f(x)- （2+2)=2+ala(x+1)-（?+2),求导得 （分+2）-径++2a0-4+1. 2(x+1) 4松2-ax+a-44+4-a(-1）,令g()=0,解得x=年-1或x=1, 2(x+1) 2(x+1) 当a>8时，-1>1，由g(x)<0,可得1<x<号-1，函数g(x)在 (1,41上单调递减， 当a=8时，：一1=1，由g(x)<0,可得x∈☑，函数g(x)无单调递减 区间， 当0<a<8时，-1<：-1<1，由g()<0,可得年-1x<1,函数g() 在（子1,1）上单调递波。 当a≤0时，年-1≤-1，由g(x)<0,可得-1<<1，函数g(x)在(-1， 1)上单调递减： 综上所述：当a>8时，函数g()在1,4-1上单调递减， 当a=8时，函数g(x)无单调递减区间， 当0a<8时，函数g()在(？1,1上单调递减， 当a≤0时，函数g(x)在(-1,1)上单调递减. 四方法总结 含参函数单调性的讨论一般包括： ①f'(x)=0在定义域内的解的个数； ②f'(x)=0在定义域内的解之间的大小关系 3解：(1当a=-0时到=之2+2-2)=+2-2h+1 -2如，则/(1)=1)=三所以✉)在点(1)处的切线方 程为y-1,整理得2-2+30，故)在点(11)处的切 线方程为2x-2y+3=0. (②易知r=2-2加x-(2x+a)=-2hxg,因为八)在 [1,+)上单调递增，所以f'(x)≥0在[1，+∞)上恒成立由x-2nx- a≥0在[1，+o)上恒成立，得a≤[x2-2xlnx]m,xe[L,+∞)，设 g(x)=x2-2xlnx,g'(x)=2x-2nx-2,x∈[1，+∞），令m(x)= 2h-)m(=2(1-）上0在1.+)上恒度立，所以 m(x)在[1，+o)上单调递增，m(x)≥m(1)=0,即g(x)≥0在 [1,+o)上恒成立，所以g(x)在[1，+∞)上单调递增，g(x)mim= g(1)=1,故a≤1，即ae(-0,1]. 黑白题091