精品解析：山东省青岛第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性练习数学试卷

青岛一中2025级阶段性练习（数学） 高二数学试题 2026.10 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 2. 已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 3. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 4. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 5. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理将边化角，再结合和差角公式可得到，根据锐角三角形列不等式组求得，再将所求式子利用三角恒等变换公式整理为正弦型函数，利用正弦型函数性质求取值范围即可. 【详解】，即：，，， 由正弦定理得：，即：， ，或，解得：或（舍）， 又为锐角三角形，则， ，解得. ， 又，，， ，即的取值范围. 6. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】将，看成两点间距离的平方，将问题转化成两圆上点的距离求解. 【详解】将， 设， 由，， 得点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以为圆心，为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则. 7. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 8. 已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由可得，进而可得点坐标及，进而可得点轨迹是过点且平行于的直线，从而可得圆上的点到直线的距离最小值减去圆的半径可得所求值. 【详解】因为是圆上的点，故，，故. 由，两边平方得： ，，. 设，，所以， 代入圆方程得 ，即的斜率， 由对称性，不妨设. 由得，故点轨迹是过点且平行于的直线， 直线的方程为：，整理为， 因为是圆上的动点，是直线上的动点，如图： 所以的最小值等于原点到直线的距离减去圆的半径， 由点到直线的距离公式得 因此. 二、多选题（本题共3个小题，每小题满分6分，共计18分．每个小题给出的选项中有多个选项符合题意，全对得6分，对但不全得部分分，选错或不答得0分） 9. 已知两条直线：：与：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】把方程按参数a整理成，联立不含a的方程组求出定点坐标，判断选项A；利用两直线平行的系数比例关系求出a，再排除两直线重合的情况，判断选项B；由方向向量得到斜率，解出a，再计算两条直线斜率乘积判断是否垂直，判断选项C；把化为斜截式，根据判断斜率与纵截距正负，确定直线经过的象限，判断选项D． 【详解】对于A，直线：，由得， 始终过定点，A正确； 对于B，由两直线平行的系数关系得，解得或， 当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然，而：， 则有， 此时：，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，：，因为，， 所以直线经过第一、二、三象限， 故始终不过第四象限，D正确． 10. 已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（ ） A. 的最小值为 B. 四边形的面积可能为 C. 直线的斜率存在 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，又圆心到直线的距离， 则，所以的最小值为，故A正确， 对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确， 对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即， 所以直线的方程为，又点在直线上运动， 当时，直线的斜率不存在，所以C错误， 对于D，由选项C知直线的方程为，且， 所以直线的方程为，即， 由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. 11. 已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. 最大度数为 B. 四边形面积的最小值为 C. 直线过定点 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线与圆的几何性质，将角度、面积、弦长问题转化为点到圆心的距离的最值问题，再结合切点弦方程，逐项进行判断即可求解. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相离，如图所示， 因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为， 设，则， 在中，， 要使最大，即最大，则取得最小值，即， 所以，因为为锐角，所以， 所以，即最大度数为，故A选项正确； 根据题意，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以当最小时，即取最小值，即取最小值， 所以，所以， 所以四边形的面积的最小值为， 故B选项错误； 设点，因为点在直线上动，所以，即， 圆展开为 根据切点弦方程公式，直线的方程为， 又，所以，即， 所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确； 根据直线与圆相切的性质，可得， 又，所以，垂足为，且为中点， 在中，利用等面积法可得， 所以， 所以， 当取得最小值时，取得最小值， 即时，，故D选项正确. 综上所述，选项ACD正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共计15分） 12. 若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，的方向向量是，此时直线倾斜角； 当时，，结合且， 当时，；当时，； 即，则， 综合可得直线的倾斜角的取值范围是. 13. 已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 14. 已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 四、解答题(本题共5个小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分) 15. 中，设角，，的对边分别为，，．已知：． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理求解； （2）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【小问1详解】 已知， 由正弦定理，得， 又由余弦定理，则， 因为，，所以， 又，故，从而. 【小问2详解】 由（1）知，故， 因为为锐角三角形，所以， 由边上的高为2，有， 于是三角形面积， 又， 所以， 当时，，故， 当时取到等号1，而不能取到. 因此. 所以面积的取值范围为. 16. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：三棱柱中，四边形为平行四边形， 由知，四边形为菱形． 连接，则，又且，平面， 平面， 平面，则． 又，即，而，平面， 平面，而平面， 平面平面． （2）在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，结合面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面上过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，． 设在线段上存在一点（异于点，），满足， 使平面与平面夹角的余弦值为，则， ， ． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 得， 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则， 故在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知x和y满足圆的标准方程．求： （1）的最值； （2）圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值和最小值分别为和 （2）最大值和最小值分别为， 【解析】 【分析】（1）将  视为圆上动点到原点的距离平方，利用圆心到原点的距离与半径的关系确定距离范围； （2）将三角形面积表示为底边 与点  到直线  的距离之积的一半，转化为求圆上动点到定直线距离的最值问题． 【小问1详解】 因为圆的圆心为,半径为, 而表示该圆上一点到原点的距离的平方, 因圆心到原点的距离, 圆上点到原点的距离的范围为：， 即， 所以， 因此， 所以的最小值为，最大值为． 【小问2详解】 已知、，则直线的方程为：， 且， 设点到直线的距离为，则的面积， 因此，面积的最值等价于求点到直线距离的最值， 圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的距离的范围为：， 即， 则，． 即的面积最小值为，最大值为． 18. 已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. （1）求曲线C 的方程； （2）若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设，又C是线段的中点，，即， 又点 A 在圆 上，，即， 故曲线C 的方程为. 【小问2详解】 因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为， 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在的直线不重合，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点的坐标为， 由题可知：，故， 又因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 19. 已知圆与圆关于直线对称. （1）求圆的标准方程. （2）将圆向上平移1个单位得到圆，过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点. （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值. （ⅱ）圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上.若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）7 ；（ⅱ）点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式及两直线垂直，斜率乘积为-1，求得圆心关于直线对称的圆心的坐标，从而得到圆的方程； （2）（ⅰ）求出圆的方程，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，表示出四边形的面积，再由函数性质求解面积的最大值；（ii）当直线的斜率不存在时，求出，求出直线的方程，求得点的坐标，当的斜率存在时，设其方程，并与圆方程联立消元，利用韦达定理得，求出直线的方程，表求出点的坐标，即可知其在定直线上. 【小问1详解】 由得. 所以圆的圆心为，半径为. 设，则，解得. 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知圆的方程为：， 所以圆的方程为：. 当直线的斜率不存在时，其方程为：. 则直线. 由，得. 所以，所以. 由，得，或. 所以，所以. 此时，四边形面积为. 当直线的斜率存在时，设其方程为：，即 则直线的斜率存在，其方程为：，即. 所以圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为. 所以，. 所以四边形面积. 当且仅当，即时，等号成立. 综上，四边形面积取得最大值，最大值为. （ⅱ）点在定直线上. 由题可知. 由（ⅰ）直线的斜率不存在时，， 所以直线的方程为； 直线的方程为. 由，得. 当直线的斜率存在时，设其方程为：， 由，得. 所以，. 所以直线的方程为：， 直线的方程为：. 由， 得 . 即. 综上，点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛一中2025级阶段性练习（数学） 高二数学试题 2026.10 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 4. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 7. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题满分6分，共计18分．每个小题给出的选项中有多个选项符合题意，全对得6分，对但不全得部分分，选错或不答得0分） 9. 已知两条直线：：与：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 10. 已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（ ） A. 的最小值为 B. 四边形的面积可能为 C. 直线的斜率存在 D. 直线过定点 11. 已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. 最大度数为 B. 四边形面积的最小值为 C. 直线过定点 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共计15分） 12. 若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 13. 已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 14. 已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 四、解答题(本题共5个小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分) 15. 中，设角，，的对边分别为，，．已知：． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 16. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 17. 已知x和y满足圆的标准方程．求： （1）的最值； （2）圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 18. 已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. （1）求曲线C 的方程； （2）若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 19. 已知圆与圆关于直线对称. （1）求圆的标准方程. （2）将圆向上平移1个单位得到圆，过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点. （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值. （ⅱ）圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上.若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $