精品解析：山东省临沂市沂水县第一中学年2026--2027学年高二上学期第一次诊断测试数学试题

沂水县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断测试 数学试题 考试范围：空间向量与立体几何+直线方程 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在以下命题中，正确的命题有（   ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 3. 若点，点是关于平面的对称点，则点与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如果且，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 8. 如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（ ） A. B. 0 C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 10. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则平面平面 C. 若，则平面所成锐二面角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 13. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 14. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 四､解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值： （2）设向量，求； （3）若，求的值. 16. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求的面积. 17. 如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. （1）若平面，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沂水县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断测试 数学试题 考试范围：空间向量与立体几何+直线方程 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 2. 在以下命题中，正确的命题有（   ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 3. 若点，点是关于平面的对称点，则点与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，因此它关于平面的对称点的坐标为， 由空间两点距离公式可得. 4. 如果且，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 因为，所以，因为，所以，即， 所以方程不经过第一象限. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 6. 已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点面距离，利用，结合几何体的特征，即可用等体积法求得点面距离. 【详解】解：设到平面的距离为. . ，. 所以. 由得. 故选：B. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 8. 如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解最小时的，进而利用向量计算即可求得结果. 【详解】因为平面平面，，， 且平面平面，平面， 故平面，又平面， 故，从而两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， ，，， ， ， 当时，最小，最小值为； 即当，为、中点时，最短， 则，， ，， ， 直线和夹角的余弦值是. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 10. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则平面平面 C. 若，则平面所成锐二面角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标规律与点的轨迹方程，再逐一验证各选项 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 13. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 14. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 四､解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值： （2）设向量，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数量积坐标运算计算； （2）由向量平行求出，由向量模的坐标运算计算； （3）由向量垂直的坐标运算计算. 【小问1详解】 因为，所以 所以； 【小问2详解】 ，因为，所以，， 所以，所以，所以， 所以，所以. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 即，解得. 16. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，根据高线过点及中线列式求解； （2）先求出交点，再应用两点间距离及点到直线距离计算面积即可. 【小问1详解】 设，则的中点， 则解得即. 故点的坐标为. 【小问2详解】 由边上的高线所在的直线方程为， 可设直线的方程为， 将代入可得，即，所以直线的方程为 因为为直线与的交点， 所以联立解得即. 则. 点到直线的距离为. 所以. 故的面积为20. 17. 如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为，，所以，． 在直三棱柱中，有底面侧面， 因为平面，平面平面， 所以平面． 在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得， 令，则，，则． 又．则，所以． 又平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，验证与该法向量垂直，且不在平面内，从而证明线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量夹角与二面角大小相等或互补的关系，计算其余弦值，再转化为正弦值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）可知，，． 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，则． 由（1）可知，平面的一个法向量是． 所以，． 所以，二面角的正弦值是． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. （1）若平面，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； 【答案】（1） （2）证明：不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. 内切球的表面积为. 【解析】 【分析】（1）利用两平面垂直则法向量数量积为 0，列式求出； （2）先用向量投影证明点到平面距离公式；是正八面体，内切球球心在原点，半径是原点到一个面的距离，算出半径后求球的表面积. 【小问1详解】 根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. 【小问2详解】 对于， 当时，表示经过，，的平面在第一卦限的部分. 由对称性可知表示这六个顶点形成的正八面体. 设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则.所以内切球的表面积为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $