山东省青岛第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性练习数学试卷

《膏岛一中2025级阶段性练习（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 8 9 10 答案 B 0 B 0 D AD ABD 题号 11 答案 ACD 1.B 51=2, 【详解】由点42,5)，点B(4,,所以直线AB的斜率为ka=2 由点斜式可得直线AB的方程为y-1=-2(x-4),整理得y=-2x+9 由于点P(m,)在线段AB上，故横坐标m的取值范围为2sms4,且n=-2m+9, 所以2m-n=2m-(-2m+9)=4m-9, 该式为关于m的一次函数，斜率4>0，在区间[2,4]上单调递增， 因此当m=2时，2m-n取得最小值，最小值为4×2-9=-1. 因此2m-n的最小值为-1. 2.D 3.A 【详解】设P(x,y),P=V+0+,Pl=V2+-3y, 已知PA21PB1,故x2+(y+=2[x2+0-3]， 整理得x2+(y-7)2=32,故P的轨迹是圆心为(0,7)，半径为r=4互的圆， h81=3-(6l)=4,8Ma=48-2x4x=24, |冈是P到y轴的距离，圆上K=4W2,故S=2Hm=8V2. 4.B 【详解】圆C的方程为(x-3)}+(y+4)2=1,圆心C(3,-4),半径r=1, 原点O(0,0)关于直线x+y+4=0的对称点为0，设O'(a,b), +4=0 则： ,解得a=b=-4,所以0(-4,4)，由对称性，Po=P0,所以P2+P0=|Pg+P012Q01, 8-（e- 当P为线OO与直线x+y+4=0的交点时取等号， 所以问题转化为求圆C上的动点2到定点O(4,-4)距离的最小值， 因为圆心C(3,-4)到0'(4,4)的距离为C0=7,所以圆上点到0的最小距离为C0-r=7-1=6. 所以P2+PO的最小值为6， 答案第1页（共12页） 扫描全能王创建 5.B 【详解】bcosA-cosB=1,即：bco9A=cosB+l,a=1,.bco8A=(co8B+)a, ∴由正弦定理得，sin B cosA=(cosB+)sinA,即：sin BcosA=sin Acos B+sinA, ∴，sin(B-)=sinA,.B-A=A或B-A+A=π，解得：B=2A或B=π（舍）， 又，△ABC为锐角三角形，则C=元-A-B=π-3A, 0<A< 2 0<A<匹 2 0<B<受→0<21<及，解得：<4<牙， 2 2 6 0<c<经0<-3Msf 5snB+2sin2A=V5sn24+1-c0s24=2sin(24-2+1, 又：匹<4<， 6 6 2 2<2sin2A-名+1<5+1，即5s血B+2sn'A的取值范围25+). 6.D 【详解】将(+3j++32=(x-32+(←%-32=100， 设4(，，B(--)由(-2+-2=1，[-3)-32了+[-%)-32]=100， 得点A(:,)在以(V2,2)为圆心，1为半径的圆上，点B(-x,-)在以(32,32)为圆心，10为半径的圆上，两 圆心距d=32-V2)+32-V2)=4<10-1,两圆内含， 所以A8=V+x}+y+½}，1AB1=10-1小-3反-V2'+32-2=5, 则[+}+6y+为]=(Br)=25. 7.C 【详解】过A作AD,AE,分别与圆M相切于D,E两点，连接AM,BM,CM,∠BAC=∠BAM+∠CAM, 、在。BAM中，由正弦定理得，s1n=二户9in∠BMMM=sin∠ABM BM AM 当点A相对固定时，BM,AM均为定值，要使得∠BAM最大， 则需要sin∠ABM最大.当∠ABM=90°时，即AB与圆M相切时，∠BAM最大， 即为∠DAM,所以∠BAM≤∠DAM,同理，∠CAM≤∠EAM, 答案第2页（共12页） 扫描全能王创建 故∠BAM+∠CMS∠DAM+∠BAM, 即∠BAC≤∠DAB,所以要使圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°，只镅要∠DAE≥60°， 1V2 :M平分∠DMB,只需要30°≤∠DMM<90,只需要子5血∠DMM<1宁2 <1→V2MMs2W2 则直线/与圆M,:(x-1)2+0-1)=8相交或相切，又已知直线1与圆M:(x-)2+0y-1)2=2相离， 则弦心距d满足V2<ds2V2→√2 伦-ms2N2(m)0→4<ms6=me(4,可 2 8.D 【详解】因为D是圆0：x2+y2=1上的点，故0D=1,B(2,0),故OB=2 由8-0d=V5,两边平方得：o+00-20丽.0D=(5,4+1-20B.0D=3,0丽.0D=1. 设D(x,yn）,0丽=(2,0），所以2x+0=1→xn2' 代入圆方程得公}。=5 ,即OD的斜率ko=士V5, 2 由对称性，不妨设k=V5.由OE=OB+kOD得B正=kOD,故E点轨迹是过点B(2,0)且平行于OD的直线1， 直线1的方程为：y=V(x-2),整理为√5x-y-2√5=0， 因为C是圆0：x2+y2=1上的动点，E是直线1上的动点，如图： 所以CE的最小值答于原点O(0,0)到直线：√5x-y-2√3=0的距离d减去圆0的半径r=1, 0-0年25 由点到直线的距离公式得d= 5j+- =5,因此CL=d-1=5-l1, 9.AD 答案第3页（共12页） 扫描全能王创建 [济解1对于人当线6：o-月6-，由低-0每-7=号编线过定点 33 22 ,A正确； 对于B,当a=2时，直线l与直线2重合，B错误； 1 对于C,由选项得直线的斜率k显然α0，而y-x+3,则有-。乡a=-6 此时4：3x-5y+43=0,解率为，两直线斜率果积不为-1，直线与直线5不垂直，C带误 对于D,当a<0时，4：y=-2x+3,因为-2>0,3>0，所以直线1经过第一、二、三象限， 2 a 可得I始终不过第四象限，D正确. 10.ABD 【详解】易知圆0：x2+y2=4的圆心为0(0,0)，半径为r=2, 对于A,因为p=0-P-Om-4,又圆心0到直线1：xy44=0的距商d=方=25， 则oP2d=25,所以PM的最小值为PM=V（22°-4=2，故A正确， 对于B,因为四边形PMON面积S=2Swo=PMOM|=2PM, 由选项A知PM≥2，所以S≥4，故B正确， 对于C,设P(o,%),则OP=x号+片，PM=x+好-4， 以P为圆心，PM为半径的圆的方程为(x-)2+(y-%)}=号+后-4，即x2-2xx+y2-2y%y+4=0①， 又M,N在圆0：x2+y2=4②上，由①-②得到-2xx-2yy+8=0,即xx+y%y-4=0, 所以直线MN的方程为ox+%y-4=0,又点P(x0,%)在直线I:x-y+4=0上运动， 当%=O时，直线MN的斜率不存在，所以C错误， 对于D,由选项C知直线MN的方程为x+%y-4=0,且-%+4=0， 所以直线MN的方程为x+(+4)y-4=0,即x(x+y)+4(y-1)=0, 由十y。0,得到x=-y=1,所以直线MW恒过定点一D,故D正确 答案第4页（共12页） 扫描全能王创建 x-y+4=0 11.ACD 【详解】由圆C:(x-3)+y=2可知，圆心C(3,0),半径r=√2，圆心C(3,0)到直线：x-y+1=0的距离 d=月-0+=2反，因为d>,所以直线与圆C相离，如图所示， V+(-)2 Y 因为点M在直线I上动，当MC⊥1时，MC取得最小值，即MC的最小值为22， |ACr√2 设∠AMC=a,则∠AMB=2a,在Rt△AMC中，sina= MC MC MC 要使∠AMC=a最大，即sina= MC 最大，则MC取得最小值，即MC=2√2， 肥a总2及因为☑0口为角，成MC=最 所以∠A8=2a=2x名-子=60，即∠4MB最大皮数为60，故A选项正确： 根据题意.Swe=8auc,所以Sua=Sue+.c=2S,uc=2×LwHlacI=hr=回M, 在Rt△AMC中，由勾股定理可得AM=VMC-4C=MC-r2=VMCP-2, 所以当Sn边形Acn最小时，即AM取最小值，即MC取最小值， 所以MC=25,所以aMl=VMC-2=22-2=V6, 所以四边形MACB的面积的最小值为MAC=V2AM=V反xV6=25, 故B选项错误； 设点M(x,%),因为点M在直线1上动，所以名-。+1=0，即y%=x+1, 答案第5页（共12页） 器 扫描全能王创建 圆C:(x-3)°+y2=2展开为x2+y2-6x+7=0 根据切点弦方程公式，直线AB的方程为o+-3(。+)+7=0, 又%=+1，所以xx+(+1)y-3(。+x)+7=0,即(x+y-3)+(y-3x+7)=0, 所以 3识0解箱y分即直线8过定点 x+y-3=0 51 22 所以C选项正确； 根据直线与圆相切的性质，可得M4=MB,又C4=CB,所以MC⊥AB,垂足为N,且N为AB中点， 在Rt△MC中，利用等面积法可得AMAC=|MWMC, 所以aw=Ag-McP-- =h- 2 MC MCP' 所以AB到=221 C,当wC取得最小值时，Ml取得最小值， 2 即|MC=2V2时，A=22 2 2 (22 =V6,故D选项正确，综上所述，选项ACD正确。 2[层 【详解】当cos0=0时，1的方向向量是(0,2)，此时直线倾斜角a=牙： 21 当cos9*0时，ama=2o0S9cos9结合6os0e-l且cos8+0, 当-l≤cos0<0时，tana∈(-o,-l];当0<cos0s1时，tana∈[l,+oo)； 即ma-oo-+o,则a怎引 综合可得直线1的倾斜角¤的取值范围是[，3买]. L4'4 13.2 【详解】由O,A,B,C共面，则可设OC=mOA+nO丽， 2=-n m=1 OC.OB OB OB 即有1三m,解得n=-2,即oc=2,0,则‘园可+0+-+02+ -2 =-0B 2=2m+n 2=0 故0C在0丽上的投影向量的模为0园=O=V-+02+P-反 14.2 【详解】由圆C:(x-+0+4}=号得题心C1,-4),半径r=35 2 答案第6页（共12页） 扫描全能王创建 圆心c到直线1：x+y-1=0的距腐d=L+4).么-25>3 +122 所以直线I与圆相离，点P在圆外因为圆C上存在两点E,P,使得PE·PF50成立，所以∠EPF≥90. 所以从点P向回C作两条切线PG,PD,设切线夹角为0，则0≥90 设切线与Pc的夹角为a,则sina= PC .又因为0=2a,所以a≥45. 3V2 所以 ina= ≥sin45= √2，则PCs3所以线段AB全部落在以C为圆心，半径为3的圆内部或圆上. PC PC 直线1被以C为圆心，半径为3的圆截得的弦长为2,32-2 =2所以线段AB长度的最大值为2. 15.(①)5 (2) 【详解】(1)己知in2A+sin BsinC=sin2B+sin2C,由正弦定理，得a2+bc=b2+c2, 又由余弦定理g2=-b2+c2-2bcos4,则2bcc0sA=bc,因为b>0,c>0,所以cosA=2 叉0<A<元，故4=行从而4=5， (2)由(1)知4= 号，故8+C=号，因为ABC为钱角三角形，所以二B<行 6 2 由BC边上的高为2，有csin B=bsinC=2,于是三角形面积SMADG -bcsin 4=- sin BsinC 2W5 又2血8mc-oa-c小-m(a+d=m个aB-}片所以5r 当B<时，<2B-行<，故<2B-}1,当日=C时取到等号1，面不能取到 16 答案第7页（共12页) 器 扫描全能王创建 【详解】(1)证明：三梭柱ABC-4BC中，四边形AACC为平行四边形， 由AC=AA4知，四边形MCC为夔形， 连接AC,则4C⊥AC,又AB⊥AC,且AC∩4B=4,4C,4Bc平面ACB,·.AC⊥平面ACB, ~BCc平面ACB,则AC⊥BC,又∠ACB=90°，即BC⊥AC,而4C0AC=A,AC,ACC平面AACC, ∴BC⊥平面AACC,而BCc平面BC,·平面AACC⊥平面ABC. (2)以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x,y轴，在平面4ACC上过C且垂直于AC的直线为z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系。 A :AC=AA=4,BC=2,∠AAC=60°， ∴C(00,0,B(02,0),A(4,0,0),420,25) 设在线段AC上存在一点P(异于点A,C),满足P=入AC(0<1<1), 使平面B4P与平面4PC夹角的余弦值为5，则亚=2(-40,0)=(-41.0,0)， .Bn=BA+A亚=(4，-2,0)+(-41,0,0)=(4-41，-2,0)， 4F=4A+P=(2,0,-23)+(-41,00)=(2-41,0,-25). 设平面BAP的法向量为m=(,,), m:4驴=(2-4a)%-2N53=0'取4=1，则⅓=2-2，名=1-22 m.B亚=(4-42)x-2y=0 由 3 得-2-25号2） 平面APC的一个法向量为i=(0,1,0). 由loos成，动s m 2-2列 夙 V1+2-21}+0-22 4,解得入=号或兄=2 -x1 3 41 3 因为0<<1，则元= 3 放在线段AC上存在点P,满足亚-3C,使平面B4P与平面4PC夹角的余弦值为 4 4 答案第8页（共12页） 器 扫描全能王创建 17。①漫大值和最小值分别为和 (2)最大值和最小值分别为2+32,12-3V2 4 4 【详解】(1)因为圈(x++y=的圆心为(-1.0)，半径为r=2 而2+y少表示该圆(c++少=上一点P()到原点的距离的平方， 因圆心(-1,0)到原点的距离d=1,圆上点到原点的距离PO的范围为：d-r≤PO≤d+r, 即1-sP0s1+号所以Pos号 因此x+少-Pf[引所以2+y的最小值为好，最大值为？ (2)已知A(-3,0)、B(0,-3),则直线AB的方程为：x+y+3=0, 且|AB=V0+32+(-3-02=3V2, 设点P列到直线的更宽为a,则，PA阳的面积5一=3识， 2 因此，面积的最值等价于求点P到直线AB距离h的最值， 圆心←1,0到直线+y+3=0的距离4-+0+32=V2, V12+12V21 所以圆上点P(xy到直线的距离h的范围为：Id-川≤h≤d,+r, l-s+则2-)2，a+引2 4 即PHB的面积最小值为2-32，最大值为2+35 4 B 18.(10(x-4)2+y2=16 (2)x=2或12x+5y-74=0 )号 x=+6 2 【详解】(1)设C(x,y),A(%),又C是线段AB的中点， x=2x-6 即 %=2y-21 2 又点A在圆(x-22+(y+2}=64上，∴(2x-8)2+(2y}2=64,即(x-4)}+y2=16, 故曲线C的方程为(x-4)+y2=16. 答案第9页（共12页） 扫描全能王创建 (2)因为直线与圆C裁得的弦长为4W5,所以圆心C到直线的距高为16-(25=2， y D 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为2,2V),直线与圆C裁得的弦长为45，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设1：y-10=k(x-2),整理得1：0-y+10-2k=0, 所以圆心C到直线的距离为1O+24=2,解得k=-2 N2+1 5 则直线1：y-10=号x-2小，即直线12x+5-74=0,缘上所述，直线的方程为x=2或12x+5y-74=0,。 (3)因为原点0在圆(x-4+16上，直线Mw过圆心C,且与轴所在的直线不重合，∠M0N-受 设直线的斜率为k(k≠O),则直线OM的方程为y=a, 8 [y=la: x= 由-时+y=16+)r-x=-0,解得6 1+2 88k 则点M的坐标为 1+2'1+2 y=1+ 又直线ON的斜率为-名，则直线ON的方程为y- 8k2 X= 得0+）P-8kx=0,解得0 +2 8k2 8/ 则点N的坐标为 (x-4)2+y2=16 0或 y=- 8k 1+k21+k2 由题可：Pe8-》放是-2O-ee 's,loPllo oP oo 答案第10页（共12页） 扫描全能王创建 8/? 又因为O=4=1+E OW_xy=+E.2 O81+k2 0。81+k k2 1 1 所以，°+2k+12+ +22,.1 1 +2 ,当且仅当=日，即州1时等号成立， 所是的最大值为》 19.(0)(x-4}2+(y+1)2=4 (2)(i)7:(i)点P在定直线x=0上. 【详解】(1)由x2+y2+2x-8y+13=0得(x+1)2+(y-4)2=4. 所以圆C:x2+y2+2x-8y+13=0的圆心为C(（-1,4),半径为5=2. b-4x1=-1 a+1 a=4 设C(a,b),则 ,解得 a-1_b+4-0 b=-1 所以圆C的方程为：(x-4)2+(y+1)2=4. 、22 (2)(i)由(1)知圆C的方程为：(x-4)}'+(y+12=4, 所以圆G的方程为：(（x-4)+y2=4.当直线的斜率不存在时，其方程为：x=3.则直线2：y=0. 由-4+广=4得任=3 x=3 '=主5所4同5)，所以hM8=25. 由-4+广=4，得x=6, x=2 y=0 (=0'或 y=0 所以E2,0,F(6,0,所以E=4,此时，四边形ABBF面积为S=M2Er=45. 当直线马的斜率存在时，设其方程为：y=k(x-3),即a-y-3k=0 则直线马的斜率存在，其方程为：y=x-3),即x+g-3=0 所以圆心G到直线的距离为d= V2+1 ,圆心G到直线马的距离为4，= V1+k2 所以4=24-d平=23++：B=24 1 1 答案第11页（共12页） 扫描全能王创建 所以四边形F面积5=例-23+4-2+92厚-7 11 当且仅当中五即k=1时，等号成立， 综上，四边形AEBF面积取得最大值，最大值为7 (i)点P在定直线x=0上.由题可知M(2,0),N(6,0) 由（①）直线马的斜率不存在时，43,5)，B3,-V), 所以直线简方程为-c-2小-5-小 直线8的方程为湖y=8.6x-6)=96x-6) 3-6 y=V5(x-2) 3(x-6)’好0-23) 当直线（的斜率存在时，设其方程为：y=k(x-3), (x-4+=4每(+r-(6+8)x+12+9g=0. y=k(x-3) 由 P+15=2+12 所以，劣+5=6k2+8 Γk2+1 所以直线的方程为：y产-习)。 直线8的方程为：7产6女-可 -- ,得x=2%5-6)-6%5-22(-33-6)-6t5-34-2 产2-司-0--可6-6----习 由 545.668-4g+2 k2+11 2+L=0即x=0.综上，点P在定直线x=0上 12-3x-x2 12-3x-乃 答案第12页（共12页） 扫描全能王创建 青岛一中2025级阶段性练习（数学） 高二数学试题 2026.10 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分．每小题只有一个选项符合要求） 1．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 4．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则的最小值为（ ） A．1 B．9 C．16 D．25 7．已知圆：，直线为，已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知圆：，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3个小题，每小题满分6分，共计18分．每个小题给出的选项中有多个选项符合题意，全对得6分，对但不全得部分分，选错或不答得0分） 9．已知两条直线：：与：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 10．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（ ） A．的最小值为2 B．四边形的面积可能为5 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 11．已知直线：，过直线上任意一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共计15分） 12．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是________． 13．已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为________． 14．已知圆：，线段在直线：上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为________． 四、解答题(本题共5个小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分) 15．中，设角，，的对边分别为，，．已知：． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围． 16．已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 17．已知和满足圆的标准方程．求： （1）的最值； （2）圆上一点与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 18．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，记的面积为，的面积为，求的最大值． 19．已知圆与圆：关于直线：对称． （1）求圆的标准方程． （2）将圆向上平移1个单位得到圆，过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $