【安徽省县中联盟】2026-2027学年上学期高二10月联考数学（A卷）试题

高二数学 答题卡 姓名： 正确填涂 准考证号 填 考场号： ■ 样 错误填涂 0000 0000 ■ 例 W☒ 座位号： ©可 姓名×XX 考号X×XXXXXXX 贴条形码区 考场号XX 座位号X× 缺考 填涂说明，缺考考生由监考员用2D 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记 选择题(58分) 1AB©D可 5ABCD 9ABCD ■ 2AB☑可 6AB®©D 10AB©D 3ABCD 7ABCD 11ABCD 4ABD可 8AB☑可 非选择题(92分) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学(A卷)第1页（共6页） ■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学(A卷)第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学(A卷)第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学(A卷)第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学(A卷)第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学(A卷)第6页（共6页）高二数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范国人教版必修第二册，选择性必修第二册第一章、第二章第二节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知直线乙的方程为y=一3十2，则该直线的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 2.复数=则= A号 B.10 2 C.√2 D.√5 3.已知向量a=(2,3,4),b=(m,n,12),若a,b共线，则m十n= A.15 B.12 C.10 D.7 4.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是 A.a+b;a+b+c;c B.b,b+c,2b-c C.a+b,a-b,a D.a+b,a-b,c 5.已知直线l经过点A(2,一1)和点B(3,m),且直线1的一个方向向量为d=(2,6),则m= A.-2 B.-4 C.2 D.4 6.过点P(2,3)的直线1在两坐标轴上的截距相等，则直线1的方程为 A.x+y-5=0 B.x-y+1=0 C.3x-2y=0或x-y+1=0 D.3x-2y=0或x+y-5=0 7.已知点O(0,0,0),A(2,2,1),B(1,2,1),P(1,0,2),点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小 值时，点Q的坐标是 A(品0，) B(-00,-3) c号09 D(-0,-9) 【高二数学(A卷)第1页（共4页）】 8.已知点A(2,0),B(6,0),若直线tx一y+2=0上存在点P,使得PA⊥PB,则实数t的取值范围为 A[,割 C(-∞，-]U[0,+o∞） n.(-∞，0U[,+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列选项正确的是 A.一组数据：2,3,5,3,4,7,8的60%分位数为5 B.若事件A与事件B是对立事件，则P(A)十P(B)=1 C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件 D.若事件A与B独立，P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(AB)=0.12 10.光线自点A(2,4)射入，经直线1：x一y+1=0反射后经过点B(0,2),则 A.入射光线所在直线的方程为x+3y一14=0 B.反射光线所在直线的方程为x一3y十6=0 C.入射光线所在直线与1夹角的正切值为 D.入射光线所在直线与反射光线所在直线的夹角的正切值为号 11.如图，长方形ABCD,ABEF的长AB=2,宽BC=BE=1,且它们所在的平面互相垂直，点M,N 分别在长方形对角线AC,BF上移动，且CM和BN的长度保持相等.记-A以∈[0,1]).P 是线段MN上一点，则 A.当X-号时.MN的长为写 BMN长度的最小值为 C.三棱锥C一PBE与三棱锥B一MCE的体积相等 D.存在入，使得直线MN与BD所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a,b满足a=√3，a与b的夹角为150°，则a在b方向上的投影向量的模为 13.若直线1沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线1重 合，则直线1的斜率是 14.如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BDEF,四边形ABCD和 BDEF均为正方形，且AB=4,若该多面体的外接球为球O,则平面ACF截 球O所得截面的面积为 【高二数学(A卷)第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线1经过点A(1,3). (1)若直线l与直线x+2y一4=0平行，求直线1的一般式方程： (2)若直线1与直线x+2y一4=0垂直，求直线1的一般式方程. 16.(本小题满分15分) 在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2,∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°. (1)求BC·BD的值； (2)已知F是线段CD中点，点E满足AE-2EB,求线段EF的长. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A、B,C的对边分别为abc,已知snA一tanB十tanC 111 (1)证明：a2=bc; (2)若a-3,且△ABC的面积为5.求角A的大小及△ABC的周长. 【高二数学(A卷)第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知直线1：(1+m)x+(2-m)y+5一m=0. (1)证明：不论m为何实数，直线l恒过一定点M: (2)若直线1不经过第四象限，求实数m的取值范围； (3)若直线1与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线1的方程. 19.(本小题满分17分) 阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点P(xo,yo,o)且一个法向量为(a,b,c)的平面的方程为 a(x一o)十b(y一%)+c(x一)=0：过点P(xoh,)且一个方向向量为(u,w,)(uw≠0)的直线的 方程为二“=y二西=之一酒 (1)已知平面a的方程为x一2y十x一3=0，直线1的方向向量为m=(一1，一1,2)，求直线1与平 面a所成角的大小； (2)已知平行六面体ABCD一A1BC1D1的体积为6，底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱AA1 与底面ABCD所成角为60°，二面角A1一AC-B是锐角，∠ADC=120°，AC与BD交于点 O,AB=BC.以O为原点，OA,OB所在直线分别为x轴，y轴，过O且垂直于底面的直线为 之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxy之 (i)证明：OD∥平面A1BC; (ii)求平面AAB的方程； (iii)求平面AAB与平面A1BC,所成角的正弦值， D C B A D 【高二数学(A卷)第4页（共4页）】高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D C D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BCD AC 1.D设直线的倾斜角为a,则tana= 9因为0≤a<180所以。-150，故选D 2B11-到-等复-四放选 3.A 因为a.b共线，所以a/6,所以受-号-号解得m=6=9,所以m十n=15,故选A 4.D对于A,由(a+b+c)-(a十b)=c,得向量a+b,a+b+c,c共面，不能构成基底，故A错误；对于B,由[(b+c) +(2b-c)]=b,得向量b,b+c,2b-c共面，不能构成基底，故B错误：对于C,由[(a+b)+(a-b]=a,得向 量a十b,a一b,a共面，不能构成基底，故C错误；对于D,假设存在实数x,y使得c=x(a十b)十y(a一b),整理得 c=(x十y)a十(x一y)b.因为{a,b,c}是基底，所以c不能由a,b线性表示，故该方程无解，所以向量a十b,a一b,c 不共面，能构成基底，故D正确.故选D. 5.C因为A(2,-1)和B(3,m),所以向量AB=(1,m+1).因为d=(2,6)是直线1的一个方向向量，所以AB∥d, 所以1×6-(m十1)×2=0，解得m=2,故选C. 6.D设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b.由题知a=b.当a=b≠0时，设直线方程为乙十义=l,即x十y=a, a 将点P(2,3)代入得a=2十3=5，此时直线方程为x十y一5=0.当a=b=0时，直线经过原点(0,0)和点P(2,3),此时直 线的斜率=多8-多，此时直线方程为y一号x,即3一2y一0放选D 7.A因为点Q在直线OP上运动，且P(1,0,2),设点Q(t,0,2),可得QA=(2-t,2,1-2),QB=(1-t,2,1-2), 则Qi,Q市=(2-01-0+2×2+(1-20)2=5-71+7，根据二次函数的性质，可得1=品时，QA.Q取得 最小值，此时点Q的坐标为（品0，子.故选A 8.B设P(x,tx+2),则PA=(2-x,-tx-2),PB=(6-x,-tx-2),由PA⊥PB得PA·PB=0,则 (2-x)(6-x)+(tx十+2)2=0，整理得(1十2)x2+(4t-8)x+16=0.由该方程有解得△=(4t-8)2-4X16× 1+)≥0→1(3+4)≤0青<1≤0.故选B 9.ABD对于A,由7×60%=4.2，该组数据从小到大排序为：2,3,3,4,5,7,8，其60%分位数为第5个数5，故A 正确；对于B,对立事件的概率和为1，故B正确；对于C,P(A)十P(B)=1并不能保证A与B互斥，从而也不一 定对立，故C错误；对于D,P(B)=1一P(B)=0.4,P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12,故D正确.故 选ABD. 10.BCD设点B(0,2)关于直线1：x一y十1=0的称点为B(m,),则BB⊥L,所以1X”一2=一1，即m十n n-0 2①.又线段BB的中点（受，”生）在直线1x一y+1-0上，代人得号”士+1=0，即m=n@.联立①②得 2 m=1,n=1,所以B'的坐标为1,1)，所以入射光线所在直线经过点A2,4)和点B1,D,其斜率为-号 【高二数学(A卷)参考答案第1页（共5页）】 3,其方程为y一1=3(x一1)，即3.x一y一2=0，故A错误；同理可得，点A(2,4)关于直线1：x一y+1=0的对称 点为A'(3,3).反射光线经过点B(0,2)和点A(3,3),其斜率为k=号，其方程为y一2=弓，即x一3y十6=0， 故B正确；设1的倾斜角为α，入射光线所在直线的倾斜角为B,则入射光线所在直线与l的夹角为3一α，易知 mg=1,m广3则m(g-。=骨品品录。之放C正确：入射光线与反射沈线所在宜线的夹 角为2(g-a),则tam2(ga)-1二1aa 2tan(3-a)_ 2X2 1-(2 3,故D正确.故选BCD, 11.AC在长方形ABCD,ABEF中，CB⊥AB,且它们所在的平面互相垂直，交线为AB, 所以CB⊥平面ABEF,BEC平面ABEF,'.CB⊥BE,则BA,BC,BE两两垂直，以B 为原点建立空间直角坐标系， B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,1),D(2,0,1),E(0,1,0),F(2,1,0), E 由两个长方形全等知CA=BF,又CM和BN的长度保持相等，所以C- CA BF λ（∈[0,1]） 当-号时M告0)N(号号o.-故A正确： 当x-a∈[0.1)时M2a0,1-.N(2xa0 IM=V+-=V2x一2以+-√2(-2》+号，所以当入-号时，MN取得最小值，此时MN 号放B错误， 由B可知M=(0,A,A-1),易知AB⊥平面CBE,所以BA=(2,0,0)为平面CBE的一个法向量，又M.BA =0X2+AX0+(A-1)X0=0,所以M⊥BA.又MN丈平面CBE,MN∥平面CBE,又点P∈MN,所以P,M 到平面BCE的距离相等，所以Vp-E=VM-E,即三棱锥C-PBE与三棱锥B一MCE的体积相等，故C 正确； M=(0,X,A-1),A∈[0,1]，BD-(2,0,1),若直线MN与BD所成角的正弦值为，则|cosM应，BD)|- λ-1 √2+（入-1）2·√5 -号，整理得27-2以十1=0,4=22-4×27X1<0,方程无解，故D错误放 选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. ,a在b方向上的投影向量的模为la·cos0=5×cos150|= ×(-)=多 ,由题知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx十b,则根据平移过程知，平移后的直线方程为y= k(x+2)十b+3,该直线与直线1重合，则2k+b+3=,则k=二多： 1.学如图，可知该几何体是长.宽、高分别为4,4,4厄的长方体的一部分， 所以该多面体的外接球的球心为长方体的中心，且球的半径R=6+)6+忍一4， 以D为坐标原点，DA,DC,DE的方向分别为x,y,之轴的正方向建立空间直角坐标 系，则球心O(2,2,2√2)，A(4,0,0),C(0,4,0),F(4,4,4√2)， 设平面ACF的法向量为n=(x,y,之)， 因为AC=(-44.0.=(04,4w2所以m·AC4+4y=0 n·AF-4y+42x=0 令=-1，得n=(2,√2，-1)， 【高二数学(A卷)参考答案第2页（共5页）】 因为Oi=(2,-2,-22),所以点0到平面ACF的距离d=Oi·n=22 n√5 设截面圆的半径为，则户-尽-d=16--号，所以所求裁面的面积为5= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)因为直线l与直线x+2y-4=0平行， 所以设直线l的方程为x+2y十m=0,m≠一4， 3分 将点A(1,3)代入，得1+6+m=0,解得m=-7, 5分 故直线的一般式方程为x十2y一7=0.… 6分 (2)由题知，直线x十2y一1=0的斜率为，=一2 7分 设直线l的斜率为k, 由题意知k·1=一1，即k（一)=一1，解得k=2. ,9分 又因为直线1经过点A(1,3), 由点斜式得y一3=2(x一1)，… 11分 整理得2.x-y十1=0， 故直线l的一般式方程为2x一y十1=0.… …13分 16.解：(1)设AB=b,AC=c,AD=d, 则1b=|c=|d=2,且b·c=b·d=c·d=2×2cos60°=2. 2分 BC=c-6,BD=d-6,........................ 3分 所以BC.BD=(c-b)·(d-b)=c·d-c…b-b…d+b·b=2-2-2+4=2.…5分 (2)因为F是CD中点，所以萨=(e+d. 6分 由A它-2EB,得A它-号b,…8分 以EfA定-A它=70叶db,…… 所以=2c+24-号o创=lc+a+号a+ 2c·d- 3c·b- 号d…b 1+1+9+1-号专号 14分 所以线段F的长为零。 …15分 11明：南A5+C得A需号+需8Ba结B-光 1 sin Bsin C sin Bsin C …3分 因为B十C=π-A,所以sin(B十C)=sinA,… …4分 则sA产sBsC,即simA=sin Bsin C, …5分 由正弦定理得a2=bC.… 6分 (2)解：由(1)知a2=bc,又a=3,所以bc=9.… …7分 内为△ABC的面积吃inA=9.所以吃×9×nA-y9得SnA=夏 …9分 因为0<A<x,所以A=晋或A-红 3 10分 由余弦定理a2=b十c2-2 bccos A,得9=b+c2-18cosA.…. …11分 当A=5时，9=b2+2-9,所以62+2=18，(b+c)2=6+c2+2bc=18+18=36, 又b十c>0,所以b十c=6;… …13分 当A=时.9=+2+9.即+2=0，与6>0>0矛盾舍去. …14分 综上，A-否，△ABC的周长为a十b十c-9. …15分 【高二数学(A卷)参考答案第3页（共5页）】 18.(1)证明：将直线1的方程整理为m(x一y一1)十(x十2y十5)=0.…1分 2 解得x=-1,y=一2，… …3分 所以不论m为何实数，直线l恒过定点M(一1，一2).…4分 (2)解：当m=2时，直线l:x=一1，不经过第四象限，符合题意； *…***…*” 5分 当m≠2时：直线十受 由（不经过第四象限可知 ,解得2<m≤5.… …7分 o 综上，m的取值范围为[2,5]. …8分 (3)解：设直线1与x轴负半轴交于A(-a,0),与y轴负半轴交于B(0,-b),a>0,b>0. 直线AB的截距式方程为乙。十兰61，即+岩=-1. a 因为直线恒过M-1.一2》，代入得。+=一1.即+号=1.…10分 三角形面积Sab …11分 由基本不等式1=}+云≥2√层所以≥854 …12分 当且仅当公-云时等号成立，即=2a, 代入+号1，得+所以a=264… 14分 此时直线过点A(一2,0)，B(0,一4)， …15分 方程为兰十当=1，化简得2x十叶4=0， 该直线对应参数m=1,所以直线l的方程为2x十y十4=0. 17分 19.(1)解：因为平面a的方程为x一2y十≈-3=0， 所以平面a的法向量可取n=(1,-2,),…1分 设直线1与平面α所成角的大小为0， 又直线l的方向向量为m=(一1，一1,2)，…2分 所以-lcomm一沿安： …3分 又0∈[0°，90]，所以0=30°， 即直线1与平面α所成角的大小为30°. 4分 (2)(i)证明：连接DB,交AC于点O,连接O,B, 在平行六面体ABCD-AB,CD,BB,∥DD1,BB,=DD, 所以四边形BBDD为平行四边形， 所以BD=B1D1,BD∥BD1,… 5分 又O为BD的中点，O为BD,的中点， 所以DO∥OB,DO=OB, 所以四边形OBOD,为平行四边形， 所以OD1∥O1B.… …6分 又OD在平面ABC,OBC平面A1BC, 所以OD1∥平面ABC.。 7分 (i)解：设平行六面体的高为h,体积为V, 则V=2×2×sin120×h=6, 所以h=5,… …8分 又BD=2,AC=23, 所以A(5,0,0),B(0,1,0),C(-3,0,0), 【高二数学(A卷)参考答案第4页（共5页）】 所以BA=(W3,-1,0),BC-(-3,-1,0). 设AA1=(a,b,c),则c=√3， BAj-BA+AAj-(V3+a,6-1,c),BCj-BC+CCj-(-/3+a.6-1,e), 又A1B=BC1, 所以W(W3+a)2+(b-1)2+2=√(-/5+a)2+(6-1)2十c2,所以a=0.…10分 因为AA,与底面ABCD所成角为60°， 平面ABCD的一个法向量为p=(0,0,1), a+r+al-sin60°-9】 所以cos(AA,p>1=|c 2 又a=0,c=√5，由二面角A,一AC-B是锐角知b>0,所以b=1,…11分 所以BA=(W3,0,√3)，BC=(-3,0,√3)， 设平面AAB的一个法向量为q=(x1y1,), 则g·BA-+=0 q·BA-3.x1-y=0 取一个法向量q=(1,W月，一1)，…12分 又点B(0,1,0), 所以平面AA,B的方程为(x一0)+√3(y一1)一（之-0）=0， D 即x十5y-之-3=0.…13分 (ii)解：由(ii)知，平面AAB的一个法向量q=(1,W3,一1)， BA1=(5,0,√5)，BC=(-/5,0,√3)，…14分 设平面ABC的一个法向量为r=(x2y2,2), 则r·Bf-3+5=0 r.BC=-5.x2+5x2=0 取一个法向量r=(0,1,0),…15分 所以osg.rn1=g7:h= …16分 所以平面AAB与平面A,BC所成角的正弦值为，1-（压）2= 5 …17分 【高二数学(A卷)参考答案第5页（共5页）】