第12讲 5.7三角函数的应用讲义（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数的应用这一核心知识点，系统梳理函数y=Asin(ωx+φ)中振幅、周期、频率、相位等参数的物理意义，以及“审题-建模-求解-还原”的问题解决程序，为后续题型应用提供理论支架。 资料特色在于情境丰富，涵盖物理学（弹簧振子）、日常生活（摩天轮、潮汐）、数据拟合等实际问题，通过典例与变式引导学生用数学眼光观察现实，用数学思维抽象模型，如摩天轮高度函数构建，课中助力教师系统教学，课后精练题帮助学生查漏补缺。

第12讲 5.7三角函数的应用 第一部分 知识梳理 知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　  周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间  频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　 相位 时的相位称为初相  知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 第二部分 题型精讲 题型01三角函数模型在物理学中的应用 【典例1】（25-26高一下·江西·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【答案】B 【分析】应用周期代入点计算求解解析式判断A，应用余弦函数值域计算求解参数判断B，C，D. 【详解】由题，小球运动的周期， 又，所以，解得， 当时，，即，， 所以，则，故A错误； 若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故B正确； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故C错误； 因为，， 这时是最高点不是平衡位置，故D错误. 【典例2】（25-26高一下·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【答案】(1)，，， (2)19次 (3)小球在内是下降状态． 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质结合图形计算即可； （2）利用三角函数的周期性计算即可； （3）根据三角函数的单调性计算即可. 【详解】（1）由图2可知，， 最小正周期，所以， 由五点作图法可知，当时，，所以， 所以， 当时，． （2）小球往复运动一次所需时间为， 小球1秒内往复运动的次数为， 所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）． （3）令， 得， 所以小球在内是下降状态． 【变式1】将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图①，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是（图②），其中，则估计线的长度应当是（精确到）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解. 【详解】由，得．由函数的图象可知函数的周期为0.4s， 所以，即． 故选：C． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【答案】C 【分析】根据正弦函数周期求判断A，根据特殊点求解判断B，根据正弦函数的单调性判断C，根据正弦函数值域判断D. 【详解】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误； 令，所以，又，所以， 因为，所以或. 又，所以，所以.故B错误； 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 且在内单调递减，因为， 所以在上单调递减，故C正确； 由图象得该质点在内的路程为，故D错误. 故选：C. 【变式3】如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2) (3)5 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 题型02三角函数模型在日常生活中的应用 【典例1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 【答案】B 【详解】， 令，则，所以， 解得，由于，则或， 所以在这段时间，实验室需要降温， 即在一天时间内实验室需要降温的时长为小时. 【典例2】（25-26高一下·广西北海·期末）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 【答案】(1) (2)分钟 (3)或，高度差最大值为25米 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出、，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，作差后结合三角函数的最值求解出高度差的最大值及此时的时间. 【详解】（1）由题意：，解得，又，则， 又时在最低点，最低点高度为米，故， 代入得，又，故， 所以， 化简得：； （2）由题意，代入解析式得， 得，解得， 令，，则， 由，得， 代入，解得，则， 故游客的最佳视觉效果的持续时间为分钟； （3）摩天轮共36个轿厢，相邻轿厢夹角为，两人间隔5个座舱， 圆心角， 设游客乙乘坐时间t（）分钟后，乙的高度， 则甲的高度， 他们的高度差为 ， 因为，当或，取得最大值1， 即当或时，高度差最大值为25米. 【变式1】（25-26高一下·湖北随州·阶段检测）在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意作图，根据勾股定理和三角函数关系式计算即可. 【详解】如图，过作于点，在中，km， 作. 在中，，所以. 因为小时，所以受台风影响的时间为4小时. 【变式2】（多选）（25-26高一下·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 【答案】BCD 【详解】由表格数据可知，，故，解得，故A错误； 因为，故，解得，故B正确； ，故，， ，故C正确； ，即， ，又，， 故该船当天在港口停留的时间最多为4小时，D正确. 【变式3】（25-26高一下·上海松江·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 【答案】6 【分析】设开始转动分钟后距离地面的高度为米，且，根据题设求出解析式，再令，解不等式即可求解. 【详解】设开始转动分钟后距离地面的高度为米， 且， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，则，可取， 所以，， 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以游客坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 题型03三角函数模型在圆周运动问题中的应用 【典例1】（25-26高一下·广东汕尾·期中）水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 【答案】ACD 【分析】根据题意，先求得水车的半径和周期，进而可求得，得到解析式，再根据三角函数的性质，逐项判断即可. 【详解】由题意，，且，则， 由于从处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转， 10秒后水斗第一次旋转到最高点位置， 此时转过的角度为，因此转动一周需要30秒，所以， 所以，则， 将代入中， 可得，故， 则，故， 又，所以，因此，故A正确，B错误； 因为，则， 则，所以， 则为水车直径，所以，故C正确； 当时，，， 则，所以点到水面的距离的最大值为2，故D正确. 【典例2】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题中信息可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出函数的解析式； （2）由余弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间，结合可得答案； （3）求出函数的最小正周期，结合周期性可求得所求代数式的值. 【详解】（1）由题意得，解得，故． （2）由（1），要使单调递增，只需单调递减， 令，，得，， 又，所以的单调递增区间为，． （3）由题意，的最小正周期，又，，，， 所以 . 【变式1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 【答案】(1)； (2)（i）次，；（ii） 【分析】（1）求出3min旋转的圆心角，利用三角形面积公式进行求解； （2）（i）求出甲的座舱高度关于时间的函数，从而得到方程，求出，，根据求出，进而得到答案； （ii）在（i）的基础上，得到不等式，求出答案 【详解】（1）转一周需要，故3min旋转的圆心角为， 转盘半径为40m，的面积为； （2）（i）设甲的座舱高度关于时间的函数为， 则， 当甲乙两人距离地面的高度相等时，， 即，即， 故，，故，， 令，得， 又，故，所以运行一周的过程中，两人距离地面的高度相等的次数为2次， 当时，，即首次距离地面的高度相等的时间； （ii）因为，所以， 令，即， 故，解得， 故甲处于“震撼时段”的时间段为. 【变式2】（25-26高一下·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)米. 【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）及求出值. （3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. （2）由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. （3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. 【变式3】（25-26高一下·河北·期中）南昌之星摩天轮是南昌市的标志性建筑，也是国内最高的摩天轮，轮面彩灯全部亮后可以显示一座巨型彩色时钟．该摩天轮最高点距离地面高度为160米，转盘直径为153米，设置有60个座舱，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）．游客在座舱内可观看南昌一江两岸的壮丽景观．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，已知甲比乙提前5分钟进入座舱，在甲运行一周的过程中，设甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米． (1)求关于的表达式； (2)当甲、乙距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，结合题意与三角函数性质计算即可得解； （2）由题意可表示出乙距离地面高度与的表达式，令其与相等，解出即可得； （3）利用三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点， 与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 设， 由题得，解得， 又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以， 所以， 又当时，甲位于点， 以为终边的角为，所以， 所以， 即； （2）设乙距离地面的高度为， 则， 令，所以， 所以， 所以，或（舍去）， 即，又，所以，即； （3）令，则，， 所以 ， 当，即时，， 又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值， 所以，即的取值范围是. 题型04 数据拟合三角函数模型问题 【典例1】（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长. 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 【答案】(1) (2)， (3)在11时到19时训练较恰当 【详解】（1）描出所给点如图所示. （2）由（1）知选择较合适. 令. 由图知，所以， 把代入，得. 故所求拟合模型的解析式为. （3）由，得， 则， 即， 注意到，所以或或， 再结合题意可知，安排在11时到19时训练较恰当. 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）某港口水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作，下面是某日水深的数据. t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）． 【答案】(1) (2)16小时 【分析】（1）观察给定数据的规律并结合正弦函数的性质即可求出； （2）根据船舶安全进出港的水深条件，通过三角不等式求出时间的取值范围，进而得出在港内停留的最长时间. 【详解】（1）观察表格可知，函数在和时，的值相等，故函数的周期为，， 由数据可知，函数的最大值约为，最小值约为，根据振幅的计算公式可得，即， 故函数的近似表达式为； （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于米， ，， 根据正弦函数的性质可解得， 即． 在同一天内，取时，；取时，， 该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时． 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（x＝月份－1），以平均气温为y轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 【答案】(1) (2)， (3)③ 【分析】（1）由表中所给数据作出图像，注意月份； （2）由图像最高点与最低点的横坐标求出周期，由最大值与最小值求出A； （3）取，分别代入三个式子中验证，只有③式满足. 【详解】（1）略 （2）最低气温为1月份，最高气温为7月份， 故，所以. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即，所以. （3）因为月份，所以不妨取. 代入①，得，故①不适合， 代入②，得，故②不适合， 代入③，得，所以③适合. 所以③最适合这些数据. 【变式3】（25-26高一下·四川成都·期末）在一般条件下，青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快，呼气时心率减慢，这一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐（）．研究发现，心率波动频率与呼吸频率高度一致，心率随时间的变化可用模型（，，）近似拟合，其中为心率（次/），为稳态心率（次/），f为呼吸频率（次/），t为时间（s），A为幅值（次/）． 为了解自身心率的波动情况，小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频率为10次/），从一次吸气开始的时刻开始计时（即时刚好完成呼气，即将开始吸气），记录了一个完整呼吸周期内的心率数据，如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 6 心率（次/） 65 75 80 75 65 60 65 呼吸时相 吸气始 吸气 吸气 呼气始 呼气 呼气 吸气始 设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型． (1)求小明静息时的表达式； (2)若小明在步行时，呼吸频率f为20次/，稳态心率提高到90次/，幅值A为4次/，没有发生变化，求小明步行时的最大值． 【答案】(1)（）． (2) 【详解】（1）由表可知小明在一个呼吸周期内心率的最大值与最小值分别为80次/与60次/， 可得次/， 所以次/． 又一个呼吸周期，即，解得． 令，得，解得（）． 又，所以． 所以（）． （2）由题意知小明在步行时心率满足． ． 所以，当且仅当（）时等号成立． 所以小明步行时的最大值为． 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）一个单摆小球偏离铅垂线方向的角，与时间t的函数关系式是，则单摆摆动的频率是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以单摆摆动的频率为． 2．（25-26高一下·四川凉山·期末）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 【答案】A 【详解】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为. 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】C 【详解】由题意，振幅是2，初相是. 4．（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 5．（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A 6．（24-25高一下·四川成都·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 7．（多选）（24-25高三上·海南海口·期末）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（   ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 【答案】ACD 【分析】利用已知求得可判断A；求得最小正周期，可求频率，进而可判断B，求得离开平平衡位置的最大距离判断C；求得可判断D. 【详解】因为该音叉在时的位移为，所以， 所以，所以，因为，所以，故A正确； 所以，所以最小正周期为， 所以频率为，所以该音叉每秒钟往复振动440次，故B错误； 当时，，所以该音叉离开平衡位置的最大距离为，故C正确； 当时，， 该音叉在时的位移为，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）（23-24高一上·广东广州·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， 所以振幅且，可得，所以A、B正确； 又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误； 根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A 故选：ABC. 9．（24-25高一下·云南昭通·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为______. 【答案】． 【分析】由题意设关于的函数解析式为，然后由题意求解解析式即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为50m，得， 由最低点距离地面高度为10m，得，解得． 由转一周大约需要30min，得，解得． 又当时，，即，而，解得， 因此． 故答案为：. 10．（24-25高一上·山东枣庄·阶段检测）是轮子（半径为）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，若，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设轮子滚动了后到达点,即，点作垂直地面，过点作，求得函数解析式为，结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意可知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为， 如图所示，设轮子滚动了后到达点,即，所以， 过点作垂直地面，过点作， 则， 所以， 由，可得， 所以，解得， 令 所以，，且， 所以当时，可得取最小值为， 故答案为：. B能力提升 1．（25-26高一下·湖北恩施·期末）21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】设，，结合题意计算可得两函数解析式，再作差即可得，再利用二倍角公式及二次函数性质计算即可. 【详解】设，. 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即. 所以 . 当时，， 所以当时，取最大值；当时，取最小值. 所以，即的值域为. 所以的最大值为. 2．（25-26高一下·四川达州·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得出，求出，最后解不等式即可. 【详解】设，则，所以， 若，则， 若，则，所以. 由，得，则， 因为，所以，则，解得. 3．（25-26高一上·福建厦门·期末）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 【答案】 【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，． 故函数的周期为，所以， 则，又位移的大小即，由， 得，即， 所以，或， 解得，或，． 故总时间为：． 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为． 故答案为：， 4．（25-26高一下·广东茂名·期末）如图，弹簧挂着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点P，最低可到达点Q，且．开始观察的时间点记为（单位：s），小球相对于参照面l的高度h（单位：cm）与t的相关数据如下表：    0 4 6 9 3 -3 0 6 9 (1)现有以下2个函数模型：模型①：（，，）；模型②：．请选出你认为最符合实际的函数模型（不用说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所选的函数模型，解决下列问题： （i）每分钟小球能往复振动多少次？ （ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm的时间有多少s？ 【答案】(1)选择模型①，． (2)（i）15次；（ii）. 【分析】（1）结合小球运动形式及初始位置可得函数可以更好地刻画与之间的对应关系，再利用所给数据表格计算即可得函数解析式； （2）（i）计算出周期后，利用周期与频率关系计算即可得； （ii）令，利用正弦函数性质求解即可. 【详解】（1）选择模型①，．由于，则， 又根据数据可知，且，故， 所以， 由，，得， 所以． （2）（i）因为，所以每分钟小球能往复振动次． （ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm， 即时，， 所以， 故，， 故，， 又，故，1，则， 所以持续时间为． 5．（25-26高一下·四川眉山·期末）如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，与地面所成的角为，，，点到地面的距离为． (1)若，，，求的值； (2)若，，求的最大值； (3)记函数，若，函数在上单调递增，求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）过点作地面的垂线，得到，结合三角函数的定义即可求解； （2）由（1）得到，结合辅助角公式即可求解； （3）由的单调性，及得到，，再通过消参将转换成关于的一元二次函数，即可求解. 【详解】（1）如图所示，过点作地面的垂线，分别和上下两条线相交于垂足分别为和， 则． 因为，所以， 在中，，，所以． 在中，， 由，得，又 所以， 所以．所以，解得． （2）由（1）可得： （），其中，（）， 所以当且仅当时，． 又， 所以当，时，取最大值，的最大值为5. （3）因为，所以. 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以，所以，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以． 因为， 所以当且仅当，时，． 6．（25-26高一下·重庆江北·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某地区的摩天轮的最高点距离地面的高度约为125米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了48个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为42.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔7个座舱（即座舱位置差为8），从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间. 【答案】(1) (2)分钟或分钟 (3)当或分钟时，的最大值为米 【分析】（1）设，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设，则， 又，故， ， ，可取，， ， 故解析式为． （2）令，则， ， ， 或，解得或， 故游客甲坐上摩天轮后分钟或分钟时，距离地面的高度恰好为米． （3）由于乙与甲的座舱位置差为（因间隔座舱对应个位置差）， 所以乙与甲间隔的时间为分钟， 因此乙开始进入需要分钟，因此时间要满足， 设经过分钟后，甲距离地面的高度为， 此时乙距离地面的高度， 则两人的高度差 ， 令，解得，又， 所以，当分钟或分钟时，的最大值为米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 5.7三角函数的应用 第一部分 知识梳理 知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　  周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间  频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　 相位 时的相位称为初相  知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 第二部分 题型精讲 题型01三角函数模型在物理学中的应用 【典例1】（25-26高一下·江西·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【典例2】（25-26高一下·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【变式1】将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图①，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是（图②），其中，则估计线的长度应当是（精确到）（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【变式3】如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 题型02三角函数模型在日常生活中的应用 【典例1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 【典例2】（25-26高一下·广西北海·期末）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 【变式1】（25-26高一下·湖北随州·阶段检测）在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（多选）（25-26高一下·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 【变式3】（25-26高一下·上海松江·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 题型03三角函数模型在圆周运动问题中的应用 【典例1】（25-26高一下·广东汕尾·期中）水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 【典例2】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 【变式1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 【变式2】（25-26高一下·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【变式3】（25-26高一下·河北·期中）南昌之星摩天轮是南昌市的标志性建筑，也是国内最高的摩天轮，轮面彩灯全部亮后可以显示一座巨型彩色时钟．该摩天轮最高点距离地面高度为160米，转盘直径为153米，设置有60个座舱，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）．游客在座舱内可观看南昌一江两岸的壮丽景观．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，已知甲比乙提前5分钟进入座舱，在甲运行一周的过程中，设甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米． (1)求关于的表达式； (2)当甲、乙距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围． 题型04 数据拟合三角函数模型问题 【典例1】（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）某港口水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作，下面是某日水深的数据. t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）． 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（x＝月份－1），以平均气温为y轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 【变式3】（25-26高一下·四川成都·期末）在一般条件下，青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快，呼气时心率减慢，这一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐（）．研究发现，心率波动频率与呼吸频率高度一致，心率随时间的变化可用模型（，，）近似拟合，其中为心率（次/），为稳态心率（次/），f为呼吸频率（次/），t为时间（s），A为幅值（次/）． 为了解自身心率的波动情况，小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频率为10次/），从一次吸气开始的时刻开始计时（即时刚好完成呼气，即将开始吸气），记录了一个完整呼吸周期内的心率数据，如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 6 心率（次/） 65 75 80 75 65 60 65 呼吸时相 吸气始 吸气 吸气 呼气始 呼气 呼气 吸气始 设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型． (1)求小明静息时的表达式； (2)若小明在步行时，呼吸频率f为20次/，稳态心率提高到90次/，幅值A为4次/，没有发生变化，求小明步行时的最大值． 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）一个单摆小球偏离铅垂线方向的角，与时间t的函数关系式是，则单摆摆动的频率是（　　） A． B． C．2 D． 2．（25-26高一下·四川凉山·期末）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是4，初相是 4．（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 5．（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高三上·海南海口·期末）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（   ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 8．（多选）（23-24高一上·广东广州·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·云南昭通·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为______. 10．（24-25高一上·山东枣庄·阶段检测）是轮子（半径为）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，若，则的最小值为__________. B能力提升 1．（25-26高一下·湖北恩施·期末）21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一下·四川达州·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·期末）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 4．（25-26高一下·广东茂名·期末）如图，弹簧挂着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点P，最低可到达点Q，且．开始观察的时间点记为（单位：s），小球相对于参照面l的高度h（单位：cm）与t的相关数据如下表：    0 4 6 9 3 -3 0 6 9 (1)现有以下2个函数模型：模型①：（，，）；模型②：．请选出你认为最符合实际的函数模型（不用说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所选的函数模型，解决下列问题： （i）每分钟小球能往复振动多少次？ （ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm的时间有多少s？ 5．（25-26高一下·四川眉山·期末）如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，与地面所成的角为，，，点到地面的距离为． (1)若，，，求的值； (2)若，，求的最大值； (3)记函数，若，函数在上单调递增，求的最小值． 6．（25-26高一下·重庆江北·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某地区的摩天轮的最高点距离地面的高度约为125米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了48个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为42.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔7个座舱（即座舱位置差为8），从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间. 学科网（北京）股份有限公司 $