精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

青铜峡市第一中学2026-2027学年第一学期10月月考试卷 高 三 数 学 （命题人：陈菊红 试卷审阅：杜晓东 考试时长：120分钟 总分:150分 ） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则的最小值是（    ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数所有零点之和为0. B. 若函数有三个零点，则 C. 当时， D. 函数在上为增函数 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知实数，，满足，，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数仅有1个极值点 C. 函数仅有1个零点 D. 直线是曲线的切线 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. _______. 13. 已知函数是上的奇函数，则________________________． 14. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 四、解答题（要求写出必要的解题步骤） 15. 已知全集，集合，，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数，且在的最小值为，求的值. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2026-2027学年第一学期10月月考试卷 高 三 数 学 （命题人：陈菊红 试卷审阅：杜晓东 考试时长：120分钟 总分:150分 ） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】， 则复数在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 4. 已知函数，则为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】， . 所以 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 若，，且，则的最小值是（    ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】因为，，且，即， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由解得， 即的定义域为， 又， 故为奇函数， 当时，均单调递增， 故在时，单调递增， 则，等价于， 则，解得， 故不等式的解集为. 8. 定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数所有零点之和为0. B. 若函数有三个零点，则 C. 当时， D. 函数在上为增函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，分段函数图象与性质函数的零点以及函数单调性逐项分析即可. 【详解】选项A， 当时，， ①当时，令 ，解得：或，均满足题意， ②当时，令 ，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为， 所以函数所有零点之和为 ，故 A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令 ， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以 ，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知实数，，满足，，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据对数函数的单调性和定义域得到，再结合，利用不等式性质、指数函数单调性、作差法逐项判断即可.  【详解】 选项A：对数函数的定义域为，且在定义域上单调递增，由可得，A正确. 选项B：由可得，又，所以，B错误. 选项C：指数函数是上的单调递增函数，由可得，因此，C正确. 选项D： . 由，可得，，， 所以，即，D正确. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】依次根据对数函数过定点的性质、幂函数的定义与奇偶性、对勾函数的最值规律、分段函数单调递增的条件判断各选项正误. 【详解】 选项A：令得，代入函数得，因此图象恒过定点，A正确； 选项B：幂函数的系数必须为1，故，得，此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称，设， 则，故是偶函数，B错误； 选项C：将函数变形为，令，因为对勾函数在上单调递增，因此时取最小值为，C错误； 选项D：分段函数在上单调递增需满足两个条件：①二次函数在上单调递增，其开口向下，对称轴为，故即；②左段在处的函数值不大于右段在处的极限值，即，解得，综上得，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数仅有1个极值点 C. 函数仅有1个零点 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性再结合导数的几何意义逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得， 令，则． 在上恒成立， 所以函数在上单调递减，故A正确． 对于B，由A得， 令得或，令得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 为极大值点，为极小值点． 所以函数有两个极值点，故B错误． 又， 当时，，当时，， 作出的大致图象如图，所以函数仅有1个零点，故C正确． 对于D，设切点，则， 曲线在点处的切线为， 即， 若直线是切线，则， 解得，即切点为， 所以直线是曲线的切线，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. _______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数运算性质和运算法则以及指数运算法则即可得到答案. 【详解】原式. 故答案为：1. 13. 已知函数是上的奇函数，则________________________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过解出的值，得到函数的解析式，再使用验证即可. 【详解】因为函数是上的奇函数， 所以，即，解得，则，定义域为， 因为， 所以当时，函数是上的奇函数． 14. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性推导出函数的周期，通过周期性将未知的自变量化归到已知区间内，最后代入黎曼函数解析式及特殊点的值进行计算求和. 【详解】因为，所以，令得， 因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为4， 所以， 由题意得，此时，它是一个既约真分数，因此， 即，则． 四、解答题（要求写出必要的解题步骤） 15. 已知全集，集合，，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别解分式不等式和绝对值不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算； （2）由充分不必要条件得，再对参数分类讨论确定出集合，然后结合真子集的概念得参数范围． 【小问1详解】 ，，或， ， 所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， ， 若，则，符合题意； 若，则，若是的真子集，则， 若，则，若是的真子集，则， 综上，的范围是． 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【小问1详解】 由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. 【小问2详解】 由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 四棱柱为直四棱柱，平面， 平面，，， ，，平面，平面， 平面，； ，，平行四边形为正方形，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可证得；由正方形性质知；由线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向分别为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. 【小问2详解】 令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【小问1详解】 若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $