精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

青铜峡市宁朔中学2025—2026学年第一学期第二次月考 高三数学测试卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 全集，，，则a的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 3或5 D. 2或8 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：；第二组：，则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 第一组数据的上四分位数（第75百分位数）是8 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 11. 已知函数，若方程有四个实数根，且，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若定义在R上的函数满足，且，则_______. 13. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是__________. 14. 㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有______人.（参考数据：，，） 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求的大小； （2）若，求证：为直角三角形． 16. 已知数列为等差数列，其前项和为，若. （1）求数列的前100项和的值. （2）设数列的前项和为，求的最小值. 17. 随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2020年到2024年充电桩数量y（单位：万个），为方便研究，年份代码用x表示（如：表示2020年），具体参考数据如下表： 55 70.4 19 （1）请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）假设该地区现有10个充电桩，其中6个为快充桩.现随机抽取2个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为X，求X的分布列及均值． （参考公式：，．） 18. 四棱锥的底面为正方形，面，动点在线段上， （1）求证： （2）求四棱锥的外接球表面积 （3）求的最小值 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； （3）若有两个零点，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2025—2026学年第一学期第二次月考 高三数学测试卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 全集，，，则a的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 3或5 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】由补集的概念即可得出. 【详解】∵全集，，， ∴，得或． 故选：D． 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再化简即可. 【详解】由，得， ． 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 3. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 4. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，根据裂项相消法计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 5. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 6. 已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的判定及性质可得. 【详解】充分性:若,则由直线与平面平行的性质，存在直线，. 必要性：若存在直线，，则可能平行于或在内， 故选：A 7. 若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果. 【详解】因为命题：“，都有”为真命题， 所以命题：“，都有”为真命题. 令，. 则. 因为， 所以， 所以函数为增函数. 又因为， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线过点， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，则该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当和时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得，即的取值范围是. 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案. 【详解】由，且， 则，故A对； 由，故B正确； 由，故C错； 由，故D对； 故选: ABD 10. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：；第二组：，则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 第一组数据的上四分位数（第75百分位数）是8 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断. 【详解】根据题意可得第一组数从小到大排序为，中位数为， 平均数，方差， 因为，所以第一组的第75百分位数为， 根据题意可得第二组数从小到大排序为，中位数为， 平均数 ，方差， 综上可得，A，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，若方程有四个实数根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意有，得或，由解得，即有3个不等的实根，作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，所以，所以或， 由有，，解得，即，故A正确； 所以有3个不等的实根， 作出的函数图像： 由图可知：，故B正确；，故C正确；由， ，所以， 由，所以，故D错误， 故选：ABC. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若定义在R上的函数满足，且，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】令，代入运算得解. 【详解】令，可得，又，则. 故答案为：3. 13. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面，. 故答案为：. 14. 㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有______人.（参考数据：，，） 【答案】230 【解析】 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可. 【详解】，则， ， 身高超过180cm的男生的人数约为. 故答案为：230. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求的大小； （2）若，求证：为直角三角形． 【答案】（1） （2） 由（1）知，根据余弦定理得：， 由于，则，所以，则是以为直角的直角三角形. 【解析】 【分析】（1）在中，，结合降幂公式，化简即可得到答案； （2）利用余弦定理，结合，化简即可求证. 【小问1详解】 由于在中，，则， 所以，可化简为：，即， 因为，所以. 【小问2详解】 略 16. 已知数列为等差数列，其前项和为，若. （1）求数列的前100项和的值. （2）设数列的前项和为，求的最小值. 【答案】（1）100 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可得的值，再根据通项关系可得公差的值，从而可得，结合并项求和可得数列的前100项和的值； （2）求解前项和为，从而可得为等差数列，从而根据等差数列求和公式可得前项和为，由二次函数的性质即可得的最小值. 【小问1详解】 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 所以数列的前100项和 . 【小问2详解】 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 17. 随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2020年到2024年充电桩数量y（单位：万个），为方便研究，年份代码用x表示（如：表示2020年），具体参考数据如下表： 55 70.4 19 （1）请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）假设该地区现有10个充电桩，其中6个为快充桩.现随机抽取2个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为X，求X的分布列及均值． （参考公式：，．） 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）首先求出，，再根据公式求解即可. （2）根据题意得到X的可能取值为0，1，2，从而得到，，，再求分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 ，， 因为，， 所以，， 所以回归直线方程为． 【小问2详解】 由题意，X的可能取值为0，1，2， ，， ． X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 18. 四棱锥的底面为正方形，面，动点在线段上， （1）求证： （2）求四棱锥的外接球表面积 （3）求的最小值 【答案】（1） 证明：连接， 因为底面为正方形，所以， 因为面平面，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，故； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据底面为正方形，可得，由面可得，根据线面垂直判定定理可得平面，从而证得结论； （2）将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案； （3）将四棱锥沿剪开得到平面图，根据已知求出各边边长，进而计算面积即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为面，底面为正方形，如图，将该四棱锥补为长方体， 可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为； 【小问3详解】 如图将四棱锥沿剪开得到平面图，连结，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； （3）若有两个零点，求m的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导函数判断函数的单调性. （2）先求出导函数；再根据函数的定义域为，以及函数的极值点在区间内，得出在上有解，列出关于m的不等式组，求解即可. （3）先对m进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，求出最值；再将题目条件转化为恒成立；最后构造函数，利用导函数判断在上单调递增，借助可得出求解即可. 【小问1详解】 当时，，的定义域为. 则， 令，则，即，解得， 令，则，即，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由可得：的定义域为，. 要使函数的极值点在内，需满足在上有解. 因为的定义域为， 所以在上有解， 则，解得， 即m的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，. 则. 当时，有，则，此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则. 又因为当时，；当时，， 所以要使有两个零点，须满足恒成立. 令， 则恒成立；， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以，解得. 综上所述，m取值的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $