湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷数学试题

湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷 数学试题 （范围：人教A版必修二：第十章概率； 选择性必修一：第一章空间向量与立体几何，第二章直线和圆的方程，第三章3.1椭圆） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.如图，正四面体的棱长为，平面，为垂足，，延长交于点，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由平面，平面，得. 化简向量表达式得，拆分点积得，由得第一项为，故原式. 正三角形中，为边上的中线，故，代入化简得原式. 故选：B. 2.在四面体中，点，满足，，记，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， 由得， 由得. 代入整理得，对比得系数，，. 计算得. 故选：D. 3.已知直线，，则“”的充要条件是（） A. B. C.或 D.或 【答案】A 【解析】由得，整理得，解得或. 当时，，，两直线重合，故舍去. 当时，，，满足. 由此可得”“的充要条件是. 故选：A. 4.若圆与圆外切，则（） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 由两圆外切得，代入坐标得，平方化简得，解得，故. 故选：C. 5.从，，，这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】从中随机取两个数，所有基本事件共种， 分别为. 两数之和为偶数等价于两数同奇偶，符合条件的基本事件共种，分别为. 由古典概型概率公式得所求概率. 故选：A. 6.圆与圆的公共弦长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为. 圆的圆心为,半径. 由点到直线距离公式得圆心到直线的距离. 故公共弦长为. 故选:C. 7.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（） A.方程有两个解 B.方程无解 C.的最小值为 D.的最大值为 【答案】A 【解析】由,得. 故表示轴上动点到定点与的距离之和, 即. 作关于轴的对称点,则, 故. 当、、共线时,取最小值, 由两点间距离公式得, 故的最小值为,且. 对于选项A:因为,所以方程有两个解,故A正确. 对于选项B:因为,方程有解,故B错误. 对于选项C:的最小值为,故C错误. 对于选项D:无最大值,故D错误. 故选:A. 8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点和点反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得. . 即. 设，，. 由椭圆定义得. 代入得. 化简得. 由椭圆定义得. 因为. , 故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（） A.若与互斥，则 B.若与相互独立，则 C.若，则事件与相互独立 D.若，则 【答案】ABC 【解析】A选项，与互斥，，故A正确. B选项，与相互独立，，， 故B正确. 由，得，结合，得， 故事件与相互独立，故C正确. 若，则，故，故D错误. 故选：ABC. 10.下列说法正确的是（ ） A.直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D.直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BD 【解析】对，，故直线斜率的取值范围为，故A错误. 对，由直线斜率，，结合条件得， 由正切函数单调性得，故B正确. 对，由方向向量得直线斜率为，结合倾斜角范围为，得直线的倾斜角为，故C错误. 对，直线的斜率为，由得， 从而，设倾斜角为，则，结合得， 故D正确. 故选：BD. 11.已知椭圆，直线.则（） A.当时，直线与椭圆有两个公共点 B.当时，椭圆上到直线的距离为的点恰有个 C.当时，椭圆上的点到直线的最短距离小于 D.当直线与椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点可能为 【答案】AD 【解析】对于A，联立， 化简得，计算判别式得， 由得，此时直线与椭圆有两个公共点， 因为当时，必有， 故当时，直线与椭圆有两个公共点，A正确. 对于B，时，直线， 设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立椭圆方程化简得，令， 解得，计算切线到直线的距离得， 由此可得椭圆上不存在到直线距离为的点，B错误. 对于C，时，直线， 由的结论得，直线与椭圆无公共点，结合的结论得与平行且与椭圆相切的直线为，其中与的距离更小， 计算得距离， 故椭圆上的点到直线的最短距离大于，C错误. 对于D， 设直线与椭圆交点为， 由中联立结果得， 若截得线段的中点为，则， 即， 解得，满足， 代入直线方程得中点纵坐标为，符合条件， 故直线被椭圆截得的线段的中点可能为，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496 497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率分布估计总体分布，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为                  ． 【答案】0.25 【解析】易知袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的袋数为5，故其频率为＝0.25，即其概率约为0.25. 13.已知向量，则在上的投影向量为                   . 【答案】 【解析】由向量投影的定义可知，向量在上的投影向量为， 先计算,得， 再计算,得， 将结果代入公式，得， 因此，投影向量为. 14.已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为                   ． 【答案】2 【解析】圆：，其圆心，半径. 椭圆，设点坐标为. 因为为圆直径，不妨设，. 则，. ， 可得， 将代入上式：， 因为，所以当时，取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数体重（）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生岁）：；女生岁）：；某城市对名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. (1) 求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2) 在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3) 在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取名学生，求这名学生来自同一组学生的概率. 【答案】(1) 解：由频率分布直方图所有组频率和为，得， 解得， 计算得高中生的平均数为. 前三组频率之和为， 故中位数落在内， 设中位数为， 由， 解得， 故中位数为. (2) 解：、、的频率之比为，分层抽样共抽取名学生， 由此可得在的学生中应抽取名. (3) 解：由(2)可知，抽取人，记为，抽取人，记为， 设事件表示抽取的名学生来自同一组. 从人中任取人，总基本事件共种，其中人来自同一组的基本事件共种， 故. 16.如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，为侧棱的中点. (1) 求证：平面； (2) 求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 证明：连接，交于点，正四棱锥底面为正方形，故为中点. 为中点，故，平面，平面，由此可得平面. (2) 解：由正四棱锥性质得平面，底面为正方形故，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 设正四棱锥各棱长为，得，，，，，由此得，，. 设平面的法向量为，由，可取. 设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为. 17.已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】解：(1)设动点,由,得 因为, 所以 整理得, 即 配方得, 故曲线的方程为 (2)曲线表示圆心为、半径为的圆 当直线斜率不存在时, 设直线方程为,圆心到直线距离为,符合相切条件 当直线斜率存在时, 设直线方程为,化为 由圆心到直线距离公式得, 即 平方得, 解得,代入得 综上,切线方程为或 18.如图，在三棱柱中，平面，，，，，，. (1) 求证：. (2) 求直线与平面所成角的正弦值. (3) 在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：由平面，，得两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，，得，，由此得各点坐标，，，，计算得，，，故，即. 由，得，因为，，所以，故，从而，得. 因为平面，平面，所以，结合，，平面，故平面，又平面，所以，结合，平面，得平面，又平面，故. (2) 解：由(1)得，，，设平面的一个法向量为，由，化简得，取，得. 设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为. (3) 解：设，，由，，得，从而. 设平面的一个法向量为，由，取，得，结合平面的法向量，由平面夹角余弦值为，得，化简得，解得或，均满足，故在棱上存在点符合要求，此时或. 19.设，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且 (1) 求点的轨迹C的方程； (2) 设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，试证：的面积为定值． 【答案】(1) 解：由向量定义可知,向量的模为,表示点到点的距离;同理,向量的模为,表示点到点的距离. 已知,即点到两个定点的距离之和为常数,且该常数大于两定点之间的距离,因此点的轨迹是以和为焦点的椭圆. 椭圆的长轴长为,焦距为,故,,从而. 因此,轨迹的方程为. (2) 证明：设直线与椭圆相切,联立与,代入整理得由于直线与椭圆相切,判别式为零, 即化简得. 将直线代入椭圆,整理得设交点为, 则代入,得， 又. 点到直线的距离为， 因此,三角形的面积为， 代入,得， 故的面积为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期期中自编模拟试卷 数学试题 （范围：人教A版必修二：第十章概率； 选择性必修一：第一章空间向量与立体几何，第二章直线和圆的方程，第三章3.1椭圆） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.如图，正四面体的棱长为，平面，为垂足，，延长交于点，则（） A. B. C. D. 2.在四面体中，点，满足，，记，则（） A. B. C. D. 3.已知直线，，则“”的充要条件是（） A. B. C.或 D.或 4.若圆与圆外切，则（） A.2 B.3 C.4 D.5 5.从，，，这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（） A. B. C. D. 6.圆与圆的公共弦长为（） A. B. C. D. 7.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（） A.方程有两个解 B.方程无解 C.的最小值为 D.的最大值为 8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点和点反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（） A.若与互斥，则 B.若与相互独立，则 C.若，则事件与相互独立 D.若，则 10.下列说法正确的是（ ） A.直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D.直线的倾斜角的取值范围是 11.已知椭圆，直线.则（） A.当时，直线与椭圆有两个公共点 B.当时，椭圆上到直线的距离为的点恰有个 C.当时，椭圆上的点到直线的最短距离小于 D.当直线与椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496 497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率分布估计总体分布，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为                  ． 13.已知向量，则在上的投影向量为                   . 14.已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为                   ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数体重（）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生岁）：；女生岁）：；某城市对名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. (1) 求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2) 在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3) 在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取名学生，求这名学生来自同一组学生的概率. 16.如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，为侧棱的中点. (1) 求证：平面； (2) 求直线与平面所成角的正弦值. 17.已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 18.如图，在三棱柱中，平面，，，，，，. (1) 求证：. (2) 求直线与平面所成角的正弦值. (3) 在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19.设，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且 (1) 求点的轨迹C的方程； (2) 设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，试证：的面积为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $