湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期期中数学模拟试卷02

2026-2027学年临澧一中高二（上）期中数学模拟试卷（02） 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量．若，则（　　） A． B．4 C．1 D． 2．若过点，的直线的斜率为，则（　　） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的2倍，则椭圆的离心率（　　） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（　　） A． B． C． D． 5．已知圆，圆，若动圆始终平分圆，的周长，则圆心的轨迹为（　　） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 6．已知直线的倾斜角为，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则在轴上的截距为（　　） A． B． C． D． 7．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．已知，是圆上的动点，且，是圆上的动点， 则的取值范围为（　　） A． B． C．， D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且，不是正方体的顶点，则的长度可能为（　　） A． B． C． D． 10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线恒过点 B．存在使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数使得 11．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（　　） A．点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，， 则△面积的最大值为6 B．曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C．若，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 D．画法几何的创始人加斯帕尔？蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆后，椭圆的蒙日圆方程为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．直线与直线之间的距离为　　 ． 13．在点处作圆的切线，则切线方程为　　 ． 14．空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含、两点），则异面直线与所成角的取值范围为　　 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． （1）求点到直线的距离； （2）求正方形外接圆的标准方程． 16．如图，在直三棱柱中，． （1）证明：； （2）已知的中点是，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 17．已知点，圆． （1）若过点的直线与圆恰有一个交点，求直线的方程； （2）已知点在直线上，若直线与圆相交于，两点，求弦的长． 18．已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，△为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且，直线是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 19．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将△沿折起到△位置，使得平面平面（如图． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年临澧一中高二（上）期中数学模拟试卷(02) 参 考 答 案 1．． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 7．． 8．． 9．． 10．． 11．． 12．． 13．． 14．． 15．（1）点到的距离； （2）正方形的边长为，所以， 即正方形外接圆的半径为， 可得正方形外接圆的标准方程为． 16．（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以； （2）（ⅰ）设，依题设以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，0，，，， ，0，，，， ，， 因为，所以，即，解得， 则，，1，，得，， 设平面的法向量为，则，由，得， 令，所以，又， 所以点到平面的距离； （ⅱ）设平面的法向量为，又，， 则，由，得， 令，所以， 取中点，则，1，，连接，， 因为，，所以， 在△中，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 设，，，则，，，，， 因为，，所以，整理得：， 设与平面的夹角为， 则， 因为，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为． 17．（1）已知点，圆， 则圆心，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切； 当过点的直线存在斜率时，设，即， 根据点到直线的距离公式可得，解得， 则直线的方程为； 综上，过点的圆的切线方程为或； （2）由于点在直线上，则， 解得，所以直线方程为， 则根据点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离为， 所以弦的长． 18．（1）设椭圆的焦距为，则， 当为椭圆上顶点时，，， 因为△为等边三角形，所以，即， 联立解得，，所以， 故椭圆的标准方程为． （2）易知，，由于直线不过点，可设其方程为， 设，，，，，，， 因为点在椭圆上，所以，所以， 由椭圆的第三定义知，，因为，所以， 而椭圆方程可化为 ， 所以， 易知，则，是上述方程的两个根， 即，所以，即，过定点． 19．（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 可得△为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 所以平面， （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 所以，，两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，0，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则，则， 取，得， 平面的一个法向量为， 故，所以二面角的大小为； （3）设，则，，1，，， 得，，，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为，与平面所成角的正弦值为， 即，化简得，解得舍去） 故存在，使得与平面所成角的正切值为． 学科网（北京）股份有限公司 $