精品解析：山东省青岛第十七中学2026-2027学年第一学期高二年级素养能力测试（一）数学试题

青岛十七中2026-2027学年第一学期高二年级素养能力测试（一） 数学试题 2026.10 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 2. 平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】方程表示动点 到两个定点和之间的距离之和为定值， 根据椭圆的定义可以知道，,, ，焦点在轴上，∴动点的轨迹方程为 . 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，结合双曲线渐近线方程的概念即可求出答案. 【详解】将双曲线化为标准方程为， 所以，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 4. 已知直线，直线，若，则（ ） A. 或 B. 或2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵，∴由一般方程满足的条件可得，解得. 5. 已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为， 圆的半径为， 故所求圆的方程为. 故选：D. 6. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则， 因此，即，解得， 故选：C 7. 过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率. 【详解】设点， 则有，两式做差后整理得， 由已知， ，又， ， 得 故选：B 8. 设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可. 【详解】由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆M的圆心坐标为 C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切 D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 故选：AB 10. 平面内与两定点，连线的斜率之积等于常数的点的轨迹，加上两点构成曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 C. 当时，曲线的离心率随着的增大而增大 D. 当时，曲线的焦点坐标为， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件求得曲线的方程，对进行分类讨论，结合椭圆、双曲线、离心率、焦点等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】设动点，则，化简得， 加上，，则曲线的方程为． 当时，曲线是圆，故A错误； 当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，故B正确； 当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）， 离心率，随的增大而减小，故C错误； 当时，曲线表示的焦点在x轴上椭圆， 焦点的坐标为，； 当时，曲线表示的焦点在x轴上双曲线，焦点的坐标为，；故D正确. 故选：BD 11. 截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆 B. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为 C. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点 D. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据截面与母线所成的角可知截面与旋转轴垂直判断A，根据截面与圆锥的旋转轴夹角为60°可判断曲线为椭圆，利用长轴的性质判断D，建立平面直角坐标系，求出椭圆方程，求出焦点坐标及离心率判断BC. 【详解】对于A，当截面与圆锥一个轴截面的一条母线夹角为60°且与该轴截面的另一条母线平行线时， 所以所得曲线是不是圆，A错误； 对于BCD，根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆， 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该截面与圆锥的一条母线垂直， 设与截面垂直的母线垂足为A，平面SAM交椭圆曲线的另一交点为B， 由对称性知AB为该椭圆的长轴端点．如图， 在直角三角形SAB中，由，，， 则有，，，，， 所以该曲线上任意两点之间的最大距离是长轴长，故D正确； 再过M作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作MP垂直于平面SAB，交椭圆于点P，则， 如图， 在截面上取AB中点为坐标原点，方向为x轴正向，建立平面直角坐标系， 则，，， 由MP垂直于平面SAB知MP垂直于x轴，则， 设椭圆方程为，将代入得：，最后可得， 由于，所以不是椭圆的焦点，故C错误； 即椭圆离心率为，故B正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设对称圆的圆心坐标为， 由题意得，，解得， 对称圆的圆心坐标为，半径为2，对称圆的方程为． 故答案为：． 13. 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：当过点P的直线与直线l平行且与椭圆相切时，点P到直线l的距离取得最小值；方法二：应用三角换元设，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求解最小值即可. 【详解】方法一：设，即， 与椭圆C的方程联立，得． ，∴， 当时，点P到直线l的距离为， 即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为． 方法二：设， 由点到直线距离公式 ∵，∴ ∴，∴． 故答案为：. 14. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再在中利用余弦定理及椭圆的定义求出，进而得到为直角三角形，利用中角的关系可求出，再通过求出点坐标，则直线方程可求. 【详解】如图，设的角平分线与轴交于点， ， ， 设， 则，解得 ，即为直角三角形 又，， ， ， 当时，，得，， ，即 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线经过，两点． （1）求C的标准方程； （2）若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入双曲线的方程，得到方程组，即可求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线的方程得出，根据韦达定理可得出，所以.进而由，表示出点的坐标，代入双曲线即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，，解得， 所以C的标准方程为. 【小问2详解】 设，，. 联立直线与双曲线的方程， 整理可得. 由韦达定理可得，所以. 所以，. 则由可得，，解得，即. 因为点在双曲线上，所以有，整理可得，解得. 16. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合（为坐标原点）的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 题意可知，椭圆的短轴长为， ∴，．又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则，， 所以 ， 又由点到直线的距离， 故的面积， 解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 17. 已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． （1）求圆C的方程； （2）证明：直线AB恒过定点； （3）过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B，故， 由平面几何可知P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径， 设P、A、C、B所在圆为圆E，设，设圆E上任一点， 则， ∴圆， 与圆C：联立得， ∴得：，， ∴AB过定点． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）圆心在直线上，代入得到方程，解得，得到圆C的方程； （2）P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，求出此圆的方程，与圆C：联立得直线AB的方程，求出AB过定点； （3）假设存在Q，当MN斜率存在时，设，联立与圆的方程，由韦达定理得到方程，根据MQ、NQ斜率之积为1得到方程，求得，上述对恒成立，故，，求出，当MN斜率不存在时，可知，，得到满足题意，综上，可得满足要求. 【小问1详解】 ∵圆C关于直线对称， ∴圆心在直线上， ∴，解得， ∴圆的方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在点，理由如下： 假设存在Q，使得MQ、NQ斜率之积为1． 设，，， 当MN斜率存在时，设，则，， 联立与得， 则， ∴， 变形得到， 即， 化简得 ∵上述对恒成立， ∴，故，∴， 当MN斜率不存在时，中，令得， 可知，， 由得，， 所以满足题意． 综上，存在点使MQ、NQ斜率之积为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛十七中2026-2027学年第一学期高二年级素养能力测试（一） 数学试题 2026.10 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，直线，若，则（ ） A. 或 B. 或2 C. D. 5. 已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆M的圆心坐标为 C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切 D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2 10. 平面内与两定点，连线的斜率之积等于常数的点的轨迹，加上两点构成曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 C. 当时，曲线的离心率随着的增大而增大 D. 当时，曲线的焦点坐标为， 11. 截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆 B. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为 C. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点 D. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 圆关于直线对称的圆的方程为______． 13. 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为______． 14. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为__________. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线经过，两点． （1）求C的标准方程； （2）若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值． 16. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 17. 已知圆关于直线对称，直线，点P在上运动．直线PA、PB分别与圆C相切于点A、B． （1）求圆C的方程； （2）证明：直线AB恒过定点； （3）过点的直线与圆C交于M、N两点（点M在直线上方）．在上是否存在定点Q使直线MQ、NQ的斜率之积为1？若存在，请求出Q的坐标．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $