四川成都市树德中学2026-2027学年高三上学期数学周考试题（四）

树德中学高2024级数学周考试题（四） 命题人：张世军 审题人：姚廷辉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，则（   ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 2．已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4、已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三个社区开展活动，某中学派出五名学生参与活动，若每个社区都要有该校学生参与活动，且乙社区只需要一名该校学生参与活动，则不同的安排方式共有（    ） A．60种 B．70种 C．100种 D．120种 7．已知函数，若存在，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上有2个零点 C．在上是增函数 D．的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为 D．若与圆相交于两点，且，则 10．设 ，则（    ）． A．当 为奇函数时， 不是单调函数 B．当 为奇函数时，的值域为 C．当 为偶函数时， D．当 为偶函数时，的最小值为-1 11．已知数列共有项，且每一项为或，若存在正整数（），使得，则称该数列为“完美数列”．设项数为的“完美数列”的个数为，则（    ） A．数列，，是“完美数列” B． C．以为首项的“完美数列”的个数为 D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．设复数z的共轭复数是，若复数，，且为实数，则实数的值为_______． 13．已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________. 14.三棱锥中，，，是边长正三角形，为，则外接球表面积为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知． (1)（7分）求函数的最小正周期以及单调区间； (2)（6分）若，求的最大值和最小值． 16．某市青少年古诗词大会比赛的海选环节，进入预赛的条件为：电脑随机抽取5首古诗，参赛者能够正确背诵3首及以上的进入预赛．若王同学参赛，他背诵每一首古诗正确的概率均为． (1)（5分）求王同学进入预赛的概率； (2)（10分）王同学进入了预赛，此后的比赛采用积分制计算个人成绩，电脑随机抽取3首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分．由于难度增加，王同学背诵每首古诗正确的概率为，设王同学的得分为X，请写出X的分布，并求出王同学得分的数学期望． 17．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点． (1)（4分）求椭圆的长轴长和离心率； (2)（5分）求的面积的最小值； (3)（6分）证明：，，三点共线． 18．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. (1)（4分）证明：平面； (2)（5分）证明：平面平面BEF； (3)（8分）求二面角的正弦值. 19．对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． (1)（4分）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． (2)（6分）若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． (3)（7分）若函数，求的最大值与俏值． 树德中学高2024级数学周考试题（四）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C A C B D D BCD BD ACD 7．D【详解】令，，则或，令，，则，又，，所以，，因为，所以，.故选：D 8．D【详解】对于A，，不是的周期，A错误；对于B，由，得，解得或，而，则或或，即在上有3个零点，B错误；对于D，当时，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上为单调递减，而，，则函数在上的最大值为，，是的周期，因此函数的最大值为，D正确；对于C，由选项D，得函数在上单调递增，在上为单调递减，C错误. 11．ACD【详解】A选项，数列，，的项数是，时，，因此数列，，是“完美数列”，故A正确； B选项，数列项数为，数列的每一项为或，不合题意；，，此时（数列有个：，，，）；，（此时不可以有，否则），则分别为或或，第项可以为也可以为，这样的数列共有个，（实际上此时已经可能判定B选项错误）；，即，数列只能为共1个，所以，故B错误； C选项，以为首项的“完美数列”，，存在正整数（），使得，则，即存在正整数（），使得，所以数列（共项）是“完美数列”，共有个，故C正确； D选项，数列是“完美数列”，则存在正整数（），使得，若，则C选项知，个数为，若，则，显然这里（否则若，），因此对数列（共项），存在正整数，使得，即数列是“完美数列”，而有两种取法：或，因此共有个，所以，故D正确． 12． 13．【详解】因为为偶函数，所以，所以，化简得：，则，所以，，令，解得：，即：在单调递增，在单调递减，所以，且当时，，时，，若有两个零点，则需满足，即：，所以的取值范围为. 14． 15、【详解】（1）的最小正周期为.由，解得，所以的单调递增区间为， ，解得，所以的单调递减区间为. （2）当 时，则 ，则，.即的最大值为，最小值为. 16．【详解】（1）记事件A表示“王同学进入预赛”，则， 故王同学进入预赛的概率为． （2）X的所有可能取值为6、3、0、-3，则，，，， 所以X的分布为 6 3 0 所以． 17．【详解】（1）因为椭圆C：，所以，所以，所以长轴长为：，离心率. （2）由题意知，.设,因为，所以，,,所以，即，，因为，所以异号，则，当且仅当 时等号成立，所以的面积的最小值为1. (3)证明：设，由得，，直线的方程为， 代入椭圆方程中得：，由于是椭圆上的点，所以方程有一个根为，根据韦达定理，，即，代入直线的方程得，同理，可得点坐标：，，观察坐标可知，与关于原点 对称，所以，，三点共线. 18．(1)连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面. (2)由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面. (3).过点作交于点，设，由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有， ，解得，同理得，于是，即有，则，从而，， 在中，，于是，，所以二面角的正弦值为. 19．(1)对，，当且仅当时等号成立， 因此，函数在上有最小值，故函数为俏函数，是的一个俏值， 对任意大于的正整数，函数在上有最小值，故都不是的俏值， 综上所述，是俏函数，且是其唯一的俏值. (2)是俏函数，理由如下：设，的图象可由的图象向右平移个单位得到， 因为定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增，所以定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增，不妨设，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上有最小值，又因为的值域为，所以，故是俏函数，是它的一个俏值. （3）经化简，函数， 设，则由基本不等式得当且仅当时等号成立， 对，，，则恒成立， 所以的图象关于对称，对，且， 则， 因为，所以，，即， 因此，即，因此在上单调递减，在上单调递增， 且代入可得，，，可大致画出图象， 因此存在，使得，此时可取最大值； 由二次函数的性质可知，在时单调递增，在时单调递减，即越大，则越小，而，，， 而当时，且单调递增，所以单调递增， 因此对于， 当时，，所以此时在区间上没有最小值； 当时，此时有最小值，所以是的一个俏值； 当时，此时有最小值，所以不是的俏值； 当时，因，所以，所以都不是的俏值. 综上所述，的最大值为，俏值为. 试卷第2页（共6页） 2 学科网（北京）股份有限公司 $