精品解析：四川省成都市树德中学2026-2027学年高三上学期9月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2021 3. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 15 D. 11 4. 曲线在点 处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 5. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数在区间的值域为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则实数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题中，其中正确的命题是（ ） A. 随机变量，则 B. 已知，，则 C. 随机变量，若，则， D. 以模型拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.2. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 是公差为2的等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 14. 已知，，且，则的最小值是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 16. 已知在中，，其中内角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值； （ii）直线过线段的中点． 19. 已知函数． （1）证明：当时，；当时，． （2）正项数列满足：，，证明： （i）数列递减； （ii）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是. 故选：C 2. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可知，自变量互为相反数时，函数也互为 相反数. 【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则. 故选：A. 3. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 15 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】数列为正项等比数列，所以， ，得. 又，得. 所以. 4. 曲线在点 处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，计算当时，，根据导数的几何意义即可得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在点处的切线斜率为2， 所以直线的斜率为，即，解得， 故选：A 5. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【详解】原式 ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体. 6. 已知函数在区间的值域为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数在上为奇函数知对称中心为，根据平移可知函数图象的对称中心，即可求解. 【详解】因为在上为奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 因为， 是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到， 所以图象关于对称，则， 故选：C 【点睛】本题主要考查了奇函数的对称性，函数图象的平移，利用对称性求解问题，属于中档题. 7. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图： 设双曲线的左焦点为，根据双曲线的对称性可得：，且. 所以. 结合双曲线的定义，，. 在中，. 由余弦定理，， 整理得：，所以. 8. 已知，则实数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案. 【详解】令，其在R上单调递减， 又， 由零点存在性定理得， 则在上单调递减， 画出与的函数图象， 可以得到， 又在R上单调递减，画出与的函数图象， 可以看出， 因为，故，故， 因为，故， 由得，． 综上，． 故选：D． 【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系； （2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； （3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题中，其中正确的命题是（ ） A. 随机变量，则 B. 已知，，则 C. 随机变量，若，则， D. 以模型拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.2. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据二项分布的均值公式易判断；B选项，根据条件概率的计算公式可判断；C选项，根据正态分布的概念以及随机变量间均值方差公式易判断；D选项，代入运算对比可判断. 【详解】A选项，，，故A正确； B选项，由条件概率的计算公式，， 故B错误； C选项，，，，又 ，，，故C正确； D选项，，又， ，即，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 是公差为2的等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A正确； 对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】抛物线的焦点在直线上，则，解得， 对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确； 对于B，由，解得或，， ，为正三角形，B正确； 对于C，由选项B得，，，C错误； 对于D，点到直线的距离，，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“答完4题结束游戏”的条件，算出事件的概率；再结合“第2题答对”的限制，算出事件的概率；最后代入公式，即可得到所求概率. 【详解】设事件为“答完4题就结束游戏”，事件为“第2题答对”， 则所求为条件概率 ， ， ， 所以. 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 14. 已知，，且，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，均在圆心为原点，半径为的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解即可. 【详解】解：由题知，三点共圆，圆心为坐标原点，半径为， 所以，， 设， 数形结合可得在上的投影， 所以，，即， 故当，时有最小值，此时. 当时，时有最大值， 所以， 综上，的取值范围是， 所以，的最小值是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)通过证明平面，从而得到； (2)方法1，利用等体积法求解；方法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 在正三棱柱中， 因为是正三角形，是的中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 【小问2详解】 方法一： 在正中，因为，所以，． 连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角， 所以，所以． 在正三棱柱中，，， 所以，． 在中，由余弦定理， 得，所以， 所以的面积． 设点到平面的距离是，则， 解得，所以点到平面的距离是． 方法二： 设，过作交于点， 由（1）平面，平面，所以． 又因为， 所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． ,,, 设，因为平面， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以，所以． 因为，， 设平面的法向量， 因为，令，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以， 所以点到平面的距离是． 16. 已知在中，，其中内角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）的最大值为18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故； （2）由余弦定理得，由基本不等式求出最大值 【小问1详解】 由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 可得， 化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以； 【小问2详解】 在中，根据余弦定理． 因为为中点，设，已知， 则，即． 根据基本不等式（当且仅当时取等号）． 所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 ， （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【小问1详解】 该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; 【小问2详解】 从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值； （ii）直线过线段的中点． 【答案】（1） （2） （i）①当直线的斜率为0时，则不妨设，， 所以为定值. ②当直线的斜率不为0时，设直线，，， 联立直线与椭圆的方程，消去整理得， 则，，，所以， 所以 . 综上，为定值. （ii）设线段的中点为，易得， 可得直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 所以， 由（i）知，，所以， 又直线的方程为，所以点在直线上， 即直线过线段的中点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）当直线斜率为0时，.当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. （ii）设线段的中点为，求出直线的方程，直线的方程，结合，可得，可证点在直线上. 【小问1详解】 由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点睛：本题第二问证明为定值，解题的关键是设直线与椭圆的方程，解得，代入的式子化简得解. 19. 已知函数． （1）证明：当时，；当时，． （2）正项数列满足：，，证明： （i）数列递减； （ii）． 【答案】（1）设， 则， 令得， 令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 即， 则当时，即； 时，即. （2）（i）因为数列各项为正， 要证数列递减，只需证明， 即证，又， 所以即证， 令， 不等式化为， 设， 则，恒成立， 故在上单调递增， 则恒成立， 即在上恒成立， 则原命题得证. （ii）先证明：， 即证， 设， 则 ， 所以在上单调递增， 则，则所证不等式成立. 又，， 所以，， 所以，， 则当时， ， 又当时， ， 故成立. 【解析】 【分析】（1）先证明，继而可得结论. （2）（i）要证数列递减，只证，即证，换元后，利用导数证明即可；（ii）先证，继而得，则，根据条件，求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略【点睛】 本题第一问的关键点是：先证明，继而分和，变化不等式，可得到结论；本题第二问的关键是（i）：构造不等式，不等式化为， 利用换元法，设，构造函数，利用导数证明；（ii）先证明，继而得到，，再结合等比数列的前和求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $