四川省成都市树德中学2026-2027学年高三上学期9月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题参考答案 1．C 2．A 3．D 4．A 5．D 6．C 7．B 8．D 9．AC 10．ABC 11．ABD 12．， 13．， 14．， 15．解（1）在正三棱柱中，因为是正三角形，是的中点，所以．又因为平面，平面，所以．因为，，平面，所以平面．因为平面，所以． （2）方法一：在正中，因为，所以，．连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角，所以，所以． 在正三棱柱中，，，所以，． 在中，由余弦定理，得，所以，所以的面积．设点到平面的距离是，则，解得，所以点到平面的距离是． 方法二：设，过作交于点，由（1）平面，平面，所以．又因为，所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，设，因为平面，所以是平面的一个法向量．因为，所以，所以．因为，，设平面的法向量，因为，令，则，，所以是平面的一个法向量．因为，所以，所以点到平面的距离是． 16．解（1）由正弦定理（为外接圆半径）， 将，，代入， 可得，化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得．因，所以； （2）在中，根据余弦定理．因为为中点，设，，已知，，则，即．根据基本不等式（当且仅当时取等号）．所以，即，当且仅当时取等号．将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 17．解（1）该样本中学生分数为优秀的频率，故优秀的人数为人； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中分数在的人数为．若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2．，，，则的分布列为： 0 1 2 所以． （3）由题意知，，则，，，，，．令，当，解得． 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大． 18．解． （1）由题可知：，解得，所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）①当直线的斜率为0时，不妨设，，所以为定值． ②当直线的斜率不为0时，设直线：（），，， 联立直线与椭圆的方程，消去整理得， 则，，，所以， 所以 ．综上，为定值． （ⅱ）设线段的中点为，，易得，可得直线的方程为，则，直线的方程为，则， 所以， 由（ⅰ）知，，所以， 又直线的方程为，所以点在直线上，即直线过线段的中点． 19．解：（1）设（），则，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，则当时，即；时，即． （2）（i）因为数列各项为正，要证数列递减，只需证明，即证，又，所以即证，令，不等式化为，设，，则，恒成立，故在上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，则原命题得证． （ii）先证明：，（），即证，设，，则，（）所以在上单调递增，则，则所证不等式，（）成立．又，，所以，，所以，，，，当时，，当时，，故成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A．10 B．16 C．15 D．11 4．曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．求值：（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在的值域为，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知是双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，则实数，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题中，其中正确的命题是（ ） A．随机变量，则 B．已知，，则 C．随机变量，若，则， D．以模型拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和． 10．已知数列的前项和，则（ ） A．是公差为2的等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 11．已知抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，点在第一象限，过点，作的准线的垂线，垂足分别为，，则（ ） A．的方程为 B．为正三角形 C． D．的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某数学答题闯关游戏，共5道题；若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为                        ． 13．已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为                                    ． 14．已知，，且，则的最小值是                                    ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 16．（本题满分15分）已知在中，，其中内角，，的对边分别为，，． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 17．（本题满分15分）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为100分，得分不低于80分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组： ，，，，，统计结果如图所示． （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50名学生的分数相互独立．记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值． 18．（本题满分17分）已知椭圆：（）的离心率为，点在上． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值； （ii）直线过线段的中点． 19．（本题满分17分）已知函数． （1）证明：当时，；当时，． （2）正项数列满足：，，证明： （i）数列递减；（ii）． 学科网（北京）股份有限公司 $