精品解析：山东省烟台市祥和中学2026-2027学年八年级第一学期数学第一次学情检测

山东省烟台芝罘区祥和中学2026-2027学年 八年级第一学期数学第一次学情检测 一．选择题（共11小题） 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式 B. 当，分式有意义 C. 当时，分式的值为0 D. 与的最简公分母是 3. 下列等式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列算式不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的10倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 无法确定 7. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1 8. 如果，那么代数式的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 9. 无论、取何值，多项式的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定 10. 已知：（且），，，…，，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 12. 当__时，分式的值为0． 13. 如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 14. 关于的代数式分解因式得，则的值为______． 15. 当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式． 16. 已知，则＝______. 三．解答题（共7小题） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中x满足． 20. 先因式分解，再求值：，其中，． 21. 先化简，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值. 22. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4） 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn； （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 23. [阅读材料]如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则． ∵对任意x上述等式均成立，∴且，∴． ∴， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． [方法运用] 求： （1）如果分式的值为整数，求x的整数值． （2）当时，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台芝罘区祥和中学2026-2027学年 八年级第一学期数学第一次学情检测 一．选择题（共11小题） 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式 B. 当，分式有意义 C. 当时，分式的值为0 D. 与的最简公分母是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，是基础知识，需熟练掌握． 根据分式的定义、分式有意义的条件、分式的值为零的条件分别判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故本选项不符合题意； B、当，，故分式无意义，故本选项不符合题意； C、当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D、与的最简公分母是，故本选项不符合题意． 故选C． 3. 下列等式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，需要根据分式的基本性质对每个选项进行分析判断． 【详解】解：例如，当，，时， ∴以A选项错误． 当时，的分母为，分式无意义，此时变形不成立． 所以B选项错误． 在分母位置， ， ， 分子分母同时除以，分式的值不变，即 ∴C选项正确． 当和异号时，例如，，，，此时 所以D选项错误． 故选：C． 4. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简分式的定义判断即可．此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式． 【详解】A、 原式为最简分式，符合题意； B、，不合题意； C、，不合题意， D、原式=，不合题意． 故选A． 5. 下列算式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键． 【详解】解：A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项错误，符合题意． 故选：D． 6. 如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的10倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 把分式中的和都扩大为原来的10倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的10倍， 得到的新分式为：， 即分式的值缩小为原来的． 故选B． 7. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C． 考点：因式分解. 8. 如果，那么代数式的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算乘法，再由，可得，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 故选：C 9. 无论、取何值，多项式的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵≥1＞0， ∴多项式的值总是正数． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 10. 已知：（且），，，…，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算前几项确定数列的循环周期，结合余数对应到目标项． 【详解】解：∵ ， ∴， ， ， ∴ 数列的循环周期为3， ∵ ， ∴ ． 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将化为，然后求的倒数的值，最后求的值的倒数即可． 【详解】解：先将两边同时除以x得， 再将移到方程右侧得， 两边平方得， 即， ， ∴的值为的倒数即， 故选B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，倒数的应用及代入求值，求出的值是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 12. 当__时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】由分式的值为0可得，且，从而可得答案． 【详解】解：分式的值为0， ，且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0时，分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 13. 如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 14. 关于的代数式分解因式得，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查知识点多项式乘法、因式分解与整式乘法的互逆性、代数式求值．展开因式，对比系数求参数．关键：准确展开因式并匹配对应项系数．易错点：展开时符号错误；负指数幂运算出错． 先展开得；再与对比，得，；最后计算． 【详解】解： 因为， 所以对应项系数相等：二次项系数：；一次项系数：． 因此． 故答案为：． 15. 当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式． 【答案】±140 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵100－kxy+49＝是一个完全平方式， ∴k＝±140， 故答案为：±140． 【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式中和的平方等于平方和加乘积的二倍，差的平方等于平方和减乘积的二倍． 16. 已知，则＝______. 【答案】1 【解析】 【详解】∵=4, ∴, ∴a+b=4ab, ∴====1 故答案为:1. 三．解答题（共7小题） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用提公因式法因式分解即可； （4）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质； （1）首先通分，再合并同类项，再约分运算，即可得到答案； （2）首先通分，再合并同类项，再结合平方差公式进行约分化简，即可得到答案． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 20. 先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：利用平方差公式法进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 21. 先化简，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值. 【答案】,当x＝0时，原式＝（或：当x＝－2时，原式＝）. 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式=×=． x满足﹣2≤x≤2且为整数，若使分式有意义，x只能取0，﹣2． 当x=0时，原式=﹣（或：当x=﹣2时，原式=）． 【点睛】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 22. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4） 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn； （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解． （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn =（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2） =（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2 =（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n） （2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0 ∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是：a﹣b=0，a﹣c=0， 所以,a=b=c． 即：△ABC的形状是等边三角形． 【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点． 23. [阅读材料]如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则． ∵对任意x上述等式均成立，∴且，∴． ∴， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． [方法运用] 求： （1）如果分式的值为整数，求x的整数值． （2）当时，求出的最小值． 【答案】（1）x的整数值为2，0，4，-2． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，整式的混合运算，利用新定义的变形方式是解答本题的关键． （1）将分式变形为，根据的值为整数，且x为整数，得到为3的约数，进而得到的值为1或-1或3或-3，由此可求出x的整数值； （2）利用题中的方法将进行变形后，得到，由于，故当时，取得最小值． 【小问1详解】 解：， 的值为整数，且x为整数， 为3的约数， 的值为1或-1或3或-3， x的整数值为2，0，4，-2． 【小问2详解】 解：由分母为，可设， 则， 对任意x上述等式均成立， ，， 解得：， ， ， 当，取得最小值10， 当时，的最小值是10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $