精品解析：上海市宝山中学2026-2027学年第一学期第一阶段测试高二数学试卷

2026-2027学年第一学期（宝山中学）阶段测试高二数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. “点A不在直线l上”用符号语言可以表示为________． 2. 函数的最小正周期是___________． 3. 已知为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于第__________象限． 4. 在等差数列中，若首项，公差，则________． 5. 若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为___________. 6. 已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 7. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，大小为________. 8. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则平面四边形的周长为______． 9. 已知点A和点B到平面的距离分别为3和1，则线段AB的中点M到平面的距离是__________． 10. 已知E，F，G，H顺次为空间四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，若，则________． 11. 如图1，某款文件边角夹是由两个全等的，直角边长为厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成，图2展示了该文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为_____（结果精确到） 12. 已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 空间四个不重合的点，则“四点共面”是“有三点共线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 已知用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫做截面，则过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形 15. 已知两条直线m、n和两个平面、，下列命题中真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，，则 D. 若，则 16. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分） 17. 如图，在正方体中，分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. 已知平面向量，． （1）若，求实数m的值和； （2）若，求实数m的值和． 19. 已知函数的表达式为，． （1），求的值； （2）若，，依次成等比数列，求的值． 20. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，点P在平面外且平面． （1）求点到平面的距离； （2）求证：平面平面； （3）若，求二面角的余弦值． 21. 如图，在四面体ABCD中，平面平面BCD，O是BD的中点， （1）求证：； （2）连接OC，若是边长为1的等边三角形，，求异面直线AB与CD所成角的大小；（用反三角表示） （3）在（2）的条件下，若E是射线DA上的动点，求直线CE与平面BCD所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期（宝山中学）阶段测试高二数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. “点A不在直线l上”用符号语言可以表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】“点A不在直线l上”用符号语言可以表示为“”. 2. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 3. 已知为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于第__________象限． 【答案】二 【解析】 【详解】由， 故复数在复平面上对应的点坐标为，在第二象限. 4. 在等差数列中，若首项，公差，则________． 【答案】145 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式计算即可. 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以. 5. 若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合直线与平面所成角的定义，即可求解. 【详解】如图所示，是平面的斜线，平面，且， 因为平面，所以即为与平面所成的角， 在直角中，， 因为，所以，即斜线与平面所成的角为. 故答案为：. 6. 已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 【答案】 平行 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理判断即可. 【详解】由，可得直线，， 又，则和没有公共点， 又，同在平面内，因此. 7. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意,将几何体复原,根据正方体的性质可得△的形状,从而可得结果. 【详解】几何体复原如图所示: 则△是正三角形,所以. 故答案为 :. 【点睛】本题考查了由几何体的展开图复原几何体,考查了空间想象能力,正方体的结构特征,属于基础题. 8. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则平面四边形的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，结合直观图中矩形的性质及边角关系，还原出原平面四边形的几何特征及各边长度，进而求得周长 【详解】由题意可知，直观图为矩形，且，． 由图可知，在轴上，在轴上． 因为四边形是矩形，所以，即轴． 在中，，， 所以，． 根据斜二测画法的规则可知原图形中， 点在轴上，、点在轴上，且． ， ， ． 直观图中且，还原后且． 直观图中且，还原后且． 在中，由勾股定理得：． 所以．又因为， 所以平面四边形的周长为． 9. 已知点A和点B到平面的距离分别为3和1，则线段AB的中点M到平面的距离是__________． 【答案】1或2 【解析】 【分析】分点A和点B在平面同侧和异侧两种情况进行求解. 【详解】过点作，过点作，则， 如图1，当点A和点B在平面同侧时， 线段AB的中点M到平面的距离， 如图2，当点A和点B在平面异侧时， 过点作的平行线，延长交于点，延长交于点， 则， 其中， 线段AB的中点M到平面的距离为， 综上，线段AB的中点M到平面的距离为1或2. 10. 已知E，F，G，H顺次为空间四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到四边形为平行四边形，且，，，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】 如图连接， 因为顺次为空间四边形四条边的中点， 所以，，得到， 则四边形为平行四边形，且，， 在中，由余弦定理知①， 在中，由余弦定理知②， 又，由①②得到， 又，，得到. 11. 如图1，某款文件边角夹是由两个全等的，直角边长为厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成，图2展示了该文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为_____（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由题知直角顶点到中位线的距离为 ，再结合纸张的厚度与二面角的平面角的关系求解即可. 【详解】因为等腰直角三角形的直角边长为，所以斜边上的高为， 因为中位线平行于斜边， 所以直角顶点到中位线的距离为， 设边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角为， 则纸张的厚度为 ，即 ， 因为边角夹按压后能够夹起总厚度为厘米的一沓纸张， 所以 ，解得 ， 所以，所求二面角的平面角至少为. 12. 已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】结合等角定理，分、、、、与进行讨论即可得. 【详解】过点作异面直线、的平行线、， 则直线、交成、两个角； 当时，直线不存在； 当时，直线只能是直线、所夹角的平分线，故有1条； 当时，过点在空间可作2条直线与直线、均成角； 当时，直线可以是120°角的平分线，再加上前一情况的2条，此时共有3条； 当时，过点在空间可以作4条直线与直线、均成角； 当时，存在唯一一条直线与、都垂直，故有1条. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 空间四个不重合的点，则“四点共面”是“有三点共线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】空间四个不重合的点，例如平行四边形四点共面，但没有三点共线，所以充分性不成立， 反之，空间四个不重合的点，若三点共线，则四点一定共面，即必要性成立， 所以空间四个不重合的点，则“四点共面”是“有三点共线”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 已知用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫做截面，则过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形． 15. 已知两条直线m、n和两个平面、，下列命题中真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：在长方体中，取特殊平面，和直线m、n进行否定.对于A：取平面ABCD为平面，取直线为直线，取直线为直线，否定结论；.对于B：取平面为平面，平面为平面，取直线为直线，否定结论；.对于C：取平面为平面，平面为平面，取直线为直线，取直线为直线，其中分别为的中点，否定结论； 对于D：根据线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，二面角的定义证明结论. 【详解】 对于A：在长方体中，取平面为平面，取直线为直线，取直线为直线，满足，，但是，而不是，.故A错误. 对于B：在长方体中，取平面为平面，平面为平面， 取直线为直线，平面平面，即直线与直线为同一直线， 满足，，但是为异面直线，而不是.故B错误. 对于C：在长方体中，取平面为平面，平面为平面， 取直线为直线，取直线为直线，其中分别为的中点， 满足，，，，但是，而不是，.故C错误. 对于D：如图所示，过点作， 因为，可得， 设，可得，所以， 又因为，平面， 所以平面，设直线平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，因为，所以， 在矩形中，可得，所以，即，所以D正确. 16. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可知①为真命题，利用线面垂直可得②为真命题. 【详解】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以， 因为平面ABD，平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确； 如图，取中点，则（菱形对角线垂直）， 又，且两直线在平面内，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以②正确； 故选：． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分） 17. 如图，在正方体中，分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明 或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为 且，所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以或其补角即为异面直线与所成的角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 18. 已知平面向量，． （1）若，求实数m的值和； （2）若，求实数m的值和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可得到，再由向量的模长公式代入计算即可得到结果；（2）由向量垂直的坐标运算即可得到，再由向量的夹角公式代入计算即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，解得， 则， 所以. 【小问2详解】 ， 由可得，解得， 则，， ，， 所以. 19. 已知函数的表达式为，． （1），求的值； （2）若，，依次成等比数列，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，，得， 则. 【小问2详解】 由，，， 因成等比数列，故， 即，得； 若，，依次成等比数列，则； 所以，，又，故，此时，，依次 为，符合题意； 综上，. 20. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，点P在平面外且平面． （1）求点到平面的距离； （2）求证：平面平面； （3）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2），， 即有，故， 由平面，且平面，故， 又，且、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，即的长度即为点到平面的距离，即可得解； （2）借助勾股定理的逆定理可得，再利用线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，即可得证； （3）借助二面角定义可得即为二面角的平面角，再利用三角函数计算即可得. 【小问1详解】 由平面，且平面，故， 又，且，、平面， 故平面，故的长度即为点到平面的距离， 即点到平面的距离为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面，， 又平面，故， 又平面平面， 故即为二面角的平面角， 由平面，且平面，故， 故， 即二面角的余弦值为. 21. 如图，在四面体ABCD中，平面平面BCD，O是BD的中点， （1）求证：； （2）连接OC，若是边长为1的等边三角形，，求异面直线AB与CD所成角的大小；（用反三角表示） （3）在（2）的条件下，若E是射线DA上的动点，求直线CE与平面BCD所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）因为，O是BD的中点，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又平面,所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再由线面垂直得到线线垂直； （2）先建系表示出，，再结合异面直线所成夹角公式即可求解； （3）设，则，结合（2）中的条件求得，当时，，将分母利用换元法得到即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面,故.. 因为是边长为1的等边三角形，O是BD的中点，所以， 又，在中：. 以O为原点，OD所在的直线为x轴，在平面BCD内过O且垂直于OD的直线为y轴，OA所在的直线为z轴， 建立空间直角坐标系. 则，，， ，. 设异面直线AB与CD所成角为，则 故异面直线AB与CD所成角的大小为. 【小问3详解】 设，则， 平面BCD的法向量为， 设直线CE与平面BCD所成角为，则 当时，； 当时，， 令，则， 当即时，有最小值为， 此时取最大值为， 故直线CE与平面BCD所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】本题压轴小问是线面角的最值问题，采用空间向量坐标法求解，关键点拨：参数化动点→向量写出线面角表达式→换元转化二次函数求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $