2.4.1圆的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 · 选择性必修第一册 · 第二章 直线和圆的方程 圆的标准方程 2.4.1　导学课件 圆心定位置，半径定大小——把熟悉的图形，翻译成可计算的方程 概念 · 方程 位置判定 最值问题 高二数学 · 秋季学期 A M r O 圆的标准方程 学习目标与重难点 对照课程标准 · 明确本课方向 2.4.1 圆的标准方程 02 / 23 1 会用定义推导圆的标准方程 重点 从"圆的定义"出发，用两点间距离公式独立推出标准方程，并能说出方程中 a、b、r 各自的含义。 2 会根据已知条件求圆的标准方程 重点 · 难点 面对"圆心与半径""两点""圆心在直线上"等不同条件，能选对几何法或待定系数法，规范写出方程。 3 能准确判断点与圆的位置关系 易错点 掌握"比较距离与半径""代入方程比较两边"两种判定方法，避开符号与开方的常见失误。 学科素养 直观想象 借助图形理解圆与方程的对应 数学运算 开方、配方与解方程组要熟练 逻辑推理 从定义出发，步步有据 本课主线 把"圆"这个图形翻译成方程，再用方程反过来研究圆——一次代数与几何的双向旅行。 课堂路线图 四站推进 · 一节课走完 2.4.1 圆的标准方程 03 / 23 圆是初中就熟悉的老朋友，但只有把它翻译成方程，才能用代数方法研究几何。这节课我们沿四站前进，每一站都对应导学案上的一个板块。 1 › 圆的要素 什么是圆？圆心定位置，半径定大小。两个要素，一个定义。 对应：预习任务 1 2 › 推导方程 用距离公式把定义翻译成方程，这是全课的核心，也是第一个高潮。 对应：标准方程 3 › 位置判定 点在圆外、圆上还是圆内？只需比较它到圆心的距离 d 与半径 r 的大小。 对应：预习任务 2 4 题型突破 求方程、判位置、求最值——三类题型逐个击破，最后当堂检测验收。 对应：新知导学 · 达标 请把《2.4.1 圆的标准方程导学案》放在手边：预习填空跟着课件走，例题先自己动笔，再看解析。 PART 01 · 情境导入 从"圆"说起 初中的圆，靠圆规画；高中的圆，靠方程算。 同一个图形，换一种表达方式，就多出一整套研究工具——这正是"解析几何"的起点。 图形语言：位置与形状 → 代数语言：方程与运算 圆的定义与两个基本要素 预习任务 1（1）（2） 2.4.1 圆的标准方程 05 / 23 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 定点 → 称为圆心 定长 → 称为半径 要素一：圆心 记作 C(a, b)，决定圆的位置。圆心一动，整个圆整体平移。 要素二：半径 记作 r（r＞0），决定圆的大小。半径一变，圆的"胖瘦"就变。 想一想：只说"半径是 2 的圆"，能确定一个圆吗？不能——还必须知道圆心在哪。两个要素缺一不可。 两个要素如何影响圆 圆心相同 r 变 圆心不变，半径越大圆越大 平移 C₁ C₂ 动态演示 · 两个要素，各管一件事 边看边想 · 圆会自己动 2.4.1 圆的标准方程 06 / 23 放映时，这两个圆会自动循环运动。盯住画面左上角的方程，看看每一次到底是哪个数在变。 观察：圆心不动 —— 方程里只有 r² 在变 观察：大小不变 —— 方程里是 a、b 在变 圆心定位置，半径定大小 —— 两个要素各司其职，缺一不可。 动态演示 · 图形一变，方程就变 数形对照 · 三个数各管一件事 2.4.1 圆的标准方程 07 / 23 a —— 圆心的横坐标 a 变大，整个圆向右平移；a 变小，向左平移。圆的大小不变。 b —— 圆心的纵坐标 b 变大，整个圆向上平移；b 变小，向下平移。圆的大小不变。 r² —— 圆的大小 r² 变大，圆向外膨胀；r² 变小，向圆心收缩。位置始终不动。 x、y 始终被“钉”在圆上 —— 图形的每一步变化，都被方程精确记录。 圆的标准方程是怎么来的？ 三步推导 · 从定义到方程 2.4.1 圆的标准方程 08 / 23 设 M(x, y) 是圆上任意一点，圆心为 A(a, b)，半径为 r（r＞0）。我们要找的是 x、y 满足的关系式。 第一步 · 写出距离 由圆的定义，M 到圆心的距离恒等于 r 第二步 · 代入坐标 用两点间距离公式表示 |MA| 第三步 · 两边平方 两边均非负，平方是等价变形 › › 圆心为 C(a, b)、半径为 r 的圆的标准方程 特别地，当 a＝b＝0 时 表示以原点为圆心、半径为 r 的圆 圆上每一点的坐标都是方程的解 以方程的解为坐标的点都在圆上 方程与曲线互相确定，缺一不可 看清方程的三大结构特征 会认 · 会读 · 会用 2.4.1 圆的标准方程 09 / 23 1 平方和结构 左边是两个平方项之和，x、y 的系数都是 1，并且没有 xy 交叉项。正因为是平方和，它才与"距离的平方"一一对应。 见到"平方和"，先想到圆 2 圆心要变号 圆心是 (a, b)，方程里却是 (x－a) 与 (y－b)，符号与圆心相反。看到 (x＋1)² 要立刻反应出 a＝－1。 最高频失分点：忘变号 3 半径要开方 右边是半径的平方 r²，不是半径。求半径必须开平方取正根：右边是 4，半径就是 2，不是 4。 先开方，再下结论 ! 反例警觉：有平方和，未必是圆 方程 (x－a)²＋(y－b)²＝m² 只有当 m＞0 时才表示圆；当 m＝0 时，它只表示一个点 (a, b)。 概念辨析 · 小试牛刀 判断对错 · 说清理由 2.4.1 圆的标准方程 10 / 23 1 方程 (x－a)²＋(y－b)²＝m² 表示圆。 错 m＝0 时只表示一个点，必须 m＞0 才是圆。 2 确定一个圆的几何要素是圆心和半径。 对 圆心定位置、半径定大小，两个要素确定一个圆。 3 圆 (x＋1)²＋(y＋2)²＝4 的圆心是 (1, 2)，半径是 4。 错 圆心应为 (－1, －2)，半径是 √4＝2，两个都错了。 4 点 (0, 0) 在圆 (x－1)²＋(y－2)²＝1 上。 错 代入得 1＋4＝5＞1，该点其实在圆外。 01 题型一 求圆的标准方程 求方程，本质就是求两个数：圆心 (a, b) 和半径 r。 直接给圆心与半径 圆心已知，由点定半径 由对称性、直线定圆心 求方程的两把钥匙 先选方法，再动笔 2.4.1 圆的标准方程 12 / 23 A 几何法 快，但要看得出 利用图形的几何性质（垂直平分线、对称性、切线垂直等）直接求出圆心和半径，代入标准方程。 适用：圆心位置能由几何关系直接看出时。 B 待定系数法 通用，闭眼能走 先设出含参数的方程，把几何条件翻译成方程组，再解出参数。任何条件都能用。 适用：条件是"经过某些点""圆心在某直线上"等。 待定系数法 · 标准四步 ① 设方程 设所求圆的方程为 (x－a)²＋(y－b)²＝r² › ② 列方程组 由已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组 › ③ 解方程组 解方程组，求出 a、b、r 的值 › ④ 得方程 将 a、b、r 代入所设方程，写出结论 例 1 · 直接与间接求方程 先自己动笔，再看解析 2.4.1 圆的标准方程 13 / 23 (1) 圆心在点 C(2, 1)，半径长是 √3 的圆的标准方程为________。 思路：圆心、半径都直接给出 a＝2，b＝1，r＝√3，逐项代入标准方程即可，无需技巧。 答案 (2) 经过点 P(5, 1)，圆心在点 C(8, －3) 的圆的标准方程为________。 思路：圆心已知，半径要自己算 圆过点 P，所以半径就是 |CP|，用两点间距离公式。 答案 ! 方程中出现 (y＋3)²，说明圆心纵坐标是 －3，别顺手写成 (y－3)² 右边填的是 r²＝25，不是 r＝5；写完先检查"平方和＝常数"的结构 求半径优先用距离公式：圆过一点，半径就等于圆心到该点的距离 例 2 · 一道题，三种解法 思路探究 · 殊途同归 2.4.1 圆的标准方程 14 / 23 求过点 A(1, －1)，B(－1, 1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的标准方程。 法一 待定系数法 设 (x－a)²＋(y－b)²＝r²，把 A、B 两点代入得两个方程；两式相减化简得 a＝b，再与 a＋b－2＝0 联立，解得 a＝b＝1，r²＝4。 口诀：设 → 代 → 解 → 回代 法二 设圆心定半径 圆心 (a, b) 在直线上，且到 A、B 的距离相等。由 |CA|²＝|CB|² 化简得 a＝b，联立解得圆心 (1, 1)，再算 r²＝|CA|²＝4。 关键：等距，即圆心在垂直平分线上 法三 几何法 最快 圆心必在弦 AB 的垂直平分线上。AB 中点 (0, 0)，k(AB)＝－1，故垂直平分线为 y＝x；与 x＋y－2＝0 联立得 C(1, 1)，r＝2。 小题首选，大题需写清依据 共同答案 三法殊途同归：几何法最快，待定系数法最稳、最不易漏条件。 跟踪训练 1 · 圆心被"藏"在 x 轴上 学案 · 跟踪训练 1 2.4.1 圆的标准方程 15 / 23 已知圆 C 经过 A(5, 1)，B(1, 3) 两点，且圆心在 x 轴上，则圆 C 的标准方程为________。 第一步 · 把"藏在 x 轴上"翻译成坐标 圆心在 x 轴上，纵坐标为 0，故设圆心为 C(a, 0)。这是本题唯一的"隐藏条件"。 第二步 · 用"到两点等距"列方程 展开得 －10a＋26＝－2a＋10，解得 a＝2，所以圆心为 C(2, 0)。 答案 （r²＝10，由 |CA|²＝9＋1 得） 示意图 C(a, 0) B(1, 3) A(5, 1) x y 圆心落在 x 轴上，到 A、B 两点的距离天然相等——这就是"等距"的几何含义。 02 题型二 点与圆的位置关系 判定只需一句话：算出点到圆心的距离 d，再和半径 r 比大小。 点在圆外　d＞r 点在圆上　d＝r 点在圆内　d＜r 点与圆的位置关系 · 判定三态 预习任务 2 2.4.1 圆的标准方程 17 / 23 同一个圆，点的三种归宿 C P₁ P₂ P₃ d₁ d₂ d₃ P₁ 在圆外 · P₂ 在圆上 · P₃ 在圆内 1 距离法 算出 d＝|PC|，与半径 r 比大小。 2 代入法 坐标代入方程左边，与 r² 比较，免开方。 位置关系 d 与 r 坐标满足的特点 点在圆外 d ＞ r (x₀－a)²＋(y₀－b)² ＞ r² 点在圆上 d ＝ r (x₀－a)²＋(y₀－b)² ＝ r² 点在圆内 d ＜ r (x₀－a)²＋(y₀－b)² ＜ r² 易错提醒：别把 r² 的开方忘掉。比较时统一"平方对平方"，可以避开根号运算。 例 3 · 先定圆，再判点 综合运用 · 易错点集中营 2.4.1 圆的标准方程 18 / 23 已知圆的圆心 M 是直线 2x＋y－1＝0 与 x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点 P(－5, 6)。求圆的标准方程，并判断点 A(2, 2)、B(1, 8)、C(6, 5) 与圆的位置关系。 ① 求圆心：联立两条直线 2x＋y＝1，x－2y＝－2 › 解得 x＝0，y＝1，即 M(0, 1) ② 求半径：圆过点 P，故 r＝|MP| › ③ 判位置：坐标代入方程，与 50 比大小 A(2,2)：4＋1＝5 5＜50 ⟹ 圆内 B(1,8)：1＋49＝50 50＝50 ⟹ 圆上 C(6,5)：36＋16＝52 52＞50 ⟹ 圆外 跟踪训练 2 已知点 (1, 1) 在圆 (x－a)²＋(y＋a)²＝4 的外部，求 a 的取值范围。 展开：2＋2a²＞4，即 a²＞1 a ＜ －1 或 a ＞ 1 易错：结论必须写成"或"，只写 a＞1 会丢掉负区间；a²＞1 的解有两个区间。 03 题型三 与圆有关的最值问题 四种模型，本质只有两件事：距离与斜率。 距离型 斜率型 截距型 点圆距型 与圆有关的最值 · 四类模型 先认模型，再选方法 2.4.1 圆的标准方程 20 / 23 1 距离平方型 最常考 看作动点 (x, y) 到定点 (a, b) 的距离的平方，几何意义就是"两点距离"。 2 斜率型 看作过点 (x, y) 与 (a, b) 的动直线的斜率，最值出现在直线与圆相切时。 3 截距型 变形为动直线，截距即所求；让直线与圆相切，读取截距范围。 4 点圆距型 几何法最直接 圆外一点到圆上点的最大、最小距离：先求该点到圆心的距离 d，再加或减半径。 例 4 · 最值问题的两连击 距离型 + 斜率型 2.4.1 圆的标准方程 21 / 23 例 4 已知 x, y 满足 ，圆心 C(－1, 0)，半径 1/2 （1）求 x²＋y² 的最值 x²＋y² 是圆上的点 P 到原点 O 的距离的平方。而 |OC|＝1，所以 答案 （2）求 y/x 的取值范围 设 y/x＝k，即直线 kx－y＝0 与圆有公共点，圆心到直线的距离不大于半径： 答案 跟踪训练 3 圆的方程为 (x＋1)²＋y²＝4，则过点 (0, 0) 的弦中，最长弦长与最短弦长分别为____、____。 最长弦 ＝ 过圆心与定点的弦最长，等于直径 2r＝4。 最短弦 ⊥ OC ＝ 弦心距 d＝|OC|＝1，半弦长 √(r²－d²)＝√3。 核心：弦心距、半弦长、半径构成直角三角形。 当堂检测 · 基础达标 限时 8 分钟 · 独立完成 2.4.1 圆的标准方程 22 / 23 1. 以 A(－3, －1) 和 B(5, 5) 为直径端点的圆的方程是（　） A. (x＋1)²＋(y＋2)²＝100　　B. (x－1)²＋(y－2)²＝100 C. (x＋1)²＋(y＋2)²＝25　　　D. (x－1)²＋(y－2)²＝25 D 中点 (1, 2) 为圆心，|AB|/2＝5 为半径 2. 点 M(2, －4)，N(－2, 1) 与圆 C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0 的位置关系是（　） A. M 在圆外，N 在圆外　　B. M 在圆内，N 在圆内 C. M 在圆外，N 在圆内　　D. M 在圆内，N 在圆外 D 先配方 (x－1)²＋(y＋2)²＝9，再比较 5 与 9、18 与 9 3. 圆心为直线 x－y＋2＝0 与 2x＋y－8＝0 的交点，且过原点的圆的标准方程是________。 答案 4. 与 y 轴相切，且圆心坐标为 (－5, －3) 的圆的标准方程为________。 答案 r＝|横坐标|＝5 5. 圆心为 C(－3, －4) 且经过原点，求标准方程，并判断 P₁(－1, 0)、P₂(1, －1)、P₃(3, －4) 与圆的位置关系。 答案 P₁：20＜25 圆内　P₂：25＝25 圆上　P₃：36＞25 圆外 提升 6 求经过点 P(1, 1) 和坐标原点，且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上的圆的标准方程。 由等距得 a＋b＝1，解得圆心 (4, －3) 课堂小结 · 一张图收住全课 合上课本，你能复述吗 圆的标准方程 圆心 (a, b) 定位置 · 半径 r 定大小 1 认识它 三大特征：平方和结构；圆心要变号；右边是 r²，求半径先开方。 反例：m＝0 时不是圆 2 求出它 几何法看得出就用；待定系数法四步走：设方程 → 列方程组 → 解 → 回代。 圆心常藏在：直线交点、垂直平分线、坐标轴 3 用起来 判位置：d 与 r 比大小；求最值：四类模型，本质是距离与斜率。 下一步：2.4.2 圆的一般方程 会写方程只是开始，会用方程思考，才是解析几何。 2.4.1 圆的标准方程 · 完 23 / 23 $