2.4.2 圆的一般方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 1. 理解圆的一般方程及其特点； 2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化； 3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：圆的一般方程 问题 1：类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？ 确定圆的几何要素：圆心、半径 圆的标准方程 圆的一般式方程？ 思考：圆的方程是否也有一般式？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：说出圆 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 的圆心坐标、半径并展开该方程. 展开式：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. 圆心坐标：(1，– 2)；半径为 2； 思考：若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0， 由于 a，b，r 均为常数，可令 – 2a = D，– 2b = E， a2 + b2 – r2 = F， 结论：任何一个圆方程可以写成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（2）的形式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 变形为： (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1； 因为任意一个点的坐标 (x，y) 都不满足上述方程，即这个方程不表示任何图形； 所以形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 结论：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （2）方程不一定是圆的方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2) 中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 将方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2) 配方得： ①， （1）当D2 + E2 – 4F > 0时，方程(2)表示以 (，) 为圆心，为半径的圆； 结论：当 D2 + E2 – 4F > 0 时，方程（2）表示一个圆. （2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程(2)只有实数解 x = ，y = ，它表示一个点 (，)； （3）当D2 + E2 – 4F < 0时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0） （1） x2 与 y2 系数相同并且不等于 0； （2）圆心：(，)，半径：. O x y A r M 思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 圆的标准方程与圆的一般方程的特点 归纳小结 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 (x－a)2 + (y－b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （D2 + E2 – 4F > 0） 圆心 半径长 特点 ① 易于看出圆心与半径； ② 方程几何特征明显； ① 特殊的二元二次方程； ② 方程代数特征明显. (a，b) (，) r 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 若能表示圆，求出圆心和半径. 典例剖析 解：可直接利用 D2 + E2 – 4F > 0 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数判断； 方法一：(– 4m)2 + (2m)2 – 4(20m – 20) = 16m2 + 4m2 – 80m + 80 = 20(m – 2)2； 分类讨论：当 m = 2 时，它表示一个点；当 m ≠ 2 时，原方程表示一个圆； 此时，圆的圆心为 (2m，– m)，半径为 r = |m – 2|. 新课讲授 学习目标 课堂总结 判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 方法二：原方程可化为(x – 2m)2 + (y + m)2 = 5(m – 2)2， 分类讨论：当 m = 2 时，它表示一个点；当 m ≠ 2 时，原方程表示一个圆； 此时，圆的圆心为 (2m，– m)，半径为 r = |m – 2|. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 二元二次方程表示圆的两种判断方法 （1）计算 D2 + E2 – 4F 的值： ① 若其值为正，则表示圆；