2.4.1　圆的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2．4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点一　圆的标准方程 第一部分 3 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆地有关性质，解决与圆有关地问题，我们首先需要建立圆的方程. 引言 ※ 书本82页 回顾 两点距离公式：设 由两点距离公式： 思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 圆心坐标为定点，半径为定长 确定一个圆 书本82页 如图：定点为, A B C D E F G 问题探究 A M O x y r 圆心A(a,b)，半径为r，圆上任意一点M(x,y)满足 |AM|=r，根据两点距离公式 两边同时平方，得 (x - a)2+(y - b)2= r2 书本82页 一、圆的标准方程 圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程 (x - a)2+(y - b)2= r2 圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程 x 2 + y 2= r2 书本82页 练习巩固 例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上. 书本83页 练习巩固 例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 解: 圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25 把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边， 得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点M1在这个圆上. 把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边， 得(-2-2)2+(-1+3)2≠25，等式不成立，所以点M1不在这个圆上. 练习巩固 练习1写出下列圆的标准方程： (1) 圆心为C(-3,4)，半径是； (2) 圆心为C(-8,3)，且经过点M(-5,-1). 【答案】(1) (x+3)2+(y-4)2=5 (2) (x+8)2+(y-3)2=25 即时练 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，直径长是4.(　　) (4)圆心为C(1，－2)且半径为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝3.(　　) √ × × × 返回导航 D　 返回导航 3．(2026·平谷月考)写出一个关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为______________________________________________________________． 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0，圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆关于直线x－y＋1＝0对称，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1，不妨取a＝0，r＝1，则b＝1，则关于直线x－y＋1＝0对称的一个圆的方程为x2＋(y－1)2＝1. x2＋(y－1)2＝1(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，r＞0即可) 返回导航 4．过点A(－4，0)，B(6，－1)且半径最小的圆的方程为____________________． 返回导航 知识点二　点与圆的位置关系 第二部分 16 思考 点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？ C C C M0 M0 M0 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 在圆内 在圆上 在圆外 练习巩固 例2 已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内. (1) M1(4,-5) (2)M2(6,1) (3)M3(3,-6). 解:(1) M1代入圆的方程，(4-3)2+(-5+2)2<16，所以点M1在圆内； (1) M2代入圆的方程，(6-3)2+(1+2)2>16，所以点M1在圆外； (1) M3代入圆的方程，(3-3)2+(-6+2)2=16，所以点M1在圆上. 练习2　(对接教材例1)(2026·东丽月考)已知E(4，9)，F(6，3)两点，线段EF是圆C1的直径，求圆C1的标准方程，并判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)在圆上、圆内，还是在圆外． 校本资料59页 返回导航 训练 　　　1.(2026·临沂期中)已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，则下列点中在圆C内的是(　　) A．(1，－2) B．(－1，1) C．(2，－1) D．(0，2) 解析：因为(1－1)2＋(－2)2＝4，所以点(1，－2)在圆C上；因为(－1－1)2＋12＝5＞4，所以点(－1，1)在圆C外；因为(2－1)2＋(－1)2＝2＜4，所以点(2，－1)在圆C内；因为(0－1)2＋22＝5＞4，所以点(0，2)在圆C外．综上，在圆C内的是(2，－1). C　 返回导航 2．若点P(2，－2)在圆O：(x－a)2＋(y－a)2＝16的外部，则实数a的取值范围是_______________． 解析： 由点P(2，－2)在圆O：(x－a)2＋(y－a)2＝16的外部，则(2－a)2＋(－2－a)2＞16，化简得a2＞4，解得a＜－2或a＞2， 所以实数a的取值范围是a＜－2或a＞2. a＜－2或a＞2 返回导航 知识点三　求圆的标准方程 第二部分 22 练习巩固 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. 待定系数法 练习巩固 【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 把三个点的坐标代入上式，可得 故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 练习巩固 例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 练习巩固 【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 把点A,B的坐标代入圆得方程，圆心C(a,b)代入直线l，得 故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 应用点　求圆的标准方程 练习3(对接教材例3)求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 校本资料59页 返回导航 返回导航 　　　1.圆C的圆心在y轴上，且过A(3，1)，B(－3，5)两点，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y－1)2＝17 B．x2＋(y－3)2＝17 C．x2＋(y＋1)2＝13 D．x2＋(y－3)2＝13 D　 训练 返回导航 2．(2026·湘潭期中)过三点(0，0)，(4，0)，(4，2)的圆的标准方程为___________________． (x－2)2＋(y－1)2＝5 返回导航 课堂巩固自测 1．(教材P85T1改编)圆心为C(0，4)且半径为5的圆的标准方程为(　　) A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25 C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25 解析：由圆心为C(0，4)，半径为5，得圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝25. A　 返回导航 2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　 　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．点(1，0)在圆内 C．圆M的半径为5 D．点(－3，1)在圆内 ABC　 解析：圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A，C正确； 由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆内，B正确； 由(－3－4)2＋(1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆外，D错误． 返回导航 3．若点M(2－a，a)在圆C：(x－3)2＋y2＝5的内部，则实数a的取值范围是________． 解析：由M(2－a，a)在圆C内，得(2－a－3)2＋a2＜5，解得－2＜a＜1. (－2，1) 返回导航 4．(教材P85T3改编)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程． 返回导航 课堂小结 圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程 (x - a)2+(y - b)2= r2 圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程 x 2 + y 2= r2 $