精品解析：浙江杭州外国语学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试卷（10月 ）

2026-1初三数学第一次月考试题卷（问卷） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客5600000人次，把5600000用科学记数法表示为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 2. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（ ） A. 点A，O，在同一直线上 B. C. 点O到与的距离之比是 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 3. 若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴确定、的取值范围及正负性，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，  ，，且，  ，故A错误；  ，故B错误；  ， ，故C正确；  ，故D错误． 4. 如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．先求出长度，然后根据线段比例关系求出长度，从而求得点坐标． 【详解】直线（k＜0）与y轴交于点A， 点横坐标为，纵坐标， ， ， ， ， ， ，， 点坐标是． 5. 若的展开结果中不含项和x项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】展开多项式，将展开式不含项和项的条件转化为对应项系数为0，即可求解． 【详解】解： ， 展开结果中不含项和x项， ，， 解得：，即， ． 6. 若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 7. 已知不等式组的解集如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式组，用含、的代数式表示出不等式组的解集，然后结合数轴上表示的解集确定、的值，最后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为； 由数轴得不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或. 故选C． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 9. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 10. 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，为等腰三角形，过点作的垂线，可以得到，结合矩形的性质，，在中，由勾股定理得，设，在中，，列出一元一次方程，最后求解出． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，交于点，过点作的垂线交于点， ，，， ． 在正方形中，， 又， 四边形为矩形． ， ， ， ， 四边形为矩形， ∴． 在矩形中，， ． ∵将沿翻折，得到， ∴，， 在中，， 设，则，， ． 在矩形中，． 在中，， ，解得， ． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解后化简即可得到结果 【详解】解： 12. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴原式． 13. 已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列方程组求解得到点坐标，再利用关于轴对称点的坐标规律计算对称点坐标． 【详解】解∶ ∵，，且 ∴，解得， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴关于轴的对称点坐标是． 14. 若关于的不等式组的解集是，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先求解第一个不等式得到，结合已知不等式组的解集，根据一元一次不等式组“同大取大”的解集法则确定的取值范围． 【详解】解： ， 关于的不等式组的解集是， ． 15. 在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先确定、两点坐标，求出直线的解析式，根据平移规则得到平移后的直线，联立反比例函数，利用只有一个交点时一元二次方程判别式为求解即可． 【详解】解： ∵，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵在直线和上，在直线和上， ∴，， 设直线的解析式为，代入两点坐标得：  ， 两式相减得， 整理得， 将代入，得， ∴ 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位，得新直线解析式为， 联立， 消去整理得， ∵直线与反比例函数有且只有一个交点， ∴， 解得，， ∴的值为或． 16. 如图，已知，，，⋯，是轴上的点，且，分别过点，，，⋯，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，⋯，，过点作于点，过点作于点，⋯，记的面积为，的面积为，⋯，的面积为，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别设出点，，，⋯，的坐标，求出它们的纵坐标，发现面积规律，进而求出． 【详解】解： ， 设，⋯， ，，，⋯，都在反比例函数图像上， ，，，⋯，， ， ， ⋯ ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 按要求解答问题： （1）解方程：． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ， 原式 18. 智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：60，70，75，85，90，90，90，95，95，100； 乙模型：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 85 60 75 90 95 100 乙模型 83.5 70 82.5 90 100 65.25 根据以上信息回答下列问题： （1）_______，_______； （2）请补全乙模型测试准确率的箱线图； （3）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】（1）80，145 （2）解：补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： （3）解：选择乙模型，理由如下：两模型平均数相近，但乙模型的方差较小，由箱线图看箱体更小，所以波动更小，更稳定； 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数略高，上四分位数和中位数都较高，整体高分较多． 【解析】 【分析】（1）利用方差公式和下四分位的求解方法即可解答； （2）由表格数据画箱线图即可解； （3）根据表格中的平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【小问1详解】 解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100，共10个数， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有5个数据，最中间数据是第3个数据为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3个数据，则，即； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 19. 如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，根据反比例函数得，，根据四边形是矩形，进而可证明，，即可得，，再根据，计算即可得答案． 【详解】解：如图， 分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，则：， 点A在反比例函数的图象上， ∴， 点C在反比例函数的图象上， ∴， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为12． 20. 某学校图书馆计划采购A、B两种图书．已知购买2本A种图书和3本B种图书共需190元；购买3本A种图书和5本B种图书共需305元． （1）求A、B两种图书每本的价格． （2）若该校计划采购A、B两种图书共20本，其中A种图书数量不超过B种数量的，且A种图书至少采购4本，请求出满足条件的采购方案． 【答案】（1）A种图书每本35元，B种图书每本40元． （2）满足条件的采购方案共3种： 方案1：采购A种图书4本，B种图书16本； 方案2：采购A种图书5本，B种图书15本； 方案3：采购A种图书6本，B种图书14本． 【解析】 【分析】（1）根据两次购买的总费用构造等量关系，列二元一次方程组求解单价． （2）根据A种图书的数量约束列不等式组，结合图书数量为正整数确定所有采购方案． 【小问1详解】 解：设A种图书每本元，B种图书每本元，根据题意，得 解得 答：A种图书每本35元，B种图书每本40元． 【小问2详解】 解：设采购A种图书本，则采购B种图书本，根据题意，得 不等式组的解集为． 为正整数， 的取值为4，5，6，对应的取值为16，15，14． 答：共有3种采购方案，分别为： 方案1：采购A种图书4本，B种图书16本； 方案2：采购A种图书5本，B种图书15本； 方案3：采购A种图书6本，B种图书14本． 21. 如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线：与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线：下方的抛物线上是否存在点，使得点到直线：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴，得出，再将点代入函数表达式求出，即可得解； （2）令直线：与轴交于点，先求出直线：与坐标轴的交点，进而得出，设点的坐标为，其中，过点作轴交直线：于点，过点作直线：于点，则，证明是等腰直角三角形，则，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得：， 二次函数图象过点， ， 解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，令直线：与轴交于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ， ， ， 联立，解得：或， 设点的坐标为，其中， 如图，过点作轴交直线：于点，过点作直线：于点， ， ， 点到直线：的距离为， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，； 点的坐标为或． 22. 如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求与的面积之比． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 四边形是菱形， ，， 由（1）知，， ， 又， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明即可； （2）由菱形可得，，由（1）知，，则，再由三线合一得到，最后由垂直于同一直线的两直线平行证明即可； （3）先证明，再证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ， 设，则，， ， ∵ ， ∵， ， ． 23. 已知二次函数． （1）若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． （2）已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）①；②或 （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）①直接将代入函数解析式计算即可； ②求出函数解析式，进而求出函数与x轴交点横坐标，根据二次函数的性质作答即可； （2）先求出二次函数对称轴，进而得到对称轴的取值范围，分两种情况根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：①∵该函数的图象过原点， ∴， 解得：； ②∵， ∴， 当时， 解得：， ∵， ∴函数开口方向向下， ∵点在该函数图象上，当时，， ∴或， ∴或； 【小问2详解】 解：二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：； 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为或． 24. 【综合与实践】某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，．点P是底边上一点，连接，以为腰往右作等腰，且，连接，则和的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边往右作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：已知正方形的边长为6，点P是射线上一点，连接，以为边往右作正方形，点Q是正方形两条对角线的交点，连接．若所作正方形的边长为，请求出的长． 【答案】（1）相等 （2）和的数量关系为，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得解； （2）证明，可得，即可得解； （3）根据勾股定理求出，分两种情况讨论，当点P位于边上时，当点P位于延长线上时，再分别证明，可得，即可得解． 【小问1详解】 解：和的数量关系是相等； ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵正方形与正方形的边长分别为6和， ， ， ①当点P位于边上时，连接，如图，则， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ， ∴， ∴， ． ， ②当点P位于延长线上时，连接，如图，则， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ， ∴ ， ∴， ， ， 综上所述的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-1初三数学第一次月考试题卷（问卷） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客5600000人次，把5600000用科学记数法表示为（ ）. A. B. C. D. 2. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（ ） A. 点A，O，在同一直线上 B. C. 点O到与的距离之比是 D. 3. 若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开结果中不含项和x项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式组的解集如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 已知，则的值为________． 13. 已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________． 14. 若关于的不等式组的解集是，则实数的取值范围是___________ 15. 在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 16. 如图，已知，，，⋯，是轴上的点，且，分别过点，，，⋯，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，⋯，，过点作于点，过点作于点，⋯，记的面积为，的面积为，⋯，的面积为，则等于_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 按要求解答问题： （1）解方程：． （2）已知，求代数式的值． 18. 智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：60，70，75，85，90，90，90，95，95，100； 乙模型：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 85 60 75 90 95 100 乙模型 83.5 70 82.5 90 100 65.25 根据以上信息回答下列问题： （1）_______，_______； （2）请补全乙模型测试准确率的箱线图； （3）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 19. 如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 20. 某学校图书馆计划采购A、B两种图书．已知购买2本A种图书和3本B种图书共需190元；购买3本A种图书和5本B种图书共需305元． （1）求A、B两种图书每本的价格． （2）若该校计划采购A、B两种图书共20本，其中A种图书数量不超过B种数量的，且A种图书至少采购4本，请求出满足条件的采购方案． 21. 如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线：与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线：下方的抛物线上是否存在点，使得点到直线：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求与的面积之比． 23. 已知二次函数． （1）若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． （2）已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 24. 【综合与实践】某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，．点P是底边上一点，连接，以为腰往右作等腰，且，连接，则和的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边往右作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：已知正方形的边长为6，点P是射线上一点，连接，以为边往右作正方形，点Q是正方形两条对角线的交点，连接．若所作正方形的边长为，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $