浙江杭州市保俶塔申花实验学校2026-2027学年第一学期九年级月考数学试卷（9月份）

2026-2027学年浙江省杭州市保俶塔申花实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝3 2．（3分）把抛物线y＝﹣3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝﹣3（x+3）2﹣2 B．y＝﹣3（x+2）2﹣3 C．y＝﹣3（x﹣3）2+2 D．y＝﹣3（x﹣2）2+3 3．（3分）二次函数y＝x2﹣ax﹣6的图象与x轴交点的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（3分）在同一坐标系中，作y＝2x2+2、y＝﹣2x2﹣1、的图象，则它们（　　） A．都是关于y轴对称 B．顶点都在原点 C．都是抛物线开口向上 D．以上都不对 5．（3分）将抛物线y＝x2+1先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＝0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b2﹣4ac＝0 7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、O（0，0）、B（﹣3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 8．（3分）对于任意实数m，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定在（　　） A．直线y＝2x上 B．直线y＝2x+1上 C．直线y＝﹣2x﹣1上 D．抛物线y＝x2﹣2x+4上 9．（3分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（　　） A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若二次函数y＝x2﹣10x+c的顶点在x轴上，那么c＝_______ ． 12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣6 0 4 6 6 … 容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________ ，与x轴的另一个交点的坐标为__________ ． 13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的有________ ． 14．（3分）若实数a，b满足a+b2＝1，则2a2+7b2的最小值是_____ ． 15．（3分）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣3，当x＞1时，y随x的增大而增大．则m的取值范围为_________ ． 16．（3分）当﹣3≤x≤1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝____________________ ． 三、全面答一答（本题有8个题，共72分） 17．（6分）根据下列条件分别求二次函数的解析式： （1）已知二次函数的图象经过点（﹣3，﹣1），且当x＝2时，函数有最大值4． （2）已知二次函数的图象的对称轴是直线x＝﹣2，与坐标轴交于点（0，4），（﹣5，0）． 18．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）． （1）求b，c的值； （2）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围； （3）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝1，求点P的坐标． 19．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 3 0 ﹣5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≥﹣5时，求自变量x的取值范围； （3）当﹣2＜x＜3时，求此时y的取值范围． 20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图如图所示根据图回答下列问题： （1）B点坐标为__________ ； （2）方程ax2+bx+c＝0的两个根为_______________ ； （3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为_____________ ； （4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为________ ； （5）若方程ax2+bx+c＝k﹣1有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________ ． 21．（8分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 22．（10分）已知二次函数y＝x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点． （1）求C1的顶点坐标； （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； （3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围． 23．（10分）把一个足球垂直于水平面往上踢，时间为x（秒）时，该足球距离地面的高度y（米）适用公式y＝20x﹣5x2（0≤x≤4）． （1）当x＝3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度低于15米时，求x的取值范围； （3）若存在实数x1，x2，当x＝x1或x＝x2时，足球距离地面的高度都为h（米），求h的取值范围． 24．（12分）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝3，且b+c＝﹣5时， ①求b，c的值； ②当0≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为3，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 2026-2027学年浙江省杭州市保俶塔申花实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份） 参考答案与试题解析 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝3 【分析】根据抛物线的解析式首先可以确定与x轴的交点坐标，然后根据交点的坐标即可求解． 【解答】解：∵y＝2（x+1）（x﹣3）， ∴当y＝0时，x＝﹣1或 x＝3， ∴抛物线的对称轴为x＝1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键的是熟练掌握二次函数的对称轴和其对称性． 2．（3分）把抛物线y＝﹣3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝﹣3（x+3）2﹣2 B．y＝﹣3（x+2）2﹣3 C．y＝﹣3（x﹣3）2+2 D．y＝﹣3（x﹣2）2+3 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可． 【解答】解：y＝﹣3x2先向上平移2个单位，得到y＝﹣3x2+2，再向右平移3个单位y＝﹣3（x﹣3）2+2． 故得到抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣3）2+2． 故选：C． 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 3．（3分）二次函数y＝x2﹣ax﹣6的图象与x轴交点的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据二次函数和一元二次方程的关系即可判断． 【解答】解：令x2﹣ax﹣6＝0， 则Δ＝a2+24＞0， 所以二次函数y＝x2﹣ax﹣6的图象与x轴交点的个数有2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点个数问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（3分）在同一坐标系中，作y＝2x2+2、y＝﹣2x2﹣1、的图象，则它们（　　） A．都是关于y轴对称 B．顶点都在原点 C．都是抛物线开口向上 D．以上都不对 【分析】根据所给二次函数的共同特点找到正确选项即可． 【解答】解：经过观察可得3个二次函数的一次性系数均为0，那么这3个二次函数的对称轴都是y轴，故选：A． 【点评】考查二次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数的一次项系数为0，对称轴是y轴． 5．（3分）将抛物线y＝x2+1先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 【分析】先确定抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定平移后抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【解答】解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）向下平移3个单位，再向左平移2个单位所得对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＝0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b2﹣4ac＝0 【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0， ∴a＜0，0即b2﹣4ac＝0． 故选：D． 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、O（0，0）、B（﹣3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、O（0，0）两点，开口向下，对称轴为x＝﹣1，可知B、C两点在对称轴的两边，点B离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、O（0，0）两点， ∴抛物线对称轴为x1， ∵B（﹣3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 8．（3分）对于任意实数m，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定在（　　） A．直线y＝2x上 B．直线y＝2x+1上 C．直线y＝﹣2x﹣1上 D．抛物线y＝x2﹣2x+4上 【分析】将抛物线的方程变形为：y＝（x﹣m）2+2m+1，由此可得出定顶点的坐标，消去m后即可得出函数解析式． 【解答】解：将二次函数变形为y＝（x﹣m）2+2m+1，所以抛物线的顶点坐标为， 消去m，得y＝2x+1， ∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定在直线y＝2x+1， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，突破口在于根据抛物线方程得出顶点坐标． 9．（3分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴为直线x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（　　） A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1 【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a+b+1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+1，a﹣b+1＝0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t＝a+b+1的变化范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限， 且经过点（﹣1，0）， ∴易得：a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0， 由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①， 由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②， ∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1， 在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2， ∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2， ∴0＜t＜2． 故选：B． 【点评】此题考查了点与函数的关系，解题的关键是画草图，利用数形结合思想解题． 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若二次函数y＝x2﹣10x+c的顶点在x轴上，那么c＝　25　 ． 【分析】根据二次函数的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为y＝x2﹣10x+c＝（x﹣5）2+c﹣25， 所以抛物线的顶点坐标为（5，c﹣25）． 因为该抛物线的顶点在x轴上， 所以c﹣25＝0， 解得c＝25． 故答案为：25． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣6 0 4 6 6 … 容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是　直线x　 ，与x轴的另一个交点的坐标为　（3，0）　 ． 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【解答】解：抛物线上y值相等的两个点关于对称轴对称， 由表格可知其经过（0，6），（1，6）， ∴对称轴为直线x， ∵（﹣2，0）是它与x轴的一个交点， ∴与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）； 故答案为：直线x，（3，0）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及其与坐标轴交点问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的有　①②③　 ． 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①、结论②；由抛物线与x轴的交点的个数，可判断结论③；由x＝﹣1时，y的值，可判断结论④；即可得出答案． 【解答】解：∵抛物线开口向下、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于正半轴， ∴a＜0，b＜0，c＞0， 故①②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 故③正确； ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， 故④错误； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，并会综合运用是解决本题的关键． 14．（3分）若实数a，b满足a+b2＝1，则2a2+7b2的最小值是　2　 ． 【分析】根据a+b2＝1求出a的取值范围，再把代数式变形，然后结合函数的性质及b的取值范围求得结果． 【解答】解：∵a+b2＝1， ∴a＝1﹣b2 ∴2a2+7b2＝2（1﹣b2）2+7b2＝2b4+3b2+2＝2（b2）2+22（b2）2， ∵b2≥0， ∴2（b2）20， ∴当b2＝0，即b＝0时，2a2+7b2的值最小． ∴最小值是2． 方法二：∵a+b2＝1， ∴b2＝1﹣a， ∴2a2+7b2＝2a2+7（1﹣a）＝2a2﹣7a+7＝2（a）2， ∵b2≥0， ∴1﹣a≥0， ∴a≤1， ∴当a＝1，即b＝0时，2a2+7b2的值最小． ∴最小值是2． 【点评】此题比较复杂，是中学阶段的难点，综合性比较强，解答此题的关键是先求出b的取值范围，再把已知代数式变形后代入未知，把求代数式的最小值转化为求函数式的最小值，结合函数的性质及b的取值范围解答． 15．（3分）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣3，当x＞1时，y随x的增大而增大．则m的取值范围为m≥﹣1　 ． 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线xm， ∵当x≥1时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤1， ∴m≥﹣1， 故答案为m≥﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 16．（3分）当﹣3≤x≤1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝　或　 ． 【分析】求得对称轴，根据x的取值，分2a≥1、2a≤﹣3和﹣3＜2a＜1三种情况讨论求得即可． 【解答】解：∵函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的对称轴为直线x2a，开口向下， ∴当2a≥1时，则x＝1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣1+4a+2＝8， 解得a， 当2a≤﹣3时，则x＝﹣3时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣9﹣12a+2＝8， 解得a，不合题意，舍去； ∴当﹣3＜2a＜1时，则x＝2a时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣（2a）2+4a•2a+2＝8， 解得a或a（不符合题意）， 故答案为：或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 三、全面答一答（本题有8个题，共72分） 17．（6分）根据下列条件分别求二次函数的解析式： （1）已知二次函数的图象经过点（﹣3，﹣1），且当x＝2时，函数有最大值4． （2）已知二次函数的图象的对称轴是直线x＝﹣2，与坐标轴交于点（0，4），（﹣5，0）． 【分析】（1）利用顶点式设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，再利用待定系数法确定a的值； （2）利用两根式假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+5），再利用待定系数法确定a的值． 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+4， ∵抛物线经过点（﹣3，﹣1）， ∴﹣1＝25a+4， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2+4； （2）∵二次函数的图象的对称轴是直线x＝﹣2，与坐标轴交于点（﹣5，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+5）， ∵抛物线经过点（0，4）， ∴4＝﹣5a， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1）（x+5）x2x+4． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的三种形式． 18．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）． （1）求b，c的值； （2）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围； （3）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝1，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可求解； （2）利用一次函数增减性得出即可； （3）根据题意得出n＝1﹣m，联立方程，解方程即可求得． 【解答】解：（1）将（1，0），（0，2）代入y＝x2+bx+c得：， 解得：， 故b＝﹣3，c＝2； （2）这个函数的解析式为：y＝x2﹣3x+2＝（x）2； 把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x+2得，y＝12， ∴y的取值范围是y≤12． （3）∵点P（m，n）在该函数的图象上， ∴n＝m2﹣3m+2， ∵m+n＝1， ∴m2﹣2m+1＝0， 解得m＝1，n＝0， ∴点P的坐标为（1，0）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键． 19．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 3 0 ﹣5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≥﹣5时，求自变量x的取值范围； （3）当﹣2＜x＜3时，求此时y的取值范围． 【分析】（1）设交点式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后把把（0，3）代入求出a即可； （2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝﹣5得x1＝﹣4，x2＝2，然后根据二次函数的性质求解； （3）先利用配方法得到y＝﹣（x+1）2+4，则当x＝﹣1时，y有最大值4，由于当x＝﹣2时，y＝3，当x＝3时，y＝﹣12，从而根据二次函数的性质得到此时y的取值范围为﹣12＜y≤4． 【解答】解：（1）∵抛物线经过（﹣3，0），（1，0）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x+3）（x﹣1）， 把（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1）， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式可设为y＝﹣（x+3）（x﹣1）， 即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当y＝﹣5时，﹣x2﹣2x+3＝﹣5， 解得x1＝﹣4，x2＝2， ∴y≥﹣5时，自变量x的取值范围为﹣4≤x≤2； （3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴当x＝﹣1时，y有最大值4， 当x＝﹣2时，y＝3， 当x＝3时，y＝﹣12， ∴当﹣2＜x＜3时，此时y的取值范围为﹣12＜y≤4． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图如图所示根据图回答下列问题： （1）B点坐标为　（3，0）　 ； （2）方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3　 ； （3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3　 ； （4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞1　 ； （5）若方程ax2+bx+c＝k﹣1有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k＜3　 ． 【分析】（1）根据抛物线的对称性写出点B的坐标； （2）方程ax2+bx+c＝0的两个根就是抛物线与x轴的两个交点横坐标； （3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为抛物线位于x轴下方的部分； （4）需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性； （5）可以转化为y＝k﹣1与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有2个不同的交点． 【解答】解：（1）如图所示，A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1， 则点A与B关于x＝1对称， 所以B（3，0）； 故答案为：（3，0）； （2）如图所示，抛物线与x轴的交点坐标分别是：A（﹣1，0），B（3，0）， 所以方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3； 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3； （3）如图所示，不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3； 故答案为：x＜﹣1或x＞3； （4）如图所示，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞1． 故答案为：x＞1； （5）令y＝k﹣1， 方程ax2+bx+c＝k﹣1有两个不相等的实数根时，则y＝k﹣1与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有2个不同的交点， 所以k﹣1＜2， 解得k＜3． 故答案为：k＜3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数与不等式．解题时，体现了“数形结合”的数学思想． 21．（8分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【分析】（1）先用待定系数法求出y与x之间的一次函数关系式，然后根据利润＝销售量×（销售单价﹣成本）得到W与x之间的函数关系式； （2）利用二次函数的性质，求出商场获得的最大利润以及获得最大利润时的售价． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得． 所求一次函数的表达式为y＝﹣x+120． （2）w＝（x﹣60）（﹣x+120） ＝﹣x2+180x﹣7200 ＝﹣（x﹣90）2+900， ∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，w随x的增大而增大， 而60≤x≤87， ∴当x＝87时，w＝﹣（87﹣90）2+900＝891． ∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，先用待定系数法求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系，然后求出利润W与x之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价． 22．（10分）已知二次函数y＝x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点． （1）求C1的顶点坐标； （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； （3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围． 【分析】（1）由于二次函数y＝x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m． （2）首先设所求抛物线解析式为y＝（x+1）2+k，然后把A（﹣3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式； （3）由于图象C1的对称轴为直线x＝﹣1，所以知道当x≥﹣1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥﹣1和n≤﹣1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围． 【解答】（1）y＝x2+2x+m＝（x+1）2+m﹣1，对称轴为直线x＝﹣1， ∵与x轴有且只有一个公共点， ∴顶点的纵坐标为0， ∴C1的顶点坐标为（﹣1，0）； （2）设C2的函数关系式为y＝（x+1）2+k， 把A（﹣3，0）代入上式得（﹣3+1）2+k＝0，得k＝﹣4， ∴C2的函数关系式为y＝（x+1）2﹣4． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为A（﹣3，0）， 由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）； （3）当x≥﹣1时，y随x的增大而增大， 当x≥﹣1时， ∵y1＞y2， ∴n＞2． 当x＜﹣1时，P（n，y1）的对称点坐标为（﹣2﹣n，y1），且﹣2﹣n＞﹣1， ∵y1＞y2， ∴﹣2﹣n＞2， ∴n＜﹣4． 综上所述：n＞2或n＜﹣4． 【点评】此题比较复杂，首先考查抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，接着考查抛物线平移的性质，最后考查抛物线的增减性． 23．（10分）把一个足球垂直于水平面往上踢，时间为x（秒）时，该足球距离地面的高度y（米）适用公式y＝20x﹣5x2（0≤x≤4）． （1）当x＝3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度低于15米时，求x的取值范围； （3）若存在实数x1，x2，当x＝x1或x＝x2时，足球距离地面的高度都为h（米），求h的取值范围． 【分析】（1）将x＝3代入解析式可得； （2）根据y＝15可得关于x的一元二次方程，解方程即可，进而可以判断得解； （3）由题意可得方程20x﹣x2＝h 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得h的范围． 【解答】解：（1）当x＝3时，y＝20x﹣5x2＝20×3﹣5×9＝15（米）， ∴当x＝3时，足球距离地面的高度为15米； （2）又∵y＝15， ∴20x﹣5x2＝15，即x2﹣4x+3＝0， ∴x＝1或x＝3， ∵y＝20x﹣5x2（0≤x≤4）的开口向下， ∴当足球距离地面的高度低于15米时，0≤x＜1或3＜x≤4； （3）∵h≥0，由题意得x1，x2是方程20x﹣5x2＝h的两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝202﹣20h＞0， ∴h＜20， 综上，h的取值范围是0≤h＜20． 【点评】本题主要考查二次函数背景下的求值及一元二次方程的应用、根的判别式，根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题是解题的关键． 24．（12分）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝3，且b+c＝﹣5时， ①求b，c的值； ②当0≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为3，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可； ②利用抛物线的性质求得最小值，再利用题意列方程解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系定理求得b，c，再利用配方法解答即可． 【解答】（1）解：①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），x1＝3， ∴抛物线y＝x2+bx+c经过（3，0）， ∴， ∴． ②由①知：抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝1时，y有最小值为﹣4， 当x＝0时，y＝﹣3，当0≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为3， ∵（﹣3）﹣（﹣4）＝1， ∴在对称轴左侧不存在符合条件的点， ∴在对称轴右侧存在，且当x＝t时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的最大值为y＝t2﹣2t﹣3， ∴t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3， ∴t2﹣2t﹣2＝0， ∴t＝1±， 由题意：t＞0， ∴t＝1． （2）证明：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1，x2是方程x2+bx+c＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c， ∵x1＝3x2， ∴4x2＝﹣b，3c， ∴x2， ∴3c， ∴c． ∵x1≠x2， ∴抛物线y＝x2+bx+c与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2﹣4c＝b2﹣40， ∵ 8b） 3， 又∵0， ∴3≤3． ∴． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系定理，配方法，非负数的意义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/9 14:51:54；用户：周培芬；邮箱：lhyzjyw1@xyh.com；学号：19725481 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $