精品解析：浙江省杭州市西湖区绿城育华学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区绿城育华学校九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握以上知识是解题的关键；本题根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ） A. 朝上一面的点数大于2 B. 朝上一面的点数为4 C. 朝上一面的点数是3的倍数 D. 朝上一面的点数是2的倍数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，解题的关键是能准确找出所求情况数与总情况数，分别利用概率公式计算每个选项的概率后比较即可得出答案 【详解】解： A、朝上一面的点数大于2的数有3、4、5和6，则概率为； B、朝上一面的点数为4的概率为； C、朝上一面的点数是3的倍数的数有3和6，则概率为； D、朝上一面的点数是2的倍数有2、4和6，则概率为； 由， 故选：A． 3. 若点M在抛物线的对称轴上，则点M的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线得到其对称轴为直线，结合点M在对称轴上，得到，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的确定，对称轴上的点的坐标特点，熟练掌握抛物线的对称轴的确定是解题的关键． 【详解】解：由抛物线得到其对称轴为直线， 又点M在对称轴上， 故， 故是符合题意的，其余都不符合题意， 故选：A． 4. 如图，在中，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角函数的定义．根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（　　　） A. 132° B. 120° C. 112° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形外角的性质可得∠ACB=56°，再根据圆周角定理可求得结果． 【详解】解：∵，， 又 ∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56° ∴∠AOB=2∠ACB=112° 故选：C 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠ACB度数是解题关键． 6. 如图，在中，，且分别交，于点，，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据，证明，由对应边相似比相等即可求得的长度，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点则等于( ) A. 80° B. 75° C. 65° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和，分别得出，，再根据三角形的内角和即可求出． 【详解】解∶由正多边形外角和等于可得： ，， ∴． 故选∶B． 【点睛】本题考查了正多边形的外角和，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是运用正多边形的外角和求出和的度数． 8. 如图，在中，，将绕点B旋转得到，使点D落在边上，，相交于点E．设，．则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据旋转性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．理解旋转性质是解答的关键． 【详解】解：由旋转性质，得，， ∴，则， ∵在中，， ∴，又， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知二次函数的最小值是m，二次函数的最小值是，当时，满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由二次函数，得到其与x轴的交点坐标为，从而得到顶点坐标的横坐标，同理得到二次函数与x轴的交点坐标的横坐标，通过两个二次函数的最小值，得到关系，即可得到最后的结果． 【详解】解：∵二次函数的最小值是m， ∴当时，， ∴， ∵二次函数的最小值是， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故选：D． 10. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边，于点P，Q．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题连接，，设交于点，先证得，可得，进而可求得，，由此可设，则，利用，，可证得四边形为平行四边形，由此可得，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得的长． 【详解】解：如图，连接，， ， 设交于点， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴点、、在同一直线上，点、、在同一直线上， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，做出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据记忆的三角函数值表求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值，， 故答案为：． 12. 请写出一个开口向下，经过的抛物线的解析式 ___________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，确定，以为顶点，写出一个解析式即可． 本题考查了抛物线解析式的确定，是结论开放型问题，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴可以为顶点， 写出一个解析式为． 故答案为：． 13. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴落入黑色部分的概率是． ∴据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：12． 14. 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】连接OA，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB＝2AM． 【详解】解：连接OA， ∵⊙O的直径CD＝20， ∴OA＝OC＝10， ∵CM＝4， ∴OM＝10﹣4＝6， 在中，由勾股定理得：AM＝＝8， ∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形． 15. 二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，为的直径，将沿弦折叠，折叠后的弧与交于点E，延长与交于点D，若，则_____；当时， _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，连接在上取点E的对称点，连接，证明是等边三角形，此时，点O和点E重合，，即可解答；当时，连接，设，求出，再证明，设，则，得到即，求出，解得解答． 【详解】解：当时，如图，连接在上取点E的对称点，连接， 则是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴此时，点O和点E重合， ∴， ∴； 如图，当时，连接，设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，即， 令，则，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：将代入得： ， 点不在抛物线上． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法求解； （2）将代入（1）中结论即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 18. 在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； （2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】（1） 解：如图1，即为所求． （2） 解：如图2，取格点N，，且，连接交于点M， 此时， ∴， 则点M即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可． （2）取格点N，使，且，连接交于点M，则点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 不透明的布袋中有标有数字，，，的四个小球，除数字外其余全部相同，先从袋中随机地摸取一个，球上的数字记为，不放回，再随机地摸取一个，球上数字记为． （1）请你用列表法或树状图法写出所有可能的结果； （2）求所选出的，能使坐标点落在第二象限的概率． 【答案】（1） 列表如下， 由表格可知所有可能的结果：，，，，，，，，，，，共种； （2）所选出的，能使坐标点落在第二象限的概率为． 【解析】 【分析】（）根据题意列表得出所有等可能的结果数； （）从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； 本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由表格可知所选出的，能使坐标点落在第二象限有，，，，共种， ∴所选出的，能使坐标点落在第二象限的概率为． 20. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，易得，结合，推出，则，即可求证是的切线； （2）过点C作于点E，求出，，再求出，则，根据三角形面积公式和扇形面积公式得出和，最后根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作于点E， ∵，， ∴， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的证明，求扇形面积，解直角三角形，解题的关键是掌握圆心角定理，切线的判定定理，以及扇形面积公式． 21. 如图，矩形为台球桌面，，，球目前在E点位置，，如果小丁瞄准边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，得出是解题关键． （1）根据题意得出，进而利用相似三角形的判定方法求出即可； （2）利用相似三角形的性质得出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， 答：的长为． 22. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． （1）求证：； （2）如果．求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件． （1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证； （2）先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用即可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， 解得：（舍去负值）， ． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上存在两点，，若，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由； （3）在（2）的条件下，抛物线上有三点，，，当时，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） 抛物线有最高点，理由如下 ∵抛物线上存在两点，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴此时抛物线有最高点； （3） 【解析】 【分析】（1）化为顶点式即可求解； （2）将点，代入抛物线解析式，根据，得出，即可求解； （3）将点，，代入抛物线解析式，根据时，结合，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 将点，，，代入抛物线解析式得： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 24. 如图，等腰内接于，，为直径，与，分别交于点D，E，于点H，与交于点F，与的延长线交于点G． （1）求证：平分； （2）若，求的值； （3）若设（α是锐角），求证：． 【答案】（1） 证明：∵等腰内接于，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平分； （2） （3） 证明：如图所示：连接，过点F作，垂足为M， 为直径，， ， ， ， ， ， ，即 ，， 为的角平分线， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， ，， ， 故 ． 【解析】 【分析】（1）根据得，再根据垂径定理得，，然后根据，得，再根据圆周角定理得，据此可得出结论 ； （2）根据，设，，则，进而得 ，， ， ，再证明，在中，，在中，，则，由此得，由此可得的值； （3）连接，过点F作，垂足为M，通过证明，得到，，通过角平分线的性质以及相似三角形性质可得，，从而得到，从而得出结论． 即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴设，，则， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴ ； 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等知识，理解等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区绿城育华学校九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ） A. 朝上一面的点数大于2 B. 朝上一面的点数为4 C. 朝上一面的点数是3的倍数 D. 朝上一面的点数是2的倍数 3. 若点M在抛物线的对称轴上，则点M的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 5. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（　　　） A. 132° B. 120° C. 112° D. 110° 6. 如图，在中，，且分别交，于点，，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点则等于( ) A. 80° B. 75° C. 65° D. 55° 8. 如图，在中，，将绕点B旋转得到，使点D落在边上，，相交于点E．设，．则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的最小值是m，二次函数的最小值是，当时，满足的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边，于点P，Q．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. ______． 12. 请写出一个开口向下，经过的抛物线的解析式 ___________________． 13. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 14. 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为_____． 15. 二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是__________． 16. 如图，为的直径，将沿弦折叠，折叠后的弧与交于点E，延长与交于点D，若，则_____；当时， _____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 18. 在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； （2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 19. 不透明的布袋中有标有数字，，，的四个小球，除数字外其余全部相同，先从袋中随机地摸取一个，球上的数字记为，不放回，再随机地摸取一个，球上数字记为． （1）请你用列表法或树状图法写出所有可能的结果； （2）求所选出的，能使坐标点落在第二象限的概率． 20. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 21. 如图，矩形为台球桌面，，，球目前在E点位置，，如果小丁瞄准边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置． （1）求证：； （2）求的长． 22. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． （1）求证：； （2）如果．求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上存在两点，，若，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由； （3）在（2）的条件下，抛物线上有三点，，，当时，求的取值范围． 24. 如图，等腰内接于，，为直径，与，分别交于点D，E，于点H，与交于点F，与的延长线交于点G． （1）求证：平分； （2）若，求的值； （3）若设（α是锐角），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $