3.2.1 单调性与最大（小）值 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册
| 单调性与最大（小）值 | |||||
课 型 |
新授课 | 课时数 |
1 | 授课时间 |
第___周第___课时 | |
教学目标 | 1．理解函数的单调性及最大（小）值的概念，能借助函数图象直观感知函数在某个区间上的变化趋势，会用符号语言准确表述增函数、减函数的定义，发展直观想象与数学抽象素养。 2．会根据函数单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，掌握"取值—作差—变形—定号—结论"的证明步骤，发展逻辑推理与数学运算素养。 3．能借助函数图象求函数的单调区间和最值，理解函数最大（小）值的几何意义，体会数形结合的思想方法，增强用函数观点观察和分析问题的意识。 | |||||
教学重点 | 函数单调性的定义、用定义证明函数单调性的基本步骤，以及利用图象求函数的单调区间与最值。 | |||||
教学难点 | 用符号语言（任意、都有）刻画函数的单调性，用定义证明函数单调性时作差变形的方向判断。 | |||||
教学方法 | 诱思探究 讲练结合 | |||||
教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1：科考队对沙漠气候进行科学考察，右图是某天气温随时间变化（记时刻为x，单位：h，气温为T，单位：℃）的曲线图．请根据曲线图说说气温的变化情况． 师生活动：学生观察图象，自由发言．气温在0时到6时之间逐渐下降，6时气温达到最低；从6时到17时，气温逐渐上升，17时气温达到最高；从17时到24时，气温又逐渐降低．
设计意图：以气温变化的真实情境引入，让学生直观感受"随自变量的增大，函数值增大或减小"的变化规律，初步体会研究函数性质的必要性，为用数学语言刻画这种变化规律做好铺垫． 问题2：在一次函数、二次函数、反比例函数中，你能各举一个例子，说明其图象的上升（下降）情况吗？ 师生活动：学生举例，如一次函数y＝2x＋1的图象在R上上升；二 | 备注 | |||||
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次函数y＝x²的图象在对称轴左侧下降、右侧上升；反比例函数在象限内下降等．教师引导学生发现：描述这些变化规律需要新的数学语言，由此引出课题——函数的单调性． 二、探究新知 探究1：如何用数学语言刻画"随着x的增大，相应的f(x)也增大"？ 师生活动：教师引导学生借助图象（如图），在区间内任取两个自变量的值x₁，x₂，规定x₁＜x₂，观察对应的函数值的大小关系，得到：图象在区间内逐渐上升，对于区间内任意x₁＜x₂，都有f(x₁)＜f(x₂)．这时就说函数在区间上是增函数．
探究2：类比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？ 师生活动：学生模仿表述：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于区间D内任意x₁＜x₂，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数．
概念生成：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： （1）如果对于区间D上的任意两个自变量的值 （2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值 |
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注意：（1）单调性是对定义域内某个区间而言的，单调区间D是定义域I的子集；（2）x₁，x₂必须是区间D内任意的两个值，"任意"二字不能省略，若用两个特殊值代替，结论就不具有一般性；（3）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，区间之间一般用"和"或"逗号"隔开，不能用"∪"连接． 探究3：函数的最值 观察右图中函数图象的最高点与最低点，思考：最高点的纵坐标与图象上其他点的纵坐标有什么关系？
师生活动：学生观察发现，图象最高点的纵坐标大于图象上所有其他点的纵坐标；最低点的纵坐标小于图象上所有其他点的纵坐标．教师引导学生用符号语言表述最值的定义． 最大值定义：一般地，设函数 最小值定义：如果存在实数M满足： 设计意图：通过"图象直观—自然语言—符号语言"的抽象过程，让学生经历单调性与最值概念的形成过程，理解"任意""都有""存在"等关键词的含义，发展数学抽象素养． 三、体验发现（例题精讲） 1．根据定义研究函数的单调性 例1 根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b（k≠0）的单调性． 解：f(x)的定义域为R．任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
①当k＞0时，由x₁＜x₂，得x₁－x₂＜0，于是k(x₁－x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)．此时f(x)在R上是增函数； ②当k＜0时，由x₁＜x₂，得x₁－x₂＜0，于是k(x₁－x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)．此时f(x)在R上是减函数． 综上，当k＞0时，f(x)在R上单调递增；当k＜0时，f(x)在R上单调递减． 设计意图：以最简单的一次函数为载体，示范用定义研究单调性的完整步骤——取值、作差、变形、定号、结论，让学生初步掌握规 |
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