3.2.1 单调性与最大（小）值 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教学设计

一、教材分析

1.内容：函数的单调性.

2.内容解析

函数的单调性是函数的基本性质之一，它刻画了函数的增减变化规律.因为在现实世界的运动变化中，增减趋势是主要的变化规律之一，而引进函数单调性的概念为刻画这种变化规律提供了方法；另外，方程、不等式等问题的求解，也可以利用函数的单调性.因此，函数单调性在数学内外都有重要的应用.

函数的单调性是函数的“局部”性质，即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性质，而函数奇偶性、周期性、最大值、最小值是函数在整个定义域上的性质，属于函数的整体性质.另外，通过研究函数的单调性，就容易得到函数的最大（小）值.

二、学情分析

从初中到高中，函数单调性概念的形成，经历了从定性到定量的过程，体现了数学概念逐渐抽象化、严格化的过程，对于数学一般概念的学习具有借鉴意义.初中阶段，用“y随x的增大而增大（减小）”来刻画函数图象从左到右的上升（下降），学生经历了用自然语言表述图形特征的过程；高中阶段，通过引人数学符号，并采用“”的方式，进一步将“y随x 的增大而增大（减小）”转化为精确的定量关系，即用不等式刻画“增大”“减小”，从而使定性刻画上升到定量刻画，实现了变化规律的精确化表达.这样一种从图形直观到定性刻画再到定量刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言定量刻画变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数单调性的符号语言刻画.

三、课时目标.

1．目标

（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义；

（2）会用定义证明简单函数的单调性；

（3）会根据问题的实际意义，求函数的最大（小）值；

（4）在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用.

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势.

（2）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性．

（3）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值．

（4）经历从图象直观到自然语言描述再到符号语言刻画的过程，感悟通过引人“＂的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的方法，感受数学符号语言的作用.

四、评价任务

学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对于每一类函政都研究了函数值随自变量的增大而变化的规律，能够理解函数图象从左到右上升或下降这一性质，可以用“y随x的增大而增大（减小）”这样的自然语言来描述.高中阶段，要通过引入“，当，都有”的符号表达方式，对函数的单调性实现定量刻画，这样的语言是学生第一次接触，对他们而言是一个很大的难点.

教学中，要利用一次函数、二次函数等，借助一定的教学媒体，如用信息技术展示函数值随自变量变化而变化的情况，用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义.

根据以上分析，确定本节课的教学难点：符号语言的引入，对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用.

为使学生更好地理解单调性的形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用信息技术，采用动态方式展现函数值随自变量值变化的规律，并体会自变量取值的任意性.

五、学习活动

（一）引入

引导语：通过观看过山车视频，我们发现函数的“上升”、“下降”变化，我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律.

什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”.因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律.

问题1：请看下面的函数图象（图1），从中你发现了函数图象的哪些特征？你觉得它们反映函数的哪些方面的性质？

 

 

 

 

 

 

图1

师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题.学生的回答有可能涉及很多方面，教师引导学生关注函数图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高点或最低点等.

教师指出：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质，本节课我们先研究如何用定量的方法刻面函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律.

设计意图：通过实例，使学生感受研究函微性质的必要性，结合初中已学的用定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务.

（二）单调性性质的定量刻画

1．具体实例的分析

问题2：在初中我们研究过二次函数 从它的图象可以看出：如果a>0.,当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<k时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，请问：你是怎样理解“y随x的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？比如以为例.

师生活动：学生先独立思考或小组讨论，然后再组织全班交流.

设计意图：从刻画数量特征角度进行描述，可以促使学生深入思考单调性，以及从定性描述转向定量到苦.

追问（1）：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y减小”又该如何表示？以为例，观察下表，你能给出具体的描述吗？

 

  师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律，如：

当x从-4增大到-3，则f(x)从f(-4)=16减小到f(-3)=9;