3.2.1 单调性与最大（小）值 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性的定量刻画，通过过山车视频导入，衔接初中“y随x增大而增减”的定性描述，借助二次函数等实例的表格分析与问题串，引导学生从直观走向符号语言表达，搭建从具体到抽象的学习支架。 此设计以数学抽象为核心，通过“任意x1<x2时f(x1)与f(x2)关系”的符号化过程，结合反例辨析突破“任意”难点，培养数学思维与语言表达能力。实例证明步骤（取值、作差等）规范，助力学生理解概念形成，为教师提供可操作的探究式教学路径，提升课堂效率与学生逻辑推理素养。

《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教学设计 一、教材分析 1.内容：函数的单调性. 2.内容解析 函数的单调性是函数的基本性质之一，它刻画了函数的增减变化规律.因为在现实世界的运动变化中，增减趋势是主要的变化规律之一，而引进函数单调性的概念为刻画这种变化规律提供了方法；另外，方程、不等式等问题的求解，也可以利用函数的单调性.因此，函数单调性在数学内外都有重要的应用. 函数的单调性是函数的“局部”性质，即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性质，而函数奇偶性、周期性、最大值、最小值是函数在整个定义域上的性质，属于函数的整体性质.另外，通过研究函数的单调性，就容易得到函数的最大（小）值. 二、学情分析 从初中到高中，函数单调性概念的形成，经历了从定性到定量的过程，体现了数学概念逐渐抽象化、严格化的过程，对于数学一般概念的学习具有借鉴意义.初中阶段，用“y随x的增大而增大（减小）”来刻画函数图象从左到右的上升（下降），学生经历了用自然语言表述图形特征的过程；高中阶段，通过引人数学符号，并采用“”的方式，进一步将“y随x 的增大而增大（减小）”转化为精确的定量关系，即用不等式刻画“增大”“减小”，从而使定性刻画上升到定量刻画，实现了变化规律的精确化表达.这样一种从图形直观到定性刻画再到定量刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言定量刻画变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数单调性的符号语言刻画. 三、课时目标. 1．目标 （1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义； （2）会用定义证明简单函数的单调性； （3）会根据问题的实际意义，求函数的最大（小）值； （4）在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用. 2．目标解析 达成上述目标的标志是： （1）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势. （2）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性． （3）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值． （4）经历从图象直观到自然语言描述再到符号语言刻画的过程，感悟通过引人“＂的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的方法，感受数学符号语言的作用. 四、评价任务 学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对于每一类函政都研究了函数值随自变量的增大而变化的规律，能够理解函数图象从左到右上升或下降这一性质，可以用“y随x的增大而增大（减小）”这样的自然语言来描述.高中阶段，要通过引入“，当，都有”的符号表达方式，对函数的单调性实现定量刻画，这样的语言是学生第一次接触，对他们而言是一个很大的难点. 教学中，要利用一次函数、二次函数等，借助一定的教学媒体，如用信息技术展示函数值随自变量变化而变化的情况，用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义. 根据以上分析，确定本节课的教学难点：符号语言的引入，对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用. 为使学生更好地理解单调性的形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用信息技术，采用动态方式展现函数值随自变量值变化的规律，并体会自变量取值的任意性. 五、学习活动 （一）引入 引导语：通过观看过山车视频，我们发现函数的“上升”、“下降”变化，我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律. 什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”.因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律. 问题1：请看下面的函数图象（图1），从中你发现了函数图象的哪些特征？你觉得它们反映函数的哪些方面的性质？ 图1 师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题.学生的回答有可能涉及很多方面，教师引导学生关注函数图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高点或最低点等. 教师指出：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质，本节课我们先研究如何用定量的方法刻面函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律. 设计意图：通过实例，使学生感受研究函微性质的必要性，结合初中已学的用定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务. （二）单调性性质的定量刻画 1．具体实例的分析 问题2：在初中我们研究过二次函数 从它的图象可以看出：如果a>0.,当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<k时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，请问：你是怎样理解“y随x的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？比如以为例. 师生活动：学生先独立思考或小组讨论，然后再组织全班交流. 设计意图：从刻画数量特征角度进行描述，可以促使学生深入思考单调性，以及从定性描述转向定量到苦. 追问（1）：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y减小”又该如何表示？以为例，观察下表，你能给出具体的描述吗？ x ... -4 -3 -2 -1 ... .. 16 9 4 1 ··· 师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律，如： 当x从-4增大到-3，则f(x)从f(-4)=16减小到f(-3)=9; 当x从-3增大到-2，则f(x)从f(-3)=9减小到f(-2)=4; 当x从-2增大到-1，则f(x)从f(-2)=4减少到f(-1)=1; 追问（2）：①这样的变化过程能写得完吗？ ②你能借助字母符号，归纳出上述具体例子的共同点吗？ 师生活动：先让学生从具体到抽象进行概括，教师根据学生回应进行启发，最后得到只要 , 就有 追问（3）：这里对有什么要求？只取（-，0］上的某些数是否可以？你能举例说明吗？ 师生活动：让学生展开讨论，教师适当引导，并举出一些例子（反例）进行说明，最终要让学生明确，应该是区间（-，0］上的任意两个数． 追问（4）：你觉得更严格的表达应该是怎样的？ 师生活动：让学生说出“任取,0]，只要，就有”,教师总结：这里，我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取（-o，0］，就把“无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程．这就是数学抽象和形式化的力量. 追问（5）：对于函数，你能模仿上述方法，给出“在区间[0,+∞)上，y随x增大而增大”的符号语自刻画吗？ 设计意图：这个环节是本节课的重点，其核心：是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间D上，当x增大时，相应的f(x)随着减小”，在“图象从左到右下降，y随x的增大而减小，任取，当时，都有”的不断精确过程中，通过问题串，设法把“任意”两个字从学生的潜意识中“逼”出来，引导他们体会借助符号（字母表示数的任意性），体会用“任意”刻画“无限”的数学方法的威力，井有效地突破x在区同D上的任意取值这一难点. 需要注意的是，因为函数的单调性是一个比较难理解的概念，学生第一次遇到地到要用数学符号语言刻画一个涉及“无限取值的问题”，大多效学生很难独立想到其中的数学方法，所以教学中可以先由教师教学启发性讲解，使学生理解“在区问D上，y随x的增大而减小”可以用“任取，当时，都有)”来严格刻画；然后让学生模仿给出“在区间D上，y随x的增大而增大”的符号语言表述. 练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画f(x)=|x|和的单调性. 2. 单调性定义的抽象 问题3：请你归纳关于函数和的单调性的刻画方法，给出函数y=f(x)在区间D上单调性的符号表述. 师生活动：先由学生独立完成，然后小组交流，再组织全班交流，在充分交流的基础上，教印除出严格的单调性定义表述. 3.单调性定义的辨析 问题4：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且， 当时，都有，我们能说函数f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？ （2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流.教师可以提醒学生用多种方法表示函数（特别是利用图象直观说明问题）. 设计意图：问题4（1）是引导学生辨析定义中的“任意”二字；问题4（2）既是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，也是为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增（递减）时，在它们的并集上不一定保持单调递增（递减）的性质. （3） 单调性定义的简单应用 变式训练1通过给出函数图象，让学生指出单调区间，以及每一个区间上是增函数还是减函数？ 例1. 用定义证明函数f(x)=-2x+1在其定义域上是减函数 由教师带领学生逐步分析，由函数单调性的定义证明该函数在其定义域上是减函数，并逐步引导学生探索解题过程和解题步骤.让学生体会做题过程，参与其中，增强自主探究意识和抽象数学符号语言表达能力.通过定义带领学生探索用定义法证明的步骤. 变式1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. 师生活动：首先让学生独立思考；然后共同讨论研究思路；最后由学生给出严格的表述（可以让几个学生板书，或直接投屏学生的结果），教师引导学生进行点评. 这里教师应该强调：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减．（2）具体的操作方法是：在条件下，考察不等式是否成立.这里往往要用不等式的性质和代数变形. 设计意图：关于一次函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，这里是利用定义通过严格的逻辑推理证明结论.并且在化简变形的过程中又用到了分类讨论的思想方法.由此，不仅体现了形式化定义的作用，而且通过比较简单的推理过程，让学生理解用单调性定义考察函数单调性的基本方法. 例2 用定义证明在（0，+∞）上的单调性 师生活动；先让学生独立思考“x减小，y将增大”的含义，建立数值变化与函数单调性的联系；再让学生独立给出证明，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善. 追问：你能总结例1、例2的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数单调性的基本步骤吗？ 设计意图：本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象.而且数学研究的不是一个现象而是抽象概括出来的一般性问题，将一些不同的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律. 另外，通过追问，要让学生总站出证明函数单调性的基本步骤： 第一步，确定函数的定义域D； 第二步、，且设 并将 代入f(x)，得 第三步，将）进行代数变形，转化为可以直接用实数大小关系、不等式的基点性质等判断其符号或大小关系的式子： 第四步、得出相应的单调区间. 1取值 2作差 3变形 4 判号 5定论 变式2 根据定义证明y=-在区间（-∞,0）上单调递增 由前面的例题我们知道，对于用定义法证明函数单调性这里， 师生活动：首先由学生独立思考并写出证明过程，可选几名学生板书；然后再进行全班交流.要引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向. 设计意图：利用单调性的定义，通过严格的代数推理，获得函数在（-∞,0）上单调递增的性质，这在没有函数单调性定义的时候是做不到的，可以使学生进一步体会定义的作用；同时，也可以使学生体会代数证明的一般方法，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养. （四）课堂小结 问题5：回答下列问题： （1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？ （2）你认为，在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？ （3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？ 师生活动：学生独立思考的基础上回答，教师再进行归纳. 设计意图：（1）让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点；（2）引导学生进一步理解“函数有意义”是讨论函数单调性的前提，“，且设”的含义，如何对 “”进行代数变形等；（3）要使学生体会“从定性到定量”的研究思路，即通过图象直观及自然语言刻画得到函数性质的定性刻画，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达. 6、 作业设计 1．根据定义证明函数在区间(1,+∞)上单调递增. 设计意图：考查学生利用单调性定义进行证明的步骤和方法. 2． 画出反比例函数的图象. （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论． 设计意图：考查学生对单调性定义的理解和掌握. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $