专题14 双曲线中定点定值定直线十种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题14 双曲线中定点定值定直线十种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中直线过定点问题 题型二、双曲线中与圆有关的定点、定值、定直线问题 题型三、双曲线中斜率相关的定值问题 题型四、双曲线中面积有关的定值问题 题型五、双曲线中向量有关的定值问题 题型六、双曲线中距离有关的定值问题 题型七、双曲线中线段长有关的定值问题 题型八、双曲线中角度有关的定值问题 题型九、双曲线中定直线问题 题型十、双曲线中探索性、存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线中定点定值定直线是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双曲线中直线过定点问题、双曲线中圆与圆有关的定点、定值问题、双曲线中斜率相关的定值问题、双曲线中面积有关的定值问题、双曲线中向量有关的定值问题、双曲线中距离有关的定值问题、双曲线中线段长有关的定值问题、双曲线中角度有关的定值问题、双曲线中定直线、双曲线中探索性、存在性问题十大核心展开，解题贯穿三条底线原则： 一是圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值)；二是定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，三是一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中直线过定点问题 典例1 已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 题型模版 1.特征：一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关． 2.方法：直线过定点问题 ①“特殊探路，一般证明”：先通过参数取特殊值等特殊情况推测定点坐标，再以猜想为方向，进行严谨的一般性证明，验证定点的唯一性。 ②“一般推理，特殊求解”：先设出定点坐标，结合题设选取参数并构建直线系（或曲线）方程，利用参数的任意性列出关于定点坐标的方程组，解方程组即可得到所求定点。 ③“方程形式推导法”:若需证明直线过定点，常借助直线的点斜式或斜截式等方程形式，通过推导论证直线必过该定点。 变式1-1已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 变式1-2已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . (1)求的方程； (2)证明：直线MH过定点. 变式1-3已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 类型二、双曲线中与圆有关的定点、定值、定直线问题 典例2已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关 2.方法：引入参变量建立圆的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 变式2-1已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，焦距为. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，直线：与轴交于点，过且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，分别与交于，两点 （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在使得，，，四点在同一个圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式2-3如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 题型三、双曲线中斜率相关的定值问题 典例3 已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指直线的斜率的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：解题步骤：①先设出直线方程（注意斜率不存在单独验证），将其与圆锥曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程； ②利用判别式确定变量的取值范围，同时写出韦达定理的表达式； ③结合韦达定理表示出待求量，并将其转化为关于变量的函数； ④对所得函数式进行化简、消元，最终推导出定值 变式3-1已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（  ） A． B． C． D． 变式3-2已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 变式3-3已知双曲线， 是其右顶点，定点，动点，直线交 于点，连接并延长交 于点. (1)若，证明：为 的左顶点； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值； 题型四、双曲线中面积有关的定值问题 典例4 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指图形面积的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 变式4-1已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 变式4-2已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 变式4-3已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 题型五、双曲线中向量有关的定值问题 典例5 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指向量的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的； 2.方法：求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论。 变式5-1已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 变式5-2已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 变式5-3已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六、双曲线中距离有关的定值问题 典例6已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指距离的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 变式6-1设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（    ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 变式6-2已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 变式6-3已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 题型七、双曲线中线段长有关的定值问题 典例7 已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指线段长度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 变式7-1已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，左顶点为，点是的右支上一点，过点向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为、，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．若直线与交于另一点，则的最小值为 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 变式7-3已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型八、双曲线中角度有关的定值问题 典例8已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指角度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 变式8-1已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式8-2已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 变式8-3已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若三角形的面积为，求直线的方程； (3)证明：存在实数，使得恒成立. 题型九、双曲线中定直线问题 典例9已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 题型模版 1.特征：定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹。 2.方法：主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证。 变式9-1已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 变式9-2已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 变式9-3已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 题型十、双曲线中探索性、存在性问题 典例10 已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 题型模版 1.特征：一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸。 2.方法：（1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 变式10-1已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 变式10-2设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式10-3已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知双曲线，直线交于A，B两点，为上另一点，满足，O为平面直角坐标系的原点.若线段、、的中点分别为，，，则直线，，斜率的乘积为（    ） A．16 B． C．4 D． 2．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 3．已知为坐标原点.等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于点P，Q.设与的内切圆圆心分别是M，N，直线，的斜率分别是，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 5．（多选）已知双曲线的左､右顶点分别为，点为双曲线上一点，则下列说法正确的是（    ） A．点到一条渐近线的距离为2 B．点到两条渐近线的距离之积为 C．若直线的斜率为1，则直线的斜率为4 D．若，则直线的斜率为 6．（多选）已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，动点P是C的左支上异于点A的一点，直线AP交直线于点E，直线EB交C于另一点Q则（    ） A．点纵坐标的取值范围是 B．直线的斜率之积为定值 C．直线的斜率之积为定值 D．原点到直线距离的最大值为 7.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点__________. 8．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. (1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； (2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 9．已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 10．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 11．已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 12．已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 13．已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 14．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 双曲线中定点定值定直线十种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中直线过定点问题 题型二、双曲线中与圆有关的定点、定值、定直线问题 题型三、双曲线中斜率相关的定值问题 题型四、双曲线中面积有关的定值问题 题型五、双曲线中向量有关的定值问题 题型六、双曲线中距离有关的定值问题 题型七、双曲线中线段长有关的定值问题 题型八、双曲线中角度有关的定值问题 题型九、双曲线中定直线问题 题型十、双曲线中探索性、存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线中定点定值定直线是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双曲线中直线过定点问题、双曲线中圆与圆有关的定点、定值问题、双曲线中斜率相关的定值问题、双曲线中面积有关的定值问题、双曲线中向量有关的定值问题、双曲线中距离有关的定值问题、双曲线中线段长有关的定值问题、双曲线中角度有关的定值问题、双曲线中定直线、双曲线中探索性、存在性问题十大核心展开，解题贯穿三条底线原则： 一是圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值)；二是定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，三是一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中直线过定点问题 典例1 已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【答案】(1)略； (2)略； （3）：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 题型模版 1.特征：一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关． 2.方法：直线过定点问题 ①“特殊探路，一般证明”：先通过参数取特殊值等特殊情况推测定点坐标，再以猜想为方向，进行严谨的一般性证明，验证定点的唯一性。 ②“一般推理，特殊求解”：先设出定点坐标，结合题设选取参数并构建直线系（或曲线）方程，利用参数的任意性列出关于定点坐标的方程组，解方程组即可得到所求定点。 ③“方程形式推导法”:若需证明直线过定点，常借助直线的点斜式或斜截式等方程形式，通过推导论证直线必过该定点。 变式1-1已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. 【解析】（1）由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由消去并整理得， ，解得且，， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 变式1-2已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . (1)求的方程； (2)证明：直线MH过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由条件及点到直线的距离公式求，由左顶点的坐标求，进而得到的方程即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与曲线方程可得，的值，由给定条件求的坐标，从而得到直线的方程，进而得到定点即可. 【解析】（1）因为C的一条渐近线方程为， 所以点A到渐近线的距离为， 所以，所以双曲线C的方程是 . （2）由题意双曲线C的右焦点，直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为， 因为直线与双曲线左，右两支分别交于两点， 所以， 设，将直线的方程代入中， 得到， 则，，所以， 直线的方程，又直线 ，联立可得， 所以直线的方程为 ， 又直线的方程是，联立可得 ， 又，所以H的坐标是， 所以直线的方程是： 令，由，， 得， 所以直线过定点. 变式1-3已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【解析】（1）双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以，又. 所以双曲线：. （2）如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以. 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由. 设，， 则，， 所以, 由，所以， 即， 所以， 所以或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 类型二、双曲线中与圆有关的定点、定值、定直线问题 典例2已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①1；②在轴上存在定点，使得为定值2． 【分析】(1)通过虚轴长度确定后再将点代入方程求解. (2)①设出直线后与双曲线联立通过韦达定理表示出后带入条件求解. ②通过联立椭圆与直线以及圆与直线判断为两者共同的根，因此联立后的方程应相同，以此求解出斜率以及方程，最后通过定值这一条件求出点. 【解析】（1）由条件，，所以， 又点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）①设点，，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则 ，解得或， 由题意可得所以且， 所以， ， ， 即 ，． ②设的外接圆方程为，代入坐标， 则 将代入， 可得， 即， 同理 ， 所以，为关于的方程 的两根， 又因为，为关于的方程的两根， 所以方程 与方程为同解方程， 所以解得 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 设，，， 因此， 要使其为定值，只需即可. ， 故在轴上存在定点，使得为定值2． 题型模版 1.特征：一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关 2.方法：引入参变量建立圆的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 变式2-1已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得. 故动点的轨迹方程为. （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 变式2-2在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，焦距为. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，直线：与轴交于点，过且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，分别与交于，两点 （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在使得，，，四点在同一个圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析（ii）存在， 【分析】（1）由题设求出，即可得解； （2）（ⅰ）设所在直线方程为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理、平面向量的数量积的坐标表示求解即可； （ⅱ）分析可得，进而得到，可得，结合（ⅰ）可得，进而建立方程求解即可. 【解析】（1）由题意得：，所以， 又因为焦距，所以， 由，可得， 所以的方程为. （2）（ⅰ）由题意得，，设，，直线的斜率显然存在， 设所在直线方程为， 与联立，可得， 可得，，， 则， 设，，由，，三点共线得，所以， 则，同理可得， 所以，为定值. （ⅱ）如图，由，，，四点在同一个圆上可知，， 因为，所以， 故，所以，即，则， 由（ⅰ）知，，故， 所以，解得或（舍去）， 所以存在，使得，，，四点在同一个圆上.    变式2-3如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)； (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【解析】（1）由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 题型三、双曲线中斜率相关的定值问题 典例3 已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【解析】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指直线的斜率的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：解题步骤：①先设出直线方程（注意斜率不存在单独验证），将其与圆锥曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程； ②利用判别式确定变量的取值范围，同时写出韦达定理的表达式； ③结合韦达定理表示出待求量，并将其转化为关于变量的函数； ④对所得函数式进行化简、消元，最终推导出定值 变式3-1已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的标准方程求出焦点、的坐标，再利用三角形内切圆的性质以及双曲线的性质，推导出、的横坐标，设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到、两点横坐标的关系，结合内切圆圆心的位置特点，求出、的纵坐标与、两点坐标的关系式，进而得到、的表达式，再计算. 【解析】由双曲线，得：，，， 所以焦点，， 过的直线与右支交于，，且， 设内切圆与边的切点为，根据切线长性质，有 ， 又，解得，， 以为起点向右移动4个单位得， 因此内切圆圆心在直线上， 设，，，不妨点在第一象限，同理， 由三角形面积公式：， 又的周长的一半， 内切圆半径，且，得， 由焦半径公式，代入得，故， 同理，于是 当直线的斜率不存在时， 可得，代入到双曲线方程中， 得，，此时； 当直线的斜率存在时， 设直线的斜率为，则， 代入双曲线方程得， 由韦达定理， 计算， ； ； 于是. 变式3-2已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【解析】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 变式3-3已知双曲线， 是其右顶点，定点，动点，直线交 于点，连接并延长交 于点. (1)若，证明：为 的左顶点； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）先求出的直线方程，再联立该方程和双曲线方程求出的坐标，求出直线的方程后可求，该点即为双曲线的左顶点； （2）设，结合齐次化方法可证； 【解析】(1)证明：当时，，而，故， 故，由可得，故， 故，故，故， 故，该直线过，而为双曲线的左顶点， 故为双曲线的左顶点. (2)证明：设，， 由可得，整理得， 由可得， 故的坐标为此方程的两组解， 由题设均不为1，故， 即，同理， 故为方程的两个解，故， 而过，故即，故. (3)或. 题型四、双曲线中面积有关的定值问题 典例4 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程. （2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得. 【解析】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指图形面积的大小和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 变式4-1已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，化简即可； 【解析】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）（2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，与双曲线方程联立求得切线方程，分别与直线和联立可求得的横坐标，计算可求解. 设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 变式4-2已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值1 【分析】（1）根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）求得，根据弦长公式和平行四边形的面积公式化简计算可得，结合即可证明. 【解析】（1）由已知可得，所以， 又因为，得①； 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得，所以， 所以双曲线方程为：． （2）由（1）得双曲线渐近线方程为，， 设，则，， 联立和，解得交点， 则平行线和之间的距离， 则平行四边形的面积， 由于在双曲线上，则，所以， 所以平行四边形的面积为定值1.    变式4-3已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】(1)； (2)①是，；②是 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）①设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据得出，再根据弦长公式化简即可； ②联立直线与渐近线的方程求出两点的纵坐标，化简即可. 【解析】（1）因为的虚轴长为，所以.     因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故，     所以双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点，    由，得，    则，即.    ①因为，且，    所以，所以，为定值.    ②由得，同理可得，    所以.     因为原点到直线的距离，所以.    因为，所以，即的面积为定值.    题型五、双曲线中向量有关的定值问题 典例5 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【解析】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指向量的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的； 2.方法：求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论。 变式5-1已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【解析】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 变式5-2已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)不存在常数，使恒为定值.理由如下： 【分析】（1）根据焦距确定，确定渐近线斜率可得的关系，再结合可求的值，进而得到双曲线的方程. （2）先确定，点坐标，利用向量方法，结合即可确定点坐标. （3）将直线方程与双曲线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，，再表示出，根据为定值，探索的存在情况. 【解析】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：. （2）由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或. （3）不存在常数，使恒为定值.理由如下： 如图： 将直线代入，整理得：. 由可得， 设，，则，， 则. 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值. 变式5-3已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在， 【分析】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【解析】（1）设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 题型六、双曲线中距离有关的定值问题 典例6已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得双曲线的渐近线方程为，右顶点为，利用点到直线的距离得，又离心率，即可求解； （2）当直线和轴线平行时得点到直线的距离为，当直线和轴线不平行时，设直线的方程为，与双曲线联立，由韦达定理有，又得，最后由点到直线的距离即可得证. 【解析】（1）由题意，得双曲线的渐近线方程为，右顶点为．又， 且， 所以，故． 又，解得， 所以双曲线的方程为． （2）设， 当直线和轴线平行时，， 解得， 所以点到直线的距离为． 当直线和轴线不平行时，设直线的方程为， 由得 所以． 又， 所以 解得． 又点到直线的距离为，则，故，即点到直线的距离为． 综上所述，点到直线的距离为定值． 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指距离的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的. 2.方法：定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 变式6-1设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（    ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【答案】A 【分析】设点，由两点间的距离公式得到P到y轴的距离与P到，距离之和的比为，再结合双曲线的定义即可判断. 【解析】不妨设点，且易有，，且，， 代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为 ， 由于P为双曲线C上一点，故等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2， 故原式等价于，为定值. 故选：A. 变式6-2已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解析】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 变式6-3已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意求出的方程，再求渐近线方程即可； （2）当直线轴时，根据等面积法求得到直线的距离；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得，利用等面积法求得到直线的距离，结合点到直线的距离为定值求出． 【解析】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 题型七、双曲线中线段长有关的定值问题 典例7 已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离可求得，再结合离心率以及可得出的值，即可得出双曲线的方程； （2）设、，关于原点的对称点记为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及，可得出的等式，结合可求得的值； （3）分析可知，可得出，同理可得，化简得出，结合弦长公式计算出的值，即可证得结论成立. 【解析】（1）由题意得双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为， 又因为双曲线的离心率，，所以，， 则双曲线的方程为. （2）设、，关于原点的对称点记为，则，. 因为，，，所以， 又因为，即，故、、三点共线， 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 设的直线方程为， 代入双曲线方程整理得：， 所以，可得， 故，， 直线与双曲线只有两个交点，所以，解得. 由弦长公式得：， 则，即， 且由题意可知，可得，解得. （3）因为直线与直线斜率相等，所以，则， 所以，故，同理可得， 所以 因为. 所以，故为定值. 题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指线段长度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 变式7-1已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解. 【解析】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确. 故选：C． 变式7-2（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，左顶点为，点是的右支上一点，过点向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为、，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．若直线与交于另一点，则的最小值为 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 【答案】ACD 【分析】求出、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A选项；设出直线的方程，将该直线方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式可判断B选项；利用点到直线的距离公式可判断C选项；求出内心的坐标，分析可知点在双曲线上，结合双曲线的定义可判断D选项. 【解析】对于A选项，，，则， 故双曲线的离心率为，故A正确； 对于B选项，由题意可知，若直线的斜率不存在，此时直线的方程为， 联立可得，此时， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立，可得， 所以，解得， 由韦达定理可得，， 所以， 当时，， 当时，； 当时，， 综上所述，，故B错误； 对于C选项，设点，则， 双曲线的两渐近线方程分别为、， 则为定值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 设、，其中，易知点，， 则， ，， 因为为的内心，则与向量共线， 且， 所以①， 同理可知与向量共线，且， ， 所以②， 联立①②解得，， 因为 ， 所以在双曲线上，易知在双曲线的右支上， 故为定值，故D正确． 故选：ACD． 变式7-3已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，且点. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【解析】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 题型八、双曲线中角度有关的定值问题 典例8已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由题意即可得即，又点在双曲线上，即可解出； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，得韦达定理，又的平分线与轴垂直，得，即得，代入韦达定理即可得证. 【解析】（1）由题意有，又点在双曲线上，所以， 解得，所以双曲线的方程为； （2）直线的倾斜角为定值，证明如下： 由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设 所以， 所以， 由韦达定理有：， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以，即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意， 所以，设倾斜角为，即，， 即直线的倾斜角为定值.    题型模版 1.特征：双曲线中的定值问题是指角度的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的。 2.方法：直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 变式8-1已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)，证明见解析 【解析】（1）由知，，，，则离心率，渐近线为； （2）由，的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ，得证. （3）由（2）知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为，则， 因为为劣弧，所以，则， 所以，即所对圆心角的大小为定值. 变式8-2已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【解析】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 变式8-3已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若三角形的面积为，求直线的方程； (3)证明：存在实数，使得恒成立. 【答案】(1)；(2)或.；(3)证明见解析 【分析】（1）由左顶点为得，由当时，得，再结合，联立方程组求解，得到双曲线方程； （2）设直线方程为，其中，联立直线方程和双曲线方程得，由韦达定理及弦长公式得，从而，解得，从而可得结论； （3）取直线与轴垂直的特殊情况得到，再验证，恒成立. 【解析】（1） 由题意得，解得； 故双曲线的标准方程为. （2） 由（1）知；设直线的方程为， 由直线与双曲线的右支交于两点知； 联立，整理得：， 由韦达定理：； 故， 点到直线距离， 故，即， ， ， ， 解得或（舍去）， 故； 故直线的方程为，即或. （3）由题意， 当时：，解得， 不妨取，则， ，所以，满足； 故如果存在实数，使得恒成立，则； 当时，证明恒成立： 设，则； 所以， 则， 所以， 又，故， 所以； 综上所述：存在实数，使得恒成立. 题型九、双曲线中定直线问题 典例9已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 题型模版 1.特征：定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹。 2.方法：主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证。 变式9-1已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【解析】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）证明：直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 变式9-2已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【解析】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 变式9-3已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1)；(2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【解析】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 题型十、双曲线中探索性、存在性问题 典例10 已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可. （2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可. （3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可. 【解析】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 题型模版 1.特征：一些探索性、存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸。 2.方法：（1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 变式10-1已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)直线恒过定点，坐标为 【分析】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可； （2）由题意设设直线的方程为，联立双曲线方程，由韦达定理得，用含的式子表示点的坐标，同理用含的式子表示点的坐标，结合以及韦达定理可得出的关系，由此即可得解. 【解析】（1）由题意知， 解得， 所以的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 变式10-2设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点 【分析】（1）根据题意可设，，，联立直线方程与双曲线方程可得韦达定理，从而得出，然后根据题意得出的范围，从而解出面积的最小值； （2）假设存在满足题意，求出，由其为定值，可得，从而解出定点． 【解析】（1）如图所示，，易知直线的斜率不为零， 所以设，，． 联立方程组，化简得，， 则有，，则，． 又因为M、N都在双曲线的左支上， 所以，解得． 又， 令，所以， 即，易知函数在上单调递减， 所以，即面积的最小值为． （2）设存在满足题意，于是，， 故 ， 若为定值，则，即， 此时，所以存在点使得为定值． 变式10-3已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)①证明见解析；②存在，. 【分析】（1）设点，结合斜率的两点式及斜率乘积为1列方程求轨迹； （2）①设直线的方程为，联立曲线，应用韦达定理及求参数t，即可证定点；②应用面积公式即可判断面积比是否为定值. 【解析】（1）设点，，故动点的轨迹方程为，. （2）由题意，而，即， ①设直线的方程为，，，，， 联立，得，，， 且， ∴， 整理得， 韦达公式代入并整理得，得或（直线过B点，舍）， ∴直线方程为，即直线过定点，得证； ②此时，，故． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知双曲线，直线交于A，B两点，为上另一点，满足，O为平面直角坐标系的原点.若线段、、的中点分别为，，，则直线，，斜率的乘积为（    ） A．16 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】设，则， 即， ，这表明中，边上中线的斜率与的斜率之积为， ， ， 又，而， . 2．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算判断①，利用斜率坐标公式计算判断②作答. 【解析】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为， 因此为定值，①真； 设，则，且，显然， 否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意， 则为定值，②真， 所以①真②真. 故选：A. 3．已知为坐标原点.等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于点P，Q.设与的内切圆圆心分别是M，N，直线，的斜率分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线焦点三角形的性质，得到内切圆圆心横坐标为然后利用直线的倾斜角，表示出内切圆的半径，即可求出. 【解析】      如图所示，设的内切圆和三边分别相切于点, 则 且 设直线的倾斜角为， 则, 同理，, 等轴双曲线知，, 故选：A. 4．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】利用三角换元得到，利用斜率公式可求与的关系，化简后可得的关系，故可判断AB的正误，根据面积公式可求（用表示），故可判断CD的正误. 【解析】由于双曲线的对称性，可设, 由双曲线可得， 则 , 因此,其中， 对于不是定值，故不正确； 对于,由于,即， 若为定值,则为定值,从而和是确定的值, 于是均为定值,这是不可能的,故B错误. 对于选项, 因此是定值,不是定值， 故选：C. 5．（多选）已知双曲线的左､右顶点分别为，点为双曲线上一点，则下列说法正确的是（    ） A．点到一条渐近线的距离为2 B．点到两条渐近线的距离之积为 C．若直线的斜率为1，则直线的斜率为4 D．若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】A选项，由题可知双曲线的渐近线为，则点到直线的距离为，所以A选项错误； B选项，由题可知点到两条渐近线的距离分别为，所以，所以B选项正确； C选项，，因为在第一象限，所以，且，可得， 又因为为双曲线上一点，可得，联立可得，可得直线的斜率为4，所以C选项正确； D选项，因为，设，则，且，可得，代入可得，解得，所以D选项正确. 6．（多选）已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，动点P是C的左支上异于点A的一点，直线AP交直线于点E，直线EB交C于另一点Q则（    ） A．点纵坐标的取值范围是 B．直线的斜率之积为定值 C．直线的斜率之积为定值 D．原点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用斜率公式结合双曲线的方程判断B，C，应用双曲线方程计算结合范围判断A，先设直线，再求出定点，再得出距离最大值判断D. 【解析】由题意知 ， 设，所以，即， 所以的斜率之积为，B选项正确； 设直线AP为，直线AP交直线于点E， 则，因为， 且，所以，所以或，A选项正确； 直线的斜率之积为直线的斜率之积为，C选项错误； 设：，设， 联立，所以， 所以， 即得， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以（舍）或， 所以的定点为， 则原点到直线距离，D选项正确； 7.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点__________. 【答案】 【分析】设出直线的方程，点和点的坐标，求出点的坐标，联立求出韦达定理，分和两种情况即可求解. 【解析】 由题意可设，， 则，由得：， 与双曲线有两个交点，，则，， 当时，点与点重合，此时直线为轴， 当时，将上式点坐标中的换成，可得， ①当直线不垂直于轴时，， 则直线，化简得：，直线过定点， ②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点. 综上所述：直线过定点. 故答案为：. 8．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. (1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； (2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，渐近线方程为；（2）存在， (2)在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【解析】（1）由双曲线Γ的方程得，，得， 则，即. 故，，渐近线方程为. （2）存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得. 易知直线l不与x轴重合.（当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左右顶点，，，不满足题意） 设，，AB的中点. 由得为等腰三角形， 则，， 即，， 即，.① 因为点A，B在Γ上，所以 ②－③得，即， 则，即， 所以.④ 联立①④，消去得， 解得或（舍）， 当时，，所以， 由得， 所以直线的方程为. 9．已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为； （ii）证明见解析 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【解析】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）证明：，，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 10．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)直线过定点． 【分析】（1）由直线倾斜角可得其斜率，根据焦距以及渐近线的斜率，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意猜想定点的位置，设出坐标，建立等式检验，可得答案. 【解析】（1）由已知，，则． 因为，则，所以，从而． 所以双曲线的方程是． （2） 设直线，代入，得， 即． 设点，则． 如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称， 猜想：定点在轴上． 设点，由题设，点，则． 因为向量与共线，则， 即， 即．所以，即． 因为为可变量，则，所以直线过定点． 11．已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)①②证明见解析 【分析】（1）根据离心率得出关系，再代入点的坐标即可求出，写出标准方程； （2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证. 【解析】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 12．已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【解析】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 13．已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【分析】（1）根据渐近线可得，即可代入点的坐标即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【解析】（1）根据渐近线方程为，故， 将代入可得，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且， 则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 14．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【解析】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $