周周测07 3.2双曲线（数学苏教版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦双曲线单元，通过单选、多选、解答题等多样题型，覆盖定义、离心率等基础及“羽毛球型”曲线、海上救援等综合应用，渗透数学思维与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|双曲线定义、离心率、渐近线|基础巩固，如焦点三角形问题| |多项选择|3/18|方程辨析、椭圆与双曲线综合|能力提升，如离心率关系判断| |填空题|3/15|轨迹方程、内切圆性质|创新应用，如动圆圆心轨迹| |解答题|5/77|“羽毛球型”曲线、海上救援|综合实践，结合数学建模与空间想象|

2026-2027学年高二上学期数学周周测07 3.2双曲线 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（  ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或，即可得解. 【解析】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（  ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值. 【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 故选：C 3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D 4.已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（  ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【解析】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A. 5.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 6.已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【解析】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 7.设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线定义可得，，在中，由余弦定理可得，最后可利用面积公式求解. 【解析】由曲线：的方程可得 ，， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义可得．，， 在中，由余弦定理可得， ， 的面积为.    故选：A 8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【解析】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.关于双曲线的以下论述中，正确的是（  ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，由几何性质即得。 【解析】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 故选：ABD. 11.若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（  ） A．， B． C．若，则 D．若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】依题意，，解得，A不正确； 令，由余弦定理得： ， 因为在椭圆中，在双曲线中，， 所以，故B选项正确； 当时，，即， 所以，即， 所以，，故C选项正确； 当时，，即， 所以，，有， 因为， 所以，，解得，D不正确； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】 【解题思路】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【解答过程】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 13．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为________. 【答案】. 【解题思路】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【解答过程】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 14．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是________. 【解析】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，， 又，，则，即，解得， 由，即，得，所以． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 【答案】(1)； (2)10. 【解析】（1）因为 ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）当时，双曲线， 所以， 所以， 所以， 所以. 16．（15分） 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 17.（15分） 我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 【答案】(1)，;(2) 【解析】（1）因为是焦距为8的等轴双曲线的一部分， 所以，解得 所以的方程为的方程为. （2）设，当时，， 因为，所以当时，； 当时，， 当时，. 又，所以， 即线段长度的最小值为. 18.（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 19.（17分） 、、是海上三个救援中心，在的正东方向，相距，在的北偏西，相距，为海面上一艘油轮．某一时刻，发现的求救信号，由于、两地比距地远，因此后，、两地才同时发现这一信号，该信号的传播速度为． (1)若救援，求在处发现的方位角； (2)若信号在空间中被发现，的位置在何处时，才能使、收到的时间差小于．（只需写出一种位置即可） 【答案】(1)点在点的北偏东处;(2)位于地的正上空 【分析】（1）以线段中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，分析可知，点在以、为焦点的双曲线上的右支上，求出双曲线的方程，联立线段中垂线与双曲线的方程，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，由此可求得结果； （2）由于，因而需要求出、来，在空间中求、的难易程度与的位置紧密相关，结合问题的要求——只需写出一种符合题意的位置，因而我们选择并猜想一种最为简单的情况，即在点的正上空，下面只需验证这种位置符合题意． 【解析】（1）解：由题意可知，、、、是在同一海平面上， 因为，所以在线段的垂直平分线上． 以线段中点为坐标原点，所在直线为轴， 过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，    又因为， 所以，点在以、为焦点的双曲线上的右支上． 设双曲线的方程为， 则，可得，，则， 所以双曲线方程为， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以，线段中垂线方程为，即． 联立可得， 解得，（舍去），所以， 直线的斜率为，直线的倾斜角为， 故点在点的北偏东处． （2）解：如下图所示： 设，，． 因为 ， 又因为，所以． 所以，只需位于地的正上空，就可使、收到的信号差小于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测07 3.2双曲线 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（  ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（  ） A．4 B． C． D．1 3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 4.已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（  ） A．12 B．14 C．10 D．8 5.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（  ） A． B． C． D． 6.已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 7.设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（  ） A． B． C． D． 8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.关于双曲线的以下论述中，正确的是（  ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 10．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 11.若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（  ） A．， B． C．若，则 D．若，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 13．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为________. 14．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 16．（15分） 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 17.（15分） 我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 18.（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 19.（17分） 、、是海上三个救援中心，在的正东方向，相距，在的北偏西，相距，为海面上一艘油轮．某一时刻，发现的求救信号，由于、两地比距地远，因此后，、两地才同时发现这一信号，该信号的传播速度为． (1)若救援，求在处发现的方位角； (2)若信号在空间中被发现，的位置在何处时，才能使、收到的时间差小于．（只需写出一种位置即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测07 3.2双曲线 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（  ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或，即可得解. 【解析】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（  ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值. 【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 故选：C 3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D 4.已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（  ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【解析】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A. 5.已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【解析】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【解析】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 故选：ABD. 8.若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（  ） A．， B． C．若，则 D．若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】依题意，，解得，A不正确； 令，由余弦定理得： ， 因为在椭圆中，在双曲线中，， 所以，故B选项正确； 当时，，即， 所以，即， 所以，，故C选项正确； 当时，，即， 所以，，有， 因为， 所以，，解得，D不正确； 故选：BC 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】 【解题思路】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【解答过程】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 10．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是________. 【解析】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，， 又，，则，即，解得， 由，即，得，所以． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测07 3.2双曲线 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（  ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（  ） A．4 B． C． D．1 3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 4.已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（  ） A．12 B．14 C．10 D．8 5.已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 8.若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（  ） A．， B． C．若，则 D．若，则的最小值为2 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 10．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是________. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $